Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пря этом, взяв некоторую локальную систему координат, имеем . дф [ Е-1О = ЕХр ~сф(0) + 1 — ф1 т+ ...|ж Š— 1ООЛŠ— 1"о, оо 1о= где мвояоитель ехр[сф(0)[ можно рассматривать в качестве неопределенного коэффициента. Это значит, что согласно предыдущему: Е = 6- *'"", 7 ров Е .— И' [Н, то[, И' = ф' о (5Л13) ̈́—. 3(,е-1"' с о — -- и — — и. (5 Л14) Поэтому, интегрируя вдоль луча от А до В, получаем следу1ощее выражение оптической длины данного отрезка луча: в в )с с)ч =.
—" 1 и с)т = ф (В) — 1р (А). с (5Л15) (ср. (4.32), (4.27) ). Мы видим, что локально волновой процесс описывается как плоская однородная волна. 5.5.2. Оптическая длина луча. Принцип Ферма (А). В геометрической оптике поверхности ф= сопз1 рассматриваются как ортогональные поверхности к семействам лучей (рис. 5.27б). В силу (5.112) ГЛ, З, ЗЛЕКТРОДИПАМИКА П ОПТ1П1А 192 (5Л16) ~ пг//~ ~) иг/т, А А (5 Л19) в и ~ и гЬ == ш1п ) и Ж, (5.117) (5Л18) й А Рис. 5.29 1»11р «)1 =~)г«)1 = — ~ и сова 111 с Это разность фаз начальной и копечпой точек.
В случае однородной среды (и = сопз1) гр(В) — гр(А) = /«11 = — пс/, с где А — длина пути вдоль луча. В п. 5.5.3 будет показапо, что лучи в однородной изотропвой среде всегда — прямые липии. Пока отметим, что, например, в случае плоской залпы последовательные положения фровта — парал- лельвые плоскости, а лучи — ортого,'л/ /' — / вальпые прямые. Если же распростра- няется сферическая волна, то лучи— и' радиальвые прямые. Лучи являются векторными (сило— — выми) лииинми градиента зйконала о Чгр, а следовательпо, и вектора Пойятипга П. Поэтому их естественно Наносить с густотой, отображающей ияРис. 5.28 тенсивпость, а точнее, модуль плотно- сти потока энергии П. Эта возможность нередко используется при построении лучевых картин.
Пока»кем, что из всех возможвых линий, соединяющих точки А и В, луч — зто такая линия, вдоль которой оптическая длина мииимальва, т. е. где слева иптегрировапие производится по лучу, а справа имеются в виду всевозможные мыслимые пути (и и 1 соответствеппо иа рис. 5.28в).
Сформулироианпое положение известно под пазванием прин1/ипа Ферма. В Ы В О Д. Для доказательства принципа Ферма рассмотрим определенный интеграл Результат ие зависит от пути интегрирования, который может совпадать или не совпадать с лучом. Это свойство было установлено еще в п. 2.1.2, когда формально аналогичное выражение анализировалось при обсуждевии свойств электростатического потенциала.
Если путь интегрирования яе совпадает с лучом (рис. 5.28в), то 9 ь 5. локАлы10 плоские ВОлны и ГеометРичгскяя ОптикА 193 где соки =(то, т,) (т, и те — касательные орты для пути иптегрироваппи п луча соответственно). Ваяв, в частности, путь интегрирования вдоль луча, следует положить соз и = 1. Но иптеграл (5.118) от пути пе зависят, поэтому в в ~ п сова г/1 =- ~ иг/о. А А Отпетпм теперь, что существоваппе множителя соз а < 1 может при- вести только к умепьшеппю интеграла слева. Убрав его, имеем что эквивалентно соотпошепию (5.117). ° П р и»1 е р 5.
Покижем, что иэ Принципа Ферма следует, з частности, пероый закои Бяелаиуса. При отражении луча от плоскости Я оптическая длина луча ме»кду точками А и В (рис. 5.28) равна геометрическое длине 1 = 1~+1ь уииожеяяой иа А. Будем искать мииимум этой величины, опустив песуществеипый множитель /г. Как видно иэ рис. 5.28, 1 = »Ь»+ с»+ 1А»+ (а — с)1.
Вычислие с//Ас, легко убедиться, что эта иеличииа обращается в нуль при с = а/2, причем волучеио условие киви»гума 1. Поэтому 19 = 19' при условии, что оптическая длина луча мипимальпа. ° 5.5.3. Лучи в пеодиородиых средах (А). Распространение локально плоских волн в неоднородпых средах описывается при помощи криволииейпых лучей. Причпву искривлевия луча нетрудно понять, рассмотрев сначала многократное преломление в среде, состоящеи пз одкородпых слоев, различающихся по оптической плотности (рпс. 5.29а). Взято и1)пз)пэ)п«)пэ<п«<пт; характер ломаной вполне определяется вторым законом Спеллиуса (5.13).
Если «сгладпть» закон измепеппя п в направлении нормали к грани- 13 П В. Никол»скиа, Т.П Никольские )94 ГЛ. 5. ЭЛРКТРОДПНАМШЕА И ОПТИКА 3 ьл. 110кАТ1*но плоскпн волны и гномктР1г1вскАя Оптпки $95 цзм слоев, взяв некоторую непрерывную фупкцшо и(г), вместо ломаного появится искривленный луч (рпс. 5.205). Радиус кривизны луча па некоторой «высото» г (рпс. 5.20б) вычисляется сешдуюшпм образом: 7( =— п (лиЕ«'г) Мп 0 ' 15.120) Л[,= п — — Лг «Ег Рис. 5.30 где т — время смещения фронта волны. Дело в том, что па нижнем уровне фазовая скорость есть у(г) = с)и, а прп вычислении у(г+ Лг) надо учесть приращение показателя преломления.
