Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поэтому выражения р и т (5.36) удобно разложить по малому параметру к!. О точностью до юг югеем! р= — 1+2ш к т=2ю. (5,41) Таким образом, для меди отражекке оказалось практически колпым. ° 5.2.2. Наклонное падение. Формулы Френеля (А). Вернемся к общей задаче о наклонном падении волны, на пути решения которой уже получены законы Снеллиуса (см. п, 5.1.3). Следующий шаг — вывод формул, которые подобно (5.36) позволяли бы находить комплексные амплитуды полей отраженной и прошедшей волны, когда падающая волна задана.
Результат должен зависеть от поляризации падающей волны, и мы отдельно рассмотрим две ортогональные поляризации. В одном варианте вектор Е будет перпендикулярен плоскости падения, а в другом — параллелен ей. Ясно, что все иные типы поляризации можно рассматривать путем наложения решений, полученных для этих двух вариантов, т. е., как говорят, для случаев перпендикулярной н параллельной поляризации. На рис. 5.!(а изображена лучевая схема наклонного падения (ср. рис. 5.4а), на которой отмечены орты для представления полей в случае перпендикулярной поляризации: 122, )2 и 42' — единичные векторы в выражениях НС,Н и Н~. Все орты для электрических векторов направлены по оси дк е' = е = е+ = х,, Как и выше в п, 5.2.1, будем пользоваться понятиями коэффициента отражения и коэффициента прохождения (5.34), но отметим их индексами -1- (символ перпендикулярной поляризации).
Будет 5 52, ПОЛЯ ПРИ ПАДЕНИИ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА СРЕД 167 показано, что И' сееф-И' соео 2И'2соеф т! (5.42) И' сок 1Р- И' сое 0 ' -! И' осе ф -,'- И' сое О. г 1 2 ' 1 В случае параллельной поляризации (рис. 5.1(д) )тс = )2 =Ь+ =- — хе, а орты для представления напряженности электрического поля ес, е и е" лежат в плоскости чертежа. При этой поляризации, используя символ (~, запишем: И", соео — И' сок ф 2И' соеф С, (5.43) И' со 0 + И' сое ф ' 1 И сое 0 + И! сок ф г ' 1 2 Выражения (5,42), (5.43) называются форлгулали Френеля. Прежде чем анализировать формулы Френеля, покажем, как они получаются.
В Ы В О Д. Начнем с того, что введем новое понятие. Пусть волна перпендикулярной поляризации распространяется под углом и к оси 2 (рис. 5.(2а), Проецируя Е„и Н этой волны на некоторую плоскость 2 = сока(, получаем Ю, = Ь' п Н„, = г/' соз а. Отношение Е,/22, назовем импедансом при перпендикулярной поляризации п обозначим Ел(а). Очевидно, что l „(а) = р)'/соз а. (5.44) Аналогично вводится импсданс при параллельной поляризации 2„(сс) (рис.
5 !2б). В этом случае Е, = Е„соа сс н 121, = Н, так что 2<(а) = И'соз а. (5.45) С целью вывести формулы Френеля (5.42) обратимся к рис. 5,4(а. Для падающей, отраженной и прошедшей волн нмпеданс 2,(сс) (5.44) принимает следующие значения: — ° И .!- Иг — 2~ =- —,' '= ', 2~5 = — 2 ° (5.46) сое ф сое ф сое ф сог 0 Гл. 5.
электРоднпАмнкл п оптпкл Е' (О) + Е (О) = Е (О) е' (о) к- (о) е+ (о) + (5.47) Е', (0) + Е, (0) = Е,+„(0), ь'„'и (о) г„, (о) е+ (о) Яо Е Х+ 1 (5.50) Учтем, что соз д Р1+ т1= 1 соз Ф И' Р— — ' 11= — 1. 1У (5.52) и1 з1нз Ф) = Иг,'(1 — гйн'1р) й,", Поэтому при наложении на границе раздела сред (з = 0) гранич- ных условий (5.12) получаем: Разделив все члены на Ео (0) н принимая во внимание, что появившиеся отношения комплексных амплитуд согласно (5.34) дают р = рл и т = т„, приходим к системе уравнении: И', созе р — тл= — 1, р + ' т,=1.
