Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 40
Текст из файла (страница 40)
при мнимых поперечных волновых числах у во:псы будут зседлессссьсчи: Г > й и и» < и. Напомним, что в х 5.3 мы ужо познакомились с этими категорияии па примере простейших направляемых волн. В плоском полом волповоде (см. и. 5.3.2) может распространяться одна Т-волна (в отличие от полых волповодов, показанных па рис. 6.2, это структура с двумя проводниками!) и существует бескопочное множество решений в виде Е- и Н-волн. В и. 6.2.3 мы увидим, что для Е- и Н-волн в любых экранированных структурах с однородной средой при идеальной проводимости оболочки уг ) О.
Соотношение (6.20) при этом удобно записать в виде: где /-ы/2л — частота, Х= 2Л//б — длина Т-волны в данной среде, условно называемая «рабочей» длиной волны. Введенные парамет- 266 гл. 6, злектРОЫАГнптные ВОлны В стгуктуРАХ З в.з, конкнгрткзАЦНЯ полгп н постАнОВкА НРАВВых эАДАч 367 ры (ср. и. 5.3.2) выражаются следугощим ооразом: /„, =)[с/(2лУЕ[г), й., = 2л/у.
(0.22) Зто критическая частота п. соответственно, критическая д,гипа волны. С понижением частоты / (ростом рабочей длины волны Х) настоянная распространения Г, проходя через ноль при /=/„р (й=. =Хрр), становятся чисто мнимой величиной, Нак бьшо показано в и. 5.3.2 Ва прямере плоского нолновода, иоле пря этом теряет обычный волновой характер, не переносит энергии и экспопеяцпально затухает. Для быстров волны, существующей при /) /р,„ па основании (6.21) я (6.7) имеем: А = Х./У1 — ((рр/[) ' = )./У1 — (),/~ „) ', (0.23) пв = и/У1 — (/ р//) и/У1 (Л/) р) и, далее, вычисляя дгв/дГ, записываем: .„, =.?1 — (/р„/[) =.?1 — рЛ,,) (6. 24) д б 'т„„ з 6.2.
Нонкретпзацпя полей и постановка краевых задач для классов волн 6.2.1. Волиьг Е и Н в структурах с однородной средой (А). 1гг))гггггг кспьгс амплитуды гголп разлпчпых гг)гггссогг. п)ппощпс нпд (Ол) 2), нетрудно выразить при помощи соотпогпспяй (0.16) через продольггые компоненты. (ср. (5.74) ).
Зависимость фазовой скорости от частоты, т. е. закон дисперсии, найденный при апалпзе плоского волновода (см. рис. 5.18), как теперь видно, сокласса быстрых волн. Дополнир/тт,/'",гя храняется для весьма широкого тельно приведем частотную зави- ',-1 'гга спмость относительной постоянной распространения Г/й (рпс. 6.3) . которая и;)и ) )?„р является не- 7~- шсстненпой (Г = Г ). а прп /( ~ /р„— чисто мнпмой (Г = — [Т" ) . '1то касаотсп медлеппьгх волн, то папомппм медлеьогые гговггрхРггс. 6.6 постггыс во.пгы н среде с испыпей оптической плотностью (пп.
5.3.3— 5.3.4), распространяющиеся прп услоншг. ЫО ГРаппца Раздела сред об)падает определенным илпедансолг (5.86). Таков характер волнового процесса нпе диэлектрического слоя (см. В.,5.3.4). Реальпьп )голые п дпэлектрпческпс полно[годы бу;[ут рассматрпватьсн н гл. 7. 1'ассмзтрпнзп Г-во.игы, положим в (6.!6) Н„„= 0 п, выписывая Е„„добавя)г и Е„„нслнчпоу Е„„. В результате получаем Е„, = — [зой', — г(Г/у') Угсг,]е ", (6 ')5) П,.
=(го)еон/ур) го[,М',в '" = — (ггюзоз/тр)[хо, [г,д',]в '"*. Отсгода видно, что (6.26) Е., = И"[Н О зо], И'в = Г/в)ерз, т. е. Воперечкые компоненты векторов Е и Н ортогопальны, причем скалярные величины Е, и ?? г различаются только постоянным множителем И". Следовательно, распределскцн пнтепсивпости электрического и магнитного поперечных полей в сечешю) = сонная Описывается одной и той же фупкцкей. Величина И" называется волновым сопротивлением в классе Е-но.нг.
Бвпду (6.25) достаточно знать функцию в), и поперечное волновое число у, чтобы определять нсе поле. Пусть все проводники являются идеальными (и ); впутренпяя среда — по постановке задачи — однородна. Проецируя первое из уравнений (6.13) на Ось ." и учитывая условие Ва границе с проводпиком, записываем: [7',д',+ 1[1К,=О, д;=0 на Т,„.
(6.27) Это пе что иное, как формулировка (6.8) первой краевой задачи для скалярного уравнения Гельмгольца; под !А попимается идеально проводящий контур поперечного сечения полого воляовода плн совокупность контуров в более сложных случаях (рис. 6.2а, б). Нэ нптегральпого соотпопгепия (6.10), где теперь надо положить Т = =с)'„следует, что )[1) О. Прп этом у'=0 соответствует предельному случаю Т-нолп (гр: 0); как известно (см.
