Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При каждом фиксированном З величина и(г, г) (4.2) дает косинусоидальное пространственное распределение. Его перпод есть такое приращение координаты г, при котором фаза изменяется на 2л. Этот пространственный период называется длиной волны и обозначается символом )4, таким образом, йс.= 2л. Волновое число имеет, следовательно, два выражения: й = со/Р = 2л/А. ( .3) Учитывая, что 40 = 2л/ (см. и. З.ОЛ), имеем также: о =),/.
(4.4) Распространение гармонической волны отображается смещением косинусоиды (рис. 4.3а) вдоль оси г со скоростью о. Пусть навстречу друг другу распространяются две гармонические волны. При этом: и(г, г)=и,+„сов(юс — йг+ф)+и сов(сог+йг+«р). (4.5) Если, в частности, и+ = и и ф = «Р, то и (г, с) = 2и,+„сов йгсов(юс + ф). (4.6) ИВ ГЛ. <. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ г аз. ОБщие сВедения О ВОлнОВых ПРОцессАх ИВ Такой процесс называется стоячей волпой. Каи видно (рис.
4.3б), в каждый момент времени мы имеем неподвижную иосинусоиду: ее нули не смещаются вдоль оси г, а остаются фиксированными. Применяя метод номплексных амплитуд (см. и. З.ОЛ), запишем для гармонической волны (4.2) комплексное представление: и (г г) гцы-м+т) ' ы< (4.7) где и =и ехр( — Из+<<0)= й,.оехр( — </<г); й 0= й при г О. В рамках метода волновые числа могут быть иомплексными: й = й' — <к". (4.8)' Внося (4.8) в (4.7) и вычисляя и= Не й, получаем: и (г, <) = и„,г ""' сов (ыс — /<'г + <0), (4.9) что при й" = 0 совпадает с (4.2). Если йи ) О, ато затухающая волна (рис. 4,3в).
Величина й" называется коэффициентом затухания. Отношение и(г)/и(г+1)=ехр(йи1) показывает, во сколы<о раз уменьшилась амплитуда затухающей волны на пути й Обычно это отношение логарифмируют и излучают величину Ь, называемую затуханием, которая измеряется в нвпграх (Нп) либо децибелах (дБ]: Ь = /<"1 Нп или Ь = 20 1я в""< ж 8,69/<"1 дБ. (4.10) Распространение затухающей волны пояснено на рис. 4.3в: каи и ранее, показано смещение мгновенного снимка (эиспоненциальная огибающая не смещается).
Можно ааписать (ср. (4.3)): й' = <0/д = 2ЛФ. (4Л1) Здесь фазовую скорость можно рассматривать иаи скорость смещения фронта с нулевой амплитудой; длина волны А, уже не являющаяся периодом, также определяется по нулям. Величина й' называется коэффициентом фазы. 4.0.3. Волны сиаляриые и векторные, неплосиие и неоднородные.
Выше рассматривались скалярные волны: процесс описывался скалярной величиной и. Если волновой характер имеют компоненты некоторого вектора, то говорят о векторной волне. Рассмотрим величину и(х, у, г, <)=и„(х, у, г)соз(<ог — <р(х, у, г)). (4.12)' Характерно, что поверхности постоянной фазы <р(х, у, г) сопзг (4.13) В общем случае не являются параллельными плоскостями, кае зто было в пп. 4.0Л вЂ” 4.0.2. Волна может быть нгплоской. Если и тому же на этих поверхностях фронта (ср. и.
4,0Л) амплитуда и (х, у, г) не принимает постоянного значения, то волна, иаи гоВорят, неоднородна. Неплоская и неоднородная волна может быть локально плоской (и однородной) в некоторой достаточно малой области пространства. Это значит, что рассматриваемый участок фронта весьма близок и элементу плоскости (и амплитуда на нем, практически, постоянна) . Уравнение поверхности фронта (4.13) может принимать простой вид в той или иной криволинейной системе координат. Пусть, например, <р(х, у, г)= йг. Если г — координата цилиндрической или, соответственно, сферической системы (табл.
2.2), то мы имеем цили дричвскую или сферическую волну. На рис. 4.4 показаны последовательные положения фронта цилиндрической (сферической) волны, распространяющейся от источника </. Такие волны нааывают расходящимися, поснольиу можно представить себе также сходящуюся волну, направление распространения иоторой везде противоположно: поверхности фрон- р 44 та сходятся и точке. 4.0.4. Простейшие решения волновых уравнений.
Выражение волновое уравнение появилось в и. 3,1.2. Рассмотрим однородное скалярное волновое уравнение < ди Чги — — — =- О. иг д<г (4Л4) Если рассматриваемьш процесс зависит только от 1 и г, уравнение принимает следующую простую форму." ди <ди — — — — = О. дз „г д<з (4Л5) Легко путем подстзновип убедиться, что рассматривавшаяся в п. 4,0Л плоская однородная волна, представленная функцией (4Л), дает решение уравнения (4Л5). При этом <сД) в (4Л) может рассматриваться иаи любая дважды дифференцируемая функция, Решением будет также обратная волна, получаемая при замене Р на — Р.