Из подобия треугольников на рис. 5.30 следует ЛŠ— ЛЕ ЛЕ, Лг)г)ад ЕЕ ' где )е — радиус кривизны луча, Отсюда с учетом выражений Л[1 и Л4 получаем Лаег)п 0 — л ге =-1!ш и о 1 — ЛЕ,ЕЛЕ» (гойдг) гпз 0 что совпадает с (5.120). ° Рассмотрим некоторые слодствия из формулы (5.120). При переходе к однородной среде (е[и[ЕЕг — О) согласно (5120) )т - к радиус кривизны неограниченно возрастает, т. е.
луч становится прямым. Учтем, что в силу записи (и выполненного вывода) формулы (5.120) радиус кривизны Л считается положительным, если кривая (луч) обращена выпуклостью в сторону возрастания г. Поэтому луч уклоняется вниа при уменьшении показателя с высотой и вверх — при увеличении, Ва рис. 5.20б эти два случая соответствуют зонам г( г' и г) г', ВЫВОД. Рассмотрим простейший вывод формулы (5,120); с необходимой строгостью вопрос будет обсуждаться в и. 5.5.4. Па рис. 5.30 показано два полон«опия фронта локально плоской волны 191 и егг (штриховые липин) прп ее распространении в среде, оптическая плотность которой [гг изменяется в направлении Прп данном смещении фронта па разных уровнях будут пройдены различные пути.
В частпости пути Л[1 и Л[г (Вдоль лучей ТЕ и тг) равны: у ЛЕ и гз Величина К есть векторная характеристика кривизны луча. Формальные преобразования правой части (5.121), которые мы опускаем (см., например, [Г.2, В.6]), позволяют написать: К = — [то, готт«]. (5.122) Поскольку для рассматриваемых нами лучей тси =Уер (поле потенциально), как это следует нз (5.112), то в силу (1.22) го$ у«и = О.
(5.123) Поэтому, используя векторное тогкдество (1.27), имеем ,.1 р, —.— 1 [У, т,]. (5.124) Внося (5,124) в (5.122), получаом слодугощсс уравнение, характеризующее оптические лучи в неоднородной среде: К =- — [у«, [Ъ и, т«)]. (5 125) Если раскрыть двойное векторное произведение при помощи (1.6), то получается другая форма этого уравнения: К [Уи у (т Ги)]. 1 (5.126) Наконец, если учесть что е)т — (у и) .= и — '+ т«(т«»и) гЕ» и'« то пз (5.126) получаем еще одну эквивалентную форму: гŠ— (тпи) -= Уи. 13* (5.127) Искривление лучей, описывающих распространение локально плоскпх электромагнитных волн в неоднородных средах, обычно пазываЕот рефракцией (слово означает «преломление», но в этом смысле употребляется редко).
В дальнейшем (п. 15.5) мы встретимся с рефракцией радиоволн в уа«ну атмосфере. 5.5.4. Характеристики кривизны ие' лучей (Б). Малый плоский элег)у ъ~ уо мент Лт луча 1 (рис.5.31), заключен- О НЬШ МЕжду тОЧКаМИ г)1 Н Е»Е', ПрЕд- '. и;.'~ гп+ г ставим как элемент дуги радиуса гт: Лт=агт. Чем меньше угол сг, тем оп олпже к величине Лто/то= ЛТ«, где Лх« — абсолютное значение при- Рис. 5.31 ращения Лтэ единичного вектора тс касательной к лучу (у« = 1). В пределе прп гг 0 получаем: Л = е(те ее) еъ К = й«Ф = г]таеее['«.
(5.121) гл. 5, элкктгодпплмнкл и оптпкл 5 5.5. лОБАльнО плоскпк Волны и Гкомвтгнческля Оптпкл 197 Нетрудно убедиться, что ранее полученпая формула (5.120) вытекает из найденных общих соотношений. Пусть показатель преломления зависит от одной координаты х. При этом Эи =кейп/цз и чехе= говд (рпс. 5.20б). Делая соответствующую подстановку в (5.126), пнгпем, Но 1 — = — — (х — ч сов и). Я вЂ” н,й е е (5.128) Чтобы получип отсюда формулу (5.120), надо лишь возвести левую и правую часть в квадрат, а затем извлечь корни из полученных скалярных величин (взяв справа знак минус, что отвечает принятому нами выбору знака при определении радиуса кривизны). Продолжая рассматривать среду, неоднородную только в направлении х и учитывая, что при этом [Уп, хе) = О, умножим обе части (5Л27) векторно на ха. В результате получаем г( [чеп, хэ] /с(э = О, п [чэ, ха] = сопв( (5.129) или )го(О) «1 (го(З ) ы)ь ) КЗ, ) ые ) з3 ) « Проще всего воспользоваться этими неравенствами, когда некоторое поле Е, Н уже известно и представлено в форме (5Л05).
Тогда можно сказать, правомерно ли трактовать поле с позиций геометрической оптики. Обычно такая оценка переносится па родственные поля, в результате чего выянляется класс электромагнитных полей, допускающих геометрооптическуго трактовку. Неравенства (5.131), (5.132) дают информацию о допустимой быстроте изменения векторных аьшлитудных коэффициентов 6 и З в представлении поля (5.105). Перепигпем (5.132) в форме: )го(О) й )го1З ) (5.133) 2„ Нг) З,) ' 2з И -~)5) '(проницаемости считаем вещественными); величины )4' и Х=2Л/7с определяем обычным образом, но полагаем изменяющимися в пространстве вместе с в и )г. Поскольку в числителях (5.133) фнгури- (5Л3 ) (хе=сопя() или (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