и. 6.1.2), этп залпы пе нссгда существу[от. Для Е-ноля т') О, т. е. это волны быстрые (и. 6.!.3). Итак, длп онределеппя Е-нолп той плп ппой паправлягощей структуры с однородной средоп и прп идеализации проводящих грапиц надо найти решения первой краевой задачи для скалярного уранпенпн Гельмгольца (6.27). При этом определяются собстнепные [и) 1 функции д', и отвечающпе пм собственные значения Х„(п = 1, 2, ...).
Затем применяются формулы (6.25). Переходя к Н-волнам, положпм в (0.16) Е,„, = 0 и заппшем комплексные амплитуды полных полей, добавляя Н,„, к Н,„д Е,„= — (га))гв)г/уэ) го1„,Ж,е 'г* = — (г[о)гв)г/у') [[г, Ж„хр]е '"', Н = [хрЖ, — г (Г/ут) [)АЖ,]е '"' (6.28) откуда Е = Иг"[Н„„нв], И™ = юр [г/Г. (6.20) 2ОЗ ГЛ. 6. ОЛЕКТРОМАГНИТНЬПС ВОЛНЫ В СТРУКТУРАХ 6 6Л. КОНКРЕТИЗАЦПЯ ПОЛЕЙ И ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ВООА Здесь )Ри — волковое сопротивление в классе Н-Волк. 1(ак п в случае Е-воли, делаем вывод об ортогояальпостп векторов Е, н Н„ а также об идентичности распределений их скалярпых амплктуд в любоп поперечной плоскости.
Поскольку все поле определяется через М„сформулируем задачу, приводящую к нахождению этой продольной компоненты. Проецируя второе яз уравнений (6.13) па ось 2, мы получим уже знакомое скалярвое уравнение Гельмгольца. Ио Надо еще Наложить некоторое граничное условие на гравице, принимаемой за идеально проводящую. Условия этого нет в готовом виде, его надо вывестп. Пусть х= т и у =у — локальные декартовы координаты в некоторой точке коптура ЕА (см. рис. 6.2а), тангеициальпая и нормальная. Перепишем в коордипатах т, у первую строку правого столбца системы уравнений (6.14): дН '+ рГН, = Йзе„ЕЕ,„,.
до Так как на поверхпости идеальвого проводника Е,= 0 и В„=О, а в силу однородности (и изотропии) прилегающей среды и Н, = О, то, как видно из сделанной записи, дЕЕ,/ду = О. Поэтому для функ- ции Ж. формулируется следующая краевая задача: Ухабу, + 2'М,= О, дуйНдт = 0 на Е,. (6.30) Это вторая краевая задача (6.9) для скалярвого уравнения Гельм- гольца. Используя пптегральное соотношение (6.10), как и прп аяалпзе Е-воля, видим, что 72~ 0; Н-волны являются быстрыми, так как случай у- = 0 отпосптся к предельпому случаю Т-волн (М, 0). Общий план определения поля в структуре остается прежним. Только вместо (6.27) решается краевая задача (6.30), да2ощая соОо вокуппость сооственпых функций Ж„-' с собственпымп зкачениями 2 7„„(и =1, 2, ...). После этого полпое поле находится из (6.28).
6.2.2. Т-волны (А). Векторные уравнения, которым удовлетво- ряют функцип е и М в случае Т-волн, были сформулированы в п. 6.1.2. Это уравпения Лапласа (6.18). Поскольку 8 и 3 потен- циальны, выразим их в виде 8 = — Чь~р, 9(, = — Ухф. (6.31) ~десь векторпые функции выражепы через электростатический и магпптостатвческий потепцпалы ср и 25 как это делалось в пп.
2.1.2 и 2.1Л. Краевые задачи для ппх — двумерные зпалоги задач Ди- роле и Неймапа (2.15), (2Л6). Запишем: Ъ „ср=--О, У р.=- О, (6 32) ~р =-Ф; па ЕАК д~>7дУ=О на Е ь Е„= И [Н, хо), И'= Урсруеоз. (6.33) 6.2.3. Краевые задачи и их решения для плоских структур (Б)- Для иллюстрации изложенного материала обратимся к плоским структурам, уже рассматривавшимся в п. 5.3.2, 5.3.4. При этом д~ Г х и р,с Рис. В 4 сделаем замену координат у — 2, 2 х, х -у (чтобы ось з стала продольной). Тогда для системы двух идеальпо проводящих плоскостей (рис. 6.4а) краевая задача (6.27) принимает вид ызг, —,' + 22~О, =-- О, 8', (0) =- сТ, ( — В) .=.
О. (6,34) Ке решение: сТ'~'Π— Во зш; „х, (п =- 1, 2,,) (6,35) даст собствешиае фу2псцип и собстзеппыо зпачеция, отвечающпо Е-волпам. 14 в в шп.олсссоа, т. и пю оосснов где граничные условия, налагаемые на ср п ф, соответствуют обращению в нуль Е, и Н. На ЕА; в задаче Дпрпхле предполагается, что ср принимает разные постоянные зпачеппя на отдельных (пе смыкающихся) частях Е з; границы Е „. Анализ показывает, что задачи (6.32) не имеют пепулевых решений в случае полых волповодов (аналоги 2ные рассуждевия приводились выше в п. 2.2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
