Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Мтз пе можем здесь дать теорию краевых задач (6.8) и аналогичных пм. Однако в гл. 7 будут рептаться конкретные краевые задачи, приводящие к нахождению систем собственных функций и собственных значений. Этот материал позволит составить представленвс об их свойствах, что важно для понимания электромагнитных волновых процессов. Сформулируем зторую краевую зада >у длн уравнения (6.5)с тт>',Т+ У2Т=-О, дТ>дч == 0 па Тх.
(6.9) Эта задача также порождает систему собстветтттьтх функций, кото- рым отвочатот собствештыс значения. 6 6.!. пРОдольно-ОднОРОдныв стРуктуРы 1так для первой, так и для второй краевой задачи легко получить следующее ттнтегральное соотношепке: Для этого обе части уравнения уравнения (6.5) умножаются па Т» и производится интегрирование по поперечному сечению Я цилиндра (см. рпс.
6.1а). Далее применяется двумерный аналог теоремы Грина (В35) с заменой )> — Я,, Я вЂ” Е при тр = т)т» = Т. После этого остается только учесть граничное условие первой или второй задачи, что приводит к уничтоженито контурного интеграла. Из (6.10) следует, что собственные значения рассматриваемых задач неотрнцательны.
Если фигурирует несколько подобластей (см. рис. 6.1б), и для каждой пз них >с принимает свое значение >сс, то соответственно этому в (6.5) возникают разные поперечные волновые числа; ,'=у,' — г (6.11) (имеются в виду номера подобластей). Постоянная распространения Г является общей для всей продольно-однородной структуры: в противном случае было бы невозможно связать решения в под областях граничными условиями ка поверхностях их раздела. Со отношения (6.11), фактически, утке попользовались вьнпе в п.5.3.3. й 6.1. Электромагнитные волны в продольно-однородных структурах (А) 6.1.1. Общее прсдставленпе поля.
Продольяо-одоородпыг структуры, покятпе о которых было введено вьппо в и. 6.01, в простейших вариантах уже рассматривались в гл. 5. Продольно-однородной структурой, направляющей неоднородную волну, может быть, как мы внделп, плоская граница раздела сред. с1>ормироваппе такой волны истолковывалось как результат наложения простейших однородных волн при поляом отражении. Этот под:сод нагляден, но в сложных задачах нереализуем. Гораздо более удооеп другой путь, основные черты которого были намечены вьппе в з 6.0. Следуя ему, мы с единых позиций рассмотрим в дальнейшем весьма разнообразные структуры, иметощпе важное практическое значение.
Некоторые пз ннх показаны (в поперечном сечения) па ряс. 6.2. Это различные полые зол>тозодьт (а) — металлнчестсие трубы того влн иного покоре*того сечепия; диэлектрические золпозодьт (б); открытые и аамкпутые структуры с песколькпмп мсталлвчсскпмп эломсптами (з) и ряд других, вклточая лнпнп передачи, используемыо в так называемых интегральных схемах (ИС) СВ21 (г).
(ОЛ5) МОЮ ~)~)) ееБе Рвс. 6.2 (ОЛ6) ПОЗ Е Р Нт1 = —.,' ГО С Е, — 1 —., Ъ', Н т Х Х" ду тх дд — — Ы)1,)ОН л йт 1ГЕ ., + —,' — 1ыр,рП „, дН л дН вЂ” — " 1ЫРОВЕ т ° дх ди аута дутх 1ОО)10)АХ 11х де 202 гл. О. элвктРОТ1лгннтнык Волны В стгуктугзх Погласпо п. 6.0.1.:кобая кз компонент векторов Е и Н свободного электромапппного процесса в продольно-однородной структуре может быть представлена в виде (6.6).
1'ассматрпвая волны одного направления, оставим первый член суммы (т. е. положим В =0). ~362 © кв Таким образом, векторы Ет и Н выразнм в следующем виде: Е„= 6(х, у)е '"', Н =3 (х, у)е-'"*. (6.12) Подстановка (ОЛ2) в однородные векторные уравнения Гельмгольца (4.22) приводит к двумерным уравнениям 1" 6 + Х'-'6 = О, 7' 3 + ХОЗ = О, (6Л3) где ХО= й'- Г' (если пмеется несколько однородных областей 1 с разпыми свойствамп, то столько же раз пишутся уравнеяпя, причем Х; =-= УΠ— ГО). ',От Следующий шаг — использование однородных ( ),„' =- 0) уравнений Максвелла (3.34), которые будут записаны в координатной форме. При этом учтем, что поскольку продольная зависимость всех компонент поля описывается множителем ехр( — 1Гг), дифференцнровапне по г сводптся к умножению на — 11'.
Итак, имеем следующпс шесть скалярных уравпепнй: тл + 1 ГНллз "= 1ЫРОЕ Е тх дд дН 1ГН х + — ' — 1ООВОеЕл,у, (6Л4) и гл. пгодольно-одногоднык стгуктувы Сосредоточим вппмаппс па первых двух парах уравнений, которые соедпнепы перекрестными отрезками. Каждая нз этпх пар есть не что ппое, как система двух лннейньг. алгеорапческкх уравнений относительно двух поперечных компонент векторов Е и Н . Решая их, выражаем все поперечные компоненты через продольные: Етх— Е = — 1 — ~ — '" —,, — "*), тΠ— 1 д Р у д х дх ду,) ' Эти формулы удобно свернуть к следующей векторной форме записи: ьыРОР Ет, =- — 1 —,Ч . Ет, —,,О гоьх Нт„ Здесь, как п ранее, спмвол -~- употребляется в ка юстве знака отбРасывании ЛРопзволпых по г; Ел„= Етх+Елч и Нл„=Нт„+Н Выражения (616) утке пе связаны с определенным выбором поперечных коор;пшат: вместо х п у можно взять пропзвольньге криволинейные ортоншальпы1 координаты в плоскостп - = соней Получеппьи 1(к1рмулы суду г неоднократно прпмеияться при пахождеппи электромап1птвых полей разлпчных волноводов.
