Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Но объемный интеграл в этом процессе не изменяется, поскольку с самого начала все токи локализованы внутри !г. Таким образом, объемный интеграл тоже равен нулю. Итак, из (2.136) следует ется в том, что постоянные токи и сопровождающее их стационарное поле пе могут существовать без превращения энергии какого-то вида в электромагнитную, т. е. без притока энергии. Рассмотрим некоторьш линейный ток, прохдящий по контуру А.
По этому же контуру возьмем циркуляцию вектора Е. Согласно (2.20) она оказывается равной нулю. Поэтому, представив Е как а '! — Е" (1.96), приходим к следующему равенству: /~ а-'[61 = ~~ Е"б!. ь й (2.139) Полагая, что речь идет о реальном линейном токе, выразим / в виде //д, где 8 — поперечное сечение канала тока /, который не изменяется вдоль контура. Поэтому га1теграл слева в (2Л39) равен а-'(//8)! (! — длина контура Л). Это не что иное, как произведение тока на сопротивление цепи Я= !/ОЯ (см.
п. 1.3.3). Таким образом, обозначая циркуляцию от Е" через Э"', имеем: /Я = Э". (2Л40) Полученное равенство имеет смысл закона Ояа для цепи постоян- ного тока, причем Э" есть действующая в цепи э. д. с. Переход к линеиному току можно было произвести в ( . ), (2.138), тогда получается 12Я = /Э*', откуда опять-таки вытекает закон Ома (2.140). В то же время соотношение (2Л38) дает основание для получения более общих выражений сопротивления Я и э. д. с. Э": Я = —., ~а-'72дк, Э" = — ~ )Е"дк (2.141) (о том, что понимается под током 1 для некоторой области !', уже говорилось в п. 2.4.2).
2.4.4. Аналогия постоянных токов и электростатических полей. Заппшем дзе группы уравнений: го! Е = О, го! Е = О, 6!у !) = О, а!ч [ = О, (2Л42! !) = еоеЕ; ! =аЕ. В левом столбце — система уравнений электростатики в отсутствие зарядов (р= О), а в правом — идентичные по форме уравнения от- носительно плотности постоянного тока н напряженности электри- ческого поля в проводящей среде. Вторая строчка справа — зто частная форма уравнения (1.44). Видно, что 1 в правом столбце играет такую же роль, как !) — в левом, а при замене а, Р'! "(2Л43) одна группа уравнений переходит в другую. Добавим, что в обоих случаях тангенциальная компонента век- тора Е непрерывна па границе раздела сред, а непрерывности иор- З 2В, КВАЗИСТАЦИОНАРИЫЕ ПОЛЯ 109 Гл.
2. стАтические и дР. пОля формулы (2.24): В ~,— 1 с-1си()ви/ =дяде (2А44) /в С = ф )бв ~~ Е61~ = //Ь<р. 3 А (2.145) Рис. 2.32 мальной компоненты вектора Р в электростатике соответствует непрерывность нормальной компоненты плотности тока ) (Р и ) соле ноидальны: ведут себя, как В, см. и. 1.4.3). Хотя отмеченная аналогия имеет чисто формальный характер, она в ряде случаев оказывается полезной на практике. На рис. 2.32а представлено некоторое электростатическое поле в идеальном диэлектрике при наличии двух проводящих тел А и В. Такую же практически структуру имеет поле токов в плохо проводящей среде, в которую помещены те же тела А и В (рис. 2.32б) при условии их хорошей проводимости.
Чтобы убедиться в этом, надо не только учесть аналогию уравнений (2.142), но и установить, что Р в первом случае и 1 во втором одинаково ведут себя на границах тел А и В. Как известно, в электростатике линии век тора Е (а при изотропии и вектора Р) ортогональны проводящим поверхностям. Что касается вектора 1, то, как уже отмечалось, его нормальная компонента непрерывна (у,1 =у.2); в то же время непрерывна тангенциальная компонента вектора Е, а следовательно, О, 'у„= о, 'у„. Если О2 ~ Оь то отсюда следует, что ум/у,~ «/„/у„г, Это и дает основание считать линии вектора у почти ортогональными границам с относительно высокой проводимостью областей.
Из данного рассмотрения, в частности, следует, что вместо расчета электростатического поля при наличии сложной системы проводников можно поместить эти проводники (обычно металлические элементы) в электролит, удельная проводимость которого значительно ниже, и произвести экспериментальное исследование распределения тока при заданных потенциалах. Такое моделирование давно применяется в инженерной практике. Как известно, в электростатике систему двух проводников с одинаковыми по величине, по рааноименными зарядами можно оха рактеризовать емкостью С, определяемой по формуле (2.56). Запи шем выражение емкости для такой системы (рис. 2.32а), выразив заряд д в виде потока вектора Р через поверхность, охватывающую проводник А; равность потенциалов А1р представим при помощи Сделав здесь замену Р- ), построим аналогичный параметр для второй задачи (рис.
2.32б). При этом получается выражение про- водимости: Очевидно, что поток вектора у в числителе — это полный ток 1, выходящий из поверхности тела А. Его обычно называют током утечки. $2.5. Квавистационарные поля (А) 2.5А. Общие представления. Квавиета1уионарными называют поля, которые, будучи переменными, тем не менее сохраняют в своей структуре основные черты стационарных. Предположим, что для заданной системы постоянных токов найдено магнитное поле Н(г).