Общее решение волнового уравнения (4Л5) можно представить в виде наложения прямой и обратной волн: и(г, г)= и~(< — г/Р)+и (1+ г/Р). (4Л6)' Здесь и<($) и и ($) — произвольные дважды дифференцируемые функции. Каи видно, Р в (4Л5) есть скорость волны. Переходя и гармоническим колебаниям, введем в действие метод комплексных амплитуд, т. е. будем рассматривать временную зависимость ехр(<<о<+<у). Тогда в (4Л4) дг/дг — -ыг, и это уравнение принимает вид: Угй +й'и =0 (4.17) где й ю/и. Мы получили однородное уравнение Гельмгольца (ом. (4. 22) (4.23) (4.25) (4.26) (4.21) г о сс» о о о Нф„н*„ = -с- и [нй.
2.], — с Е вооо (4.27) ~то г о — [го, Ет]» Кт» о уо о о Ктг Кто Н х С»от (4.28) ио ГЛ. О. ПРОСТЕИШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНПТНЫЕ ВОЛНЫ п. 3.2.2). Запишем также уравнение Гельмгольца для Одномерного процесса, зависящего от одной координаты г: —,т + й'и = О. (4Л8) »Сг Это обыкновенное дифференциальное уравнение отвечает волново- му уравнению (4.15). Общее решение уравнения (4Л8) запишем в виде: (4Л9) + где ито и ит, — произвольные ноьшлексные константы.
Пусть и, = и+ ехр (сср) и ссто = и ехр (с»)»). Тогда пз (4Л9) в результате стандартной операции (и. З.ОЛ) Ве [й (г)ехр(св1)) получаем функцию и(г, Г) (4.5), которая является решением уравнения (4.15). э 4Л. Плоские однородные электромагнитные волны 4.1Л. Волновои характер электромагнитного поля. Сопоставляя общие сведения о волновых процессах, которые обсуждались выше в 4 4.0, п уравнепия электродинамики второго порядка из $3Л. сделаем первый шаг к пониманию волнового характера электромагнитного поля. Ясно, например, что прп проецировании векторных членов уравнений Даламбера (3.22), (3.23) и уравнений Гельмгольца (3.41), (3,42) на осн декартовой системы координат в случае 1 = 0(1 "= 0) получаются скалярные уравнения типа (4.14) п (4.17). Это значит, что компоненты векторов Е и Н могут иметь впд уже известных нам волн.
Более того, сравнивая волновые уравнения из п. ЗЛ.2 и и. 4.0.4, можно сделать вывод, что параметр и, который имел смысл скорости распространения волны, для электромагнитных процессов равен и = с/)сесс = 1/Узозрор. (4.20) Нетрудно догадаться, что такова должна быть скорость плоских однородных электромагнитных волн в идеальном диэлектрике. В случае вакуума (е = 1, р = 1) и с = 1/)»зоссо = 2,998...
° 10о м/с. Исторически величина с была известна еще до становления современной теории элентромагнетпзма как скорость света, иамереннан в воздухе или космическом пространстве. Совпадение скорости предсказываемых теорией Максвелла электромагнитных волн и уже известной (с определенной точностью) скорости света стало аргументом в пользу гипотезы Максвелла об электромагнитной природе света. Теперь мы должны подробно рассмотреть наиболее простые электромагнитные волны. о ол. плОские ОДБОРОДные электРОмАГнитные ВОлны 444 4Л.2.
Простейшее решение уравнений электродинамики в комплексной форме. Полагая г" = О, запишем однородньсе уравнения Гельмгольца, следующие из (3.41) и (3.42): НгЕ„+/о'Е =О, Р'Н.+/о'Н -О. Здесь введено обозначение: /о = (в/с) уе4с — вузодозсс. Уравнения, которым удовлетворяют номплекные алсплсстуды Е и Н„свободных электромагнитных полей, таким образом, одинаковы. Будем рассматривать простейшие поля, зависящие только от одной декартовоп координаты, например, г. Прн этом уравнения (4.22) принимают вид следуюпсих обыкновенных дифференциальных уравнений: »с е е'н„ вЂ” + й'Е,„= О, —,, + /о'Нт = О.
(4,24) »сг »сг Каждое энвивалентно трем скалярным уравнениям типа (4Л8) относительно декартовых компонент Е или, соответственно, Н . Решения уравнений (4.24), складывающиеся из своих проекций типа (4.19), запишем в форме: 11т (г) = Нтое со' + Н„оесо = П,+„+ Н„„ где Е, и Н, — неопределенные векторные константы. Далее необходпмо учесть, что векторы Е и Н связаны уравнениями Максвелла (3.34): Ет =т ( — с/взое) ГОРН, Нт = (с/вросс) го4 Е .
Операцию го$ выполним в декартовых координатах согласно (1.21), учитывая прп этом, что дифференцирование компонент Е. и Н (4.25) по г эквивалентно умножению на т-й, а от х и у они не зависят. Подставляя в (4.26) отдельно первые и вторые слагаемые решений (4.25), имеем (4.29) (4.31) сн Е,.=хоАе-с"* Н =уз(А/Ит)е ™ (4.32) Рис. 4с.5 (4.34) 142 ГЛ. 4. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ где введен параметр И'= У!со!с/еое = 120яур/е, называемый волновым еопротиелением, которое измеряется в олсах [Оы].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