(5.48) Выражения (5.42) получаются непосредственно в качестве решения этой системы. Аналогично в случае параллельной поляризации (рис. 5.11б) после конкретизации импеданса Я„(а) (5.45) 251= И',соз1р, 25 = — Иг1совФ, Яц1 = И' созО (5.49) и наложения граничных условий (5.12) получим соотношения, не отличающиеся по форме от (5.47), по содержащие не полные комплексные амплитуды Е~ (0), Е (0) и Е+(0) (вектор Е каждой нз волн уже не параллелен плоскости з = 0), а только Е„'„(0), Е, (0) и Е5, (0); Еп~т(0) = Ет(0)совФ, Ет,(0) = — Е,„(0)соз1р, (5.51) Е ~, (0) = Е+ (0) соз О.
11оэтому, разделив все члены (5.50) на Е, 2(0), на основании определяющих формул (5.34) получаем следующую систему уравнений; Формулы Френеля (5.43) — решения этой системы. е 5 5.2. поля ПРП плденпп волны нл ГРлнпцу РАЗдглл сРед 199 Итак, при наклонном падении плоской однородной волны на плоскость раздела различных сред направления отраженной и прошедшей волн подчинены законам Снеллпуса (5.18), (5.19), а их комплексные амплитуды при двух характерных поляризациях находятся прп помощи формул Френеля (5.42), (5.43).
Разумеется, ранее найденные выражения коэффициентов р и т при нормальном падении волны (5.36) — это частнь1й случай формул Френеля (5.42) пли (5,43), соответству- ющий 1Р=О (при этом на ос- о нованни (5.19) н О = 0). Впрочем, при переходе к (5.36) от (5.43) надо учесть, что при Ф = 0 е = — ео (рис. 5.11б), поэтому в выражении для р цю надо изменить знак. На рпс.
5.13 представчены кривые, построенные по формулам (Рренеля (5.42), (5.43) для случая идеального диэлектрика (проницаемости вещественны, причем 151 = 152 = 1). Сначала сосредоточим внимание на семействе кривых, построенных для случая, когда оптическая плотность первой среды выше: е1) ее Видно, Рис. 533 что при этом незавпснмоотвида поляризации коэффициент отражения (р„или р,) каждый раз стремится к единице при Ф=Фо (ср. Рнс.
5.4б) и далее при Ф )Фо сохраняет это значение. Если же более высокой является оптическая плотность второй среды (е1(ег), то в области пологого падения (Ф ж 90') для обеих поляризаций н прн всех значениях параметра е21!Е1 коэффициент отражения близок к значению — 1. При параллельной поляризации независимо от соотношения оптических плотностей сред коэффициент отражения меняет знак, проходя через нуль. Таким образом, прп некоторых углах отражение отсутствует: происходит полное прохождение волны во вторую среду.
Угол падения Ф, при котором возникает полное прохождение, называется углом Брюстера. Условие обращения в нуль коэффициента отражения р1 легко получить из формулы (5.43), выражающей эту величину. Для этого обратим в нуль числитель указанного выражения, заменив в /й 52 нем созд через уг1 — з1П20= ~ ! 1 2 ГЛ. 5. ЭЧЕКТРОДПНАМИКА И ОПТПКА 170 откуда (5.54) ее/е1 на (5.58) приводит (5.55) аз .= 902 + 1р, 6-, = 90', Я = 180' — ф; р, = 180', р, =- 90', 7, =90' — ф, 7-, — 90', (5.56) а,+ = 90'+ О, [Уь = 90', 72 =0' + (5.57) р д~ — е./е в1п2ф 2 1 1 (5.53) е 1е, — е,~е 1' 2 2/ 1 В случае ]21 = 92 пз (5.53) получаем следующее выражение угла Брюстера: 1р = агсгя У ее/е1.
Нетрудно проверить, что нули функции при разных рис. 5.13 соответствуют формуле (5.54). Обращение в нуль числителя выражения РА (5.42) вместо (5.53) к равенству: е ~е,— р7р в1пе 1р == Р,7Р. — Р, Р, При р, = ре не существует угла ф, удовлетворяющего этому урав- нению, а следовательно, полное прохождение невозможно. 5.2.3.
