Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Дело в том, что в рамках метода комплексных амплитуд любой из параметров уравнений Максвелла мы должны рассматривать уже не в пределах вещественной оси, а на комплексной плоскости, и это приводит к расширению физического содержания некоторых понятий. Таковы, в первую очередь, проницаемости з и и, которые будем обозначать в виде е=е — 1з, и=)г — г)г (3.35) Выделение параметра вида (3.33) показало, что диэлектрическая проницаемость, понимаемая как комплексная величина, может характеризовать и процессы поляризации (напомним, что они предполагались безынерционными), и проводимость среды.
Но теперь мы можем описать также инерционность поляризации диэлектрика. При гармонических колобапнях для этого достаточно ввести фазовое запаздывание Н по сравнению с Е, т. е. писать: В = еоеЕ е '". Но это значит, что в данном случае роль диэлектрической проницаемости играет комплексная величина е(сова — гз|псг).
Ясно, что инерционность процессов намагничивания описывается аналогично. Мы видим, что метод комплексных амплитуд позволил снять одно из существенных ограничений при описании сред (см. пп. 1.3.1, 1.3.6). Комплексность е и и, таким образом, может отражать разные особенности процессов в веществе. Однако в п. 3.3.2 мы сможем дать однозначную энергетическую трактовку величин з и )г В дополнение к (3,35) введем еще следующие обозначения: Гд Л = е "/е', 1я Л" = и "/и', (3.36) где Л называется углом электрических потерь (илн просто углом потерь), а Л" — углом магнитных потерь (смысл этих названий выяснится в п.
3.3.2). Ввиду (3.36) выражениям (3.35) можно придать новую форму: е = е'(1 — г те Л)= )е!е *', (3,37) и = р'(1 — 116 Л") = !р!е "", Заметим, что критерий классификации сред (1.78) можно переписать так: (3.39) (3.40) го1(р-' гогЕ ) — (го,'с)ггК„, = — — коро) Выполняя такие же операции с уравнениями (3.22), (3.23), привлечем также закон сохранения заряда ойч) = — йор для преобразозанпя правой части второго нз зтпх уравнений. В результате ~гН,„+ (го(г)г грН,„= — го1 1„„ (3.41) ТгЕ + (ог/с)г еиК =- — яга66!ч 1" + гы!А,!г1"'.
(3,42) о Это так называемые уравнения Гельмгольца (неоднородные); анализируя свободныо электромагнитные поля ниже в части 2, мы во мпопы случаях будем исходить нз однородных уравненлй Гельмгольца, отлкчающпхся от (3.41), (3.42) отсутствием правых частей ()" = 0). Запишем такпге в комплексной форме уравнения и все соотношения, вклгоча1ощне электродкнампческее потенциалы (см. п.31.3). Во-первых, вместо (3.24) имеем Н =(1гои) ' гогА, (3.43) 0 ~>>1: проводник, (3.38) Л = — =о.гаЛ (а=о> игог « 1: диэлектрик (отмечено, что инерционность поляризации не учитывается).
В заключение необходимо подчеркнуть, что полученные выше уравнения (3.34) образуют полную систему уравнений электроди- намики для гармонических во времени процессов, которая будет служить основанием при решении всех задач, рассматриваемых в дальнейшем. 3.2.2. Уравнения электродинамики второго порядка в комплекс- ной форме (А). Комплексные аналоги уравнонпй второго порядка, выведенных в и. 3.1.2, можно было бы получить, исходя из уравнений Максвелла в комплексной форме (3.34). Еще проще учесть, что все сводится к замене: д!дг- йо, 1 — )": при этом дг7дгг — — 01г и про- ницаемости надо рассматривать как комплексные величины.
Делая указанную замену в уравнениях (3.20), (3.21), получаем: Г01 (г ~ го 1 Нт) (го/в) !П1т .= тот е 1 1щ 122 ГЛ. 3. ОСНОВНЫГ ПОЛожЕНИЯ ЭсгЕКТРОДИНАМИКИ а вместо (3.26) Е = — игай ср — свА„. (3.44) Уравненпя Даламбера (3.29) и (3.30) переходят в следующие уравнения Гельмгольца: ЧЗА + (в/с)' ерА " = — !сэ!с)" (3.45) и оэср -1- (в/с)гарса = — 1 (ве е) ' й!Г1~. (3.46) Условие каллбровки принимает вид: 1(ве!с/сг) ср„+ й!ч А = О, (3.47)' причем теперь посредством (3.47) мосина исключить из (3.44) скалярный потенциал, в результате чего Е„= — 1(с'/ве!3) [Исай й!ч А„+(в/с) ге, А [. (3.48) "Таким образом, комплексные амплитуды напрялсенностей поля выражены при помощи формул (3.43) и (3.48) только через векторный потенциал. 3.2.3.
Комплексная частота (Б). Продолжая мысль (п. 3.2А) о комплексных значениях параметров, входящих в уравнения Максвелла (3.34), остановимся на круговой частоте в. Зададим ее комплексной в = сэ' + св" = ! в [ ехр (! агс1и —,) сс'ю" (3.49) Рас. ЗА и выясним, какой зто имеет физиче- ский смысл. Взяв комплексные представления Е = Е ехр (све), Н =Н ехр(свг), выразим, например, напряженность электрического поля Е при комплексной частоте в (3.49): Е = ВеЕ = Е е ""'соз(в'1+ сг) (3.50) (взято Е =Е ехр(ир)).