Но сначала пспользуем пх для общего апалпза решешш. 6.1.2. Классы воли. Волны Т. Волна, переносящая эпсргию в паправлеипп .. обязательно должна иметь как поперечную электрическую, так и поперечную магпптпу1о компоненты; в противном случае П,=О. Выражения (6.15) нчп (6.16) показьпиют, что такнм свойством может обладать электромагкитпое поле с одной только электрической плп только магниткой продольной компонентой. Прп этом общее ре1ие1пле может рассматрш1аться 1'ак наложение двух шстпых. для одного пз которых Е,чьО и Н,=-О, а для другого Н, гь 0 и Е, = О. Поэтому, рассматривая различные волны в продольно-одпородпь1х структурах, выделяют класс твк иазьиюомых Е-долл, или электрических волк, д.н1 которых Е, чь 0 и 11, = О, и к.1асс П-волк, 205 204 ГЛ.
б. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СТРУКТУРЛХ Ф б.г. пРОДОс!ьно-ОднОРОдные стРуктуРы илп магнитных волн, для которых Н,ге 0 и Е.= О. Вместо символов Е н Н употреоляются также ТМ и, соответственно, ТЕ (говорят сгоперечссо-магнит»сбсе и сгоперечпо-электрические волны). Более сложные волновые процессы, имеющие как электрическую, таь и магнитную продольные компоненты, принято называть гссбрссдссьыси волнами.
!(ак Известно (см. гл. 4), простейшая электромагнитная волна в свободном пространстве, которое, несомненно, является продольно-однородной структурой, совершенно лишена продольных компонент (Е. = О, Н, = 0). Она принадлежит классу Т-волн, или по-другому, ТЕМ-волн (говорят посгеречно-элекгролсагиитные волны). Выражеппя (6.15), (6.16) допускают существование таких волн при у. =-0: опи становятся нсопредолепностямн типа О/О. Нз равенства у' = 0 вытекаот, что Г = /г, (6Л7) т.
е. любые Т-во:ты в некоторой среде распространяются с той же фазовов скоростью, что и плоская однородная волна. Внося уг = 0 в (6.!3), получаеи следующие двумерные уравнения Лапласа гу'А = О, 1/'ср( = О, (6Л8) которым удовлетворяют функции поперечных координат О и 3 в выражениях (6.12) в случае Т-волн. Сами эти выражения принимают вид: Е =Бе '"*, Н„= 9('е "'* (6Л9) Выявлено два важных свойства Т-волн.
Во-первых, они мыслимы только в однородных средах, так как равенство (6Л7) не может быть выполнено, если /г (вместе с е и !с) нрипимает разные значоппя в разных подобластях продольно-однородной структуры. Во-вторых, поперечное распределенно полей в случае Т-волн должно повторять продольно-однородные (пе зависящие от ) статические распроделения.
Действительно, при ы = 0 и при отсутствии продольной зависимости уравнения (4.22) принимают вид (6Л8). В каких из показанных на рис. 6.2 структурах могут существовать Т-волны? Возьмем, например, полые волноводы (см. рис. 6.2а), полагая сначала их оболочки идеально проводящими. Легко убедиться, что в этих структурах Т-волн не может оыть. Ведь функция О в точности совпадает с решением статической задачи, удовлетворяя уравнению (6.18) и граничному условию сз, =О, также выполняемому в электростатике. Но электростатическое поле внутри обычной полости в проводнике тождественно равно ну:по (см.
и. 2.2.5), следоватольно, равна нулго и функция 8. В этих рассуждениях можно было бы исходить также из 3. Обходя структуры, в которых Т-волны невозможны из-за неоднородности среды, перейдем к классу (рис. 6.2в), содержащему двухпроводпусо и коакснальную линии, а также другие волноводы с одвородныи диэлектриком и не менее, чеи с двумя проводникаии. Повторяя прежние рассуждения, приходим к Выводу, что в данном случае Т-волны наверяяка возможны, так как существуют статические решения. Более того, в и ЭЬ должны совпадать с соответствующими статическими (стационарныии) полями, а потону легко выясняется вопрос о количество различных Т-волн в той или иной структуре.
Например, в коаксиальной линии возможна только одна Т-волна, прпчеи 8 есть поле бесконечного коаксиального конденсатора, а Л вЂ” магнитное поле коаксиальпого кабеля при постоянном токе (только в пространстве между проводникаии!). Что изиснится, если ввести в рассмотрение конечную проводимость металлических элементов? Поскольку это означает переход к структурам с неоднородной средон, то, строго говоря, Т-волны во всех случаях невозможны. Однако, если при и- Т-волна существовала, то отвечающее ей решение при конечной проводимости окан«ется весьма близким, будучи формалыю Е-волной: Е.
чьО, так как на ооолочке /,Ф О. Насколько мала зта продольная электрическая коипонента, можно судить на основании граничного условия Леонтовича (см. и. 5.4.1). 6Л.З. Быстрые и медленные волны. От Т-волн все остальные волновые процессы формально отличаготся невыполнением равенства (6Л7). Поэтому согласно (6.13) (6.20) Гели рассматривать только незатухающие волны, для которых постоянная распространения à — величина вещественная, то ясно, что при уг > 0 они будут бысгрьсгси: Г < /«и и«) и (и« вЂ” фазовая скорость данной волны, а и — скорость Т-волны в данной среде). При у'< О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