Можно представить себе столь медленное изменение этих токов во времени, что оно не вызовет заметного перераспределения поля в пространстве. Иными словами, при временном законе токов /(2) поле Н(г, 2) имеет вид /(У)Н(г) и, следовательно, в каждый момент 8 сохраняет структуру стационарного поля Н(г), изменяясь только по величине. Аналогично описывается и поле электрическое. Такой приближенный подход исторически появился, когда в электротехнике приобрели практический интерес переменные токи.
Представление о цепи переменного тока позднее стало играть важную роль в радиотехнике. Во Введении уже отмечалось, что это представление не безупречно: оно отказывает при достаточно высоких частотах. Об этом будет говориться подробнее ниже в п. 2.5.2. Особенностью теории квазистационарных процессов является использование уравнений Максвелла в интегральной форме вместе с такими понятиями, как индуктивность и емкость, происходящими из теории стационарных и статических полей. Возьмем, например, второе уравнение Максвелла в форме (1.62). Если рассматриваются контуры Ь„(Уе 1, 2, ..., АУ) с токами 1„ то согласно (2.130), (2А31) можно следующим образом выразить магнитный поток Ф;, проходящий через контур В~.' 1т и Ф = Х Фы= Ы1/1+ Х А'1лтю Ь-2 а-ПА:,А1) Внося это в (1.62), определяем з.
д. с. ЭО наводимую в контуре /ч в реаультате иаменения магнитного потока череа этот контур, ГЛ. 2. СТАТИЧКСКИН И ДР. ПОЛЯ 1 2л. КВАзистАционАРнын пОля создаваемого всеми контурами: с??с Чд '/%, 5-С (5Ф/) (2.146) Входящие в (2.146) индуктивности определяются на основе тех распределений поля в пространстве, которые свойственны стационарным полям. Такие понятия, как разность потенциалов (напряжение), емкость, применяются на том основании, что, как и при отсутствии изменений во времени, электрическое поле полагается потенциальным. На самом деле квазистационарное электрическое поле уже не потенциально, поскольку го1 Е Ф О, как, в частности, было при получении равенства (2.146). 2.5.2.
Энергетический баланс и пред- / / / / 8 с/ с / / / ставление о цепи переменного тока. Будем рассматривать какую-либо систему, обычно трактуемую как цепь переменного тока, которая составлена из последова- ~ (Е, Н) с(з =- О. 8 (2Л47) Поскольку распределения электрического и магнитного полей в пространстве близки и стационарным, электрическую и магнитную энергию будем находить по формулам (2.113) и (2.119) (2.148) Р И' = —" ) )5Н~/(н = — Я1'. (2.149) Здесь важно отметить следующее. Входящие в (2.148) и (2.149)' параметры С и .'х' только в тои случае когут принять смысл викости и индуктивности элементов обсуждаемой цепи, если одни из ее ,Г I тельно соединенных сопротивления Я, ин— дуктивности 2' и емкости С, а также геРнс.
2.33 нератора, источника э. д. с. Э" (рис. 2.33). Проследим, каким образом и при каких допущениях из общих представлений электродинамики возникает теория такой цепи. В основу рассуждений положим уравнение баланса энергии электромагнитного поля (1.105). Пусть рассматриваемая система находится внутри объема )/, ограниченного поверхностью 8, Пренебреясем излучением, т. е. будем считать, что как и для стационарного поля в данном случае и мы подобно предыдущему (и. 2.4.3) представим записанные интегралы в виде 12Я и — 1Э" соответственно. Таким образом, Я и Э" определяются формулами (2Л41) . Остается, учитывая (2.150), внести И/= И'"+ И' и Р=12Я— — 1Э" в уравнение (1.105). Это дает — —,— ',) 1'Я =- Э".
(2Л51) Продифференцируем выражение в круглых скобках по 1, учитывая, что с(сь/с(1= 1, и разделим все члены на 1. В результате с +Я1++=Э (2Л52) а при вторичном дифференцировании Лз? Л? 1 ЛЭст 2' — + Я вЂ” + — 1= —. зсз Лс С с(с ' (2Л53) Это известное уравнение теории цепей переменного тока. Оно получено в пренебрежении излучением, распределение полей предполагалось близким к стационарному, электрическое и магнитное поля счнлалпсь сосрсдоточеннымп в различных областях. Кроме того на стадии получения равенства (2.151) был использован принцип цепи: ндентпчпость тока 1(1) в любой момент 1 во всех элементах.
Все этп допущопня оказываются неправомерными для достаточно быстрых процессов. К атому мы еще вернемся в гл. 9 в теории излучения. УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти злентростатнчесное поле равномерно заряженного (р = сонзЦ бесконечного цилиндра. Кан нзменнтсн результат, если рассматрнвзетсн нроноднщнй цнлнндр того же диаметра нрн прежней погонной нлотностн заряда? 2. Найти емкость, приходящуюся на еднннду площади системы параллельных проводящих плоскостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