Как видно, при в' ) 0 поле испытывает затухающие колебания с круговой частотой в'; прп изменении знака ьс опп станут возрастающлми. Процесс не является периодическим, но период косинусоиды Т = в 12я условно называют периодом затухающих колебансш. Величина Т точно определяется по нулям кривой /(Г) = Ае-""с соэ(вН + ср) (рпс. 3.1). В течение времепп, равного 1/в Э 33. БАЛАНС ЭНЕРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ 123 амплитуда колебаний уменьшается в е раз; будем называть параметр 1/в" постолннои' аресссни. В большннстве случаев могут представлять интерес слабо затухающие колебанпя. для которых в" « еб; прп этом на протяжении нескольких Т процесс очень близок к периодическому. Затухасощемп, как мы увидим, могут быть свободные поля.
В дальнейшем, если не сделано специальной оговорки, величину в будем считать вещественной. э 3.3. Баланс энергии прп гармонических колебаниях 3.3.!. Средние величины: энергия, мощность, поток энергии (А). Посколысу гармонические колебания электромагнитных полей, представляющие интерес для радиоэлектроники, являются весьма быстрымн, обычно имеют дело с пх усредненпымп во времени энергетическими характеристиками. Плотности энергии, мощности и потока энергпп относятся к тем величинам, которые усредняются по формулам (3.13) — (3.15). Например, оба члена выражения (1.113) пропорциональны квадратам напряженностей (которые имеют впд (3.9) ). Поэтому в силу (3.19) сс' == 1/4(е,ГЕ,„Е,'„+ р,пН„,Н,„) (3.51) Интегрирование этой велпчппы по поьоторому объеэсу У дает на основании (!.110) средисосо эперппо !Р в Г.
Надо. однако. помлить, что выраясеппе энергии (1.1!О) было получено в предположении. что среда бсзыперцпонва (см. и, 1.5.5). Поэтому пронпцаемосссс г и и 3 (:!.5! ) надо понимаю,. Бак в п. 1.3.1. Среднее зпа ссвне плотности лсощнсстп р (1.911) находится па оснос зппп (3 ! !',; р = Нгр, у =1'1„Е„с (3.52) Велячппа р называется плотностью комплексной мощс*ости, а сама комнлессснан мощссость р есть интеграл от р по ст.
Среднее значение П вектора Пойптпнга П (1.107) выразим, использ! я равенство (3.15): П = Ро П, П: —.— 1 2 ~Е, Н (3/53) Промежуто псая волпчпна П называется комнлекснылс сектором Пойнтинга. Поток П чорез некоторую поверхность 8 называют комнлекснык потоком энергии.
Как соотпосяэся мписвошпле и сродшсе значения энсргетв сеских вели шп, наглядно показывает следующий анализ плотности мощности. (3.54) го(Е = — )о>р,рН . рте.т Р (3.56) Рис. 3.2 124 гл. з. осповпык положкпия элкктгодипамики Пример 1. Пусть Е = х,Е,соотг и )= хо/ сов (то+к), так что плотность мощаости р (!.94) есть р = /тЕт СОО(юг+ я) СОО тг = '/,/тЕ СОЗ я+ '/О/ Е СОО (2тт+ а). Слагаемое, пропорциональное соо оь равно среднему вначешпо р величины р. Другое слагаемое — составляющая р, иолсблоощаяся с удеощшой частотой. Есап я = О (рпс. 3.2а), т. е, Е и 1 синфазны, то плотность мощности р(о) не принимает отрицательных значений, а среднее значение р равно половине мак симального. Пусть, далее, сдвиг фазы между Е и 1 составляет менее я/2, например, и = я/4 (рис.
3.24); среднее значение р уменьшилось, но осталось положительным. Прп оо = я/2 (рис. 3.2о) опо равно нулю. С дальнейшим ростом Ео величина р становится отрицательной (на рис. 3.2г а = Зя/4), а при у = н она достигает своего максимального абсолютного значения (рис. 3.2д). При е = Зп/2 (оо = — я/2) также имеем р = О (рис. 3.2е). Ыы видим, что колебхющаася составляющая плотности мощности р может как угодно превосходить по амплитуде модуль ее средяего значения (р(. Но ) р( может достигать лишь половины атой амплитуды. ° 3.3.2.
Средний баланс энергии (А). Представление о среднем балансе энергии электромагнитного поля в некоторой области и' можно было бы получить, отправляясь от уравнения (1 105). Рассматривая гармонически колеблющееся электромагнитное поле, мы должны были бы внести н (1.105) векторы поля, изменяющиеся по закону гармонических колебаний, и произвести усреднение эиергетпческих величип за период, Однако при этом были бы упущены возможности более глубокой трактовки, которые дает введение комплексных проиицаемостей.
По этой причине основное уравнение будет получено заново, Будем исходить из комплексной формы уравнений Максвелла (3.341, З З.З. ВАЛАПС ЭЕ1КРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧГСКИХ КОЛКВАИИЯХ 123 ааписывая первое пз ипх комплексно-сопряженным: ГОЙНт — — — готзоз Ет+ ( )т/ о Все члены первой строчки умпожим на Е, а второй — на Н ° Произведем вычитание соответствеикых частей и применим тождество (1.26) подобно тому, как делалось в п.
1.5.2. Отсюда 6(ч П = 1 (зоееЕ„Е рорН Нт) — р (3 55) Были использованы обозначения (3.52) и (3.53), причем Р' = р", так как 1 =1'*. Вто комплексный аналог уравнения (1 100). Внесем в (3.55) представления комплексных проиицаемостей (3.35). Разделение вещественной н мнимой частей дает 6(ч Ве П = — — (е,е"Е,„Е,„+ р,р"Н,„Н„) — Вер"", 2 61ч1шП= — (з,з'ŠŠ— р,р'Н Н ) — 1ш рот 2 о (учтеко, что в результате комплексного сопряжения изменился аиак при е").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