Полное электромагнитное поле (А). Задача о наклонном падении решена. Остается выписать формулы, выражающие комп- лексные амплитуды Е„н Н„падающей, отрая1енной и прошедшей волн при обеих исследованных поляризациях. Для этого надо лишь конкретизировать запись типа (5.8) и учесть формулы Френелн. Перпендикулярная поляризация. Чтобы записать поле падаю- щей волны, учтем (рис. 5.11а) что ае =- О, сее = 90', сее = 90', Р,'=90', Й=ф, Р2==.90 +ф, 7," = 90', 72 = 90' — 1р, 7,' = 1р. Поэтому Е,"е =- хеА ехр [ — й,(увпп1р+ зсоьф)), Не = — (у,совф — в,япф) ехр[ — й,(уяп1р+ всов1р)]. 2$ и Для отраженной волны (рис.
5.11а) сст = О, сс, =-. 90; ае = 902 [11 =- 90', [)2 = 180' — 1р, Рз = 90'+ 1р, 7, = 90', 72 = 90' — ф, 72 =-180' — 1р. Внося это в (5.8) и заменяя А на Ар„, пишем Е =х,р,Аехр[ — йт(ув1пф — зсовф)], Р,А Н = —, (уесовф+ ееяпф) ехр[ — й,(уяпф — зсовф)]. 1 $5.2. поля пРП пАДенпп Волны нА ГРАП!ЩУ РА3ДелА сРеД 171 Для прошедшей волны (рис. 5.11а) а,' = О, ае =- 90', ае — — 90, 111 = 90', ~,' = О, [1, =. 90'+ О, Ъ+ 90 7+ 90 0 722 =- О. Прежним путем с заменой А па АтА находим К~ = х т,Аехр[ — й,(уяпО+ зсовд)], Н~ = — "(у совд — в 51пО) ехр [ — й,(увп10+ зсовд)]. 2 Параллельная поляризация. Все рассуждения повторяются с ориентацией на рис.
5.116. Для падающей волны ае з= Я)2 + ф [12 1802 ]12 90 ~е 90 '71 = 90', фз =- 90' — ф2 7з = ф' Е" = А(у сов 1р — в яп1р) ехр[ — 1]с, (уяпф+ зсовср)], (5.59) Н" = — х,— ехр[ — й,(уяп <р+ зсовф)]. И' 1 Для отраженной волны а, = 90', а, =- 180' — 1р, К = — р 5 А (у, сов ф + з яп <р) ехр [ — 11й1(у в1п 1р — 2 сов 1р)], (5.60) Н =- — — х,ехр[ — й,(уяпф — зсовф)]. Р1Л и' Для прошедшей волны а+ = 90', а, = О, р+ = 180', [12~ = 90', 71, = 90', ]2 = 90' — О, Е" = т5А(у,совд — и в1пО) ехр[ — й,(уяп0+ зсовй)], (5.61) т„А Н = — — 1 х ехр[ — й,(ряпд -1- зсовд)].
И'2 гл. 5. электРОдинАмнкА и ОптпкА 172 следует, что в этом случае РА= — 1, т,=О. (5.64) (5.65) Н~~ (0) 2И> 'соя>р И' 1 сов р — И', ' саяе Но (0) И' 1 соя Ч> + И', ' соэ О (5.62) Нь (О) И' сья 1р + И' соэ О Теперь учтем, что Н„,(0) Е„> (О) Н (О) Е (0) 5.2.4. Применение принципа днойстненности (Б). Сопоставив результаты, полученные В случаях перпендикулярной и параллельной поляризации, нетрудно заметить, что эти две задачи находятся в соотношении, определяемом принципом двойстяенности (см. и. 3.4.3): структуры электрического н магнитного полей прп переходе от одной задачи к другой как бы меняются ролями. Можно было бы рассмотреть только случай перпендикулярной поляризации, а все результаты для параллелыюй поляризации получить прп помощи замены (3.79).
Убедимся В этом на примере формул Френеля. Делая в (5.42) замену (3.79), мы должны учесть, что во-первых, таким образом волновые сопротия;>ения заменяются обратными Величинами и, воВторых, Вместо р„=- Е, (0)>Е,',(0) и тг =- Е,+„(0)/Е„',(0) (5.34) получатся отношения Н (0))Н' (0) и Н' (0))Н' (0). Таким образом, мз формул Френеля (5.42) получатся следующие равенства: Нь (О) И',Е'~~ (0) И', = — — ' 1„, (5.63) Нь (0) И' Ьь (0) г В результате чего приходим от (5.62) и формулам Френеля (5.43), относящимся к другой поляризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
