Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда из первого уравнения (2.77) получаем Р(т) гос г01 Н = Рос 1. (2.81) Пусть, далее, среда однородна, а следовательно, нз второго уравнения (2.77) вытекает, что СНТН = О. Прп этом в силу (1.29) равенство (2.81) переходит в векторное уравнение Пуассона типа (2 12)( )22Н вЂ” — гоь 1, (2.82) Рвс. 239 и мы записываем его решение на основании формулы (2.13): (2.83) У Подынтегральпое выражение преобразуем при помощи формулы (1.27), положив в ней Р =1 и с)) = (г — г'! '.
Это дает В() = ' (),в ) '' с. ) ')с с ',, )(,))с,). ()м) Нетрудно убедиться, что первый интеграл равен пулю. Для этого используем формулу (1.37), согласно которой 1(г') а, с(з(1(г'), йз) 6' ' ° 1г — г'( ',7' (г — гЧ ' У (2.85) и отметим, что т' есть область, содержащая все токи, либо более широкая область (объемные интегралы сохранят свои значения). Что касается поверхностного интеграла, то он явно равен нулю, когда граница Ь' проходит там, где нет тока. Значит, последнее равенство есть тождество 0 = О. Остается вычислить вегас('(г — г'~ ', что делается посредством формул (1.28) и (2.2) и дает гвс~г — г'~ '. После этого (2.84) переходит в (2.79). ° Интересно, что в конечном счете снимается требование дифференцируемостп 1; оно только облегчало вывод, Переход от общего выражения (2.79) к случаю линейных токов (2.80) очевиден, однако ниже мы еще вернемся к линейным токам для обсунсдепия пх формализации (и.
2.3.5). Наконец, заметим, что закон Био — Сазара нередко записывают в форме дифференциала йН(г) =(1/4я)(с)Г, гв,!!г — г'~ 2. При этом гл. 2. стхтические и дг. поля 90 2 2.2. стАциОнАРные 21Агнитные НОля »!Н(г) есть вклад в Н(г), создаваемый элементом контура а с током 1. 2.3.2.
Потенциалы в теории стационарного магнитного поля (А). Хотя обобщенный закон Вио — Савара (2.70) дает полное решение системы уравнений (2.77) для заданного распределения тока в однородной среде, по традиции использу»отса также вспомогательные функции, потенциалы, которые, как и;шектростатпческий потенциал гр, приводят к нахождению поля после дифференциальных операций. 1(, В п. 2.1.3 уже был введен магнптостатический потенциал»р.
В принципе, представление (2.36) может быть использовано и нри рассмотрении магнитного поля постоянного тока в тех областях, где ! = О, ОдРнс. 2.20 пако оказывается, что разность потенциа- лов двух точек М1 и М2 — в отличие от электростатики — теперь зависит не только от положения этих точек, по и от вида пути интегрирования в формуле, аналогичной (2.24). В данном случае и ф,— ф»= ~ на. (2.86» и, Пусть имеетсл контур тока 1 (рис.
2.20). Выоирая пути интегрирования М1тМ2 и М1пМ2, мы явяо будем получать разные результаты, поскольку согласно первой формуле (2.78) на = ) на+1. (2. 87» и,.ом» 21»ви« 1'ели же при интегрирования производится Й-кратный обход тока (путь М1оМ2) то на = ! Па+ й1, (2.88» и, и, И "РИ причем величина Й полонгительпа, когда направление обхода замкнутого контура М1тМ»рМ1 и ток 1 образуют правовиптовук» систему, Таким образом, разность магпитостатических потенциатов, будучи вполне определенной величиной в магннтостатике (п. 2.1.3)„ в теории стационарного магнитного поля вообще неоднозначна. Но если затянуть контур тока воображаемой пленкой, через которую запрещено проводить пути интегрирования, однозначность. восстанавливается. Такая «плепка», т.
е. поверхность, опира1ощаяся на контур тока (причем форма ее произвольна), есть, в сущпости, поверхность разрыва »Р па величину 1. Введем новую вспомогательпу1о ве:п1чнну, пазываему1о векгор21ь1и потепциалоз1 и обозначаемую символом А. По определегппо В = го!А, (2.80) откуда следует, что векторный потенциал определен только с точпостьго до аддптпвного градиента. Это значит, что взяв вместо А величину А+ УЧ' (где Ч" — произвольная скалярная функция), мы получим по формула (2.80) прежп1ою величину магнитной ппдукцпп В в силу (!.22).
Из (2.77) (первая строчка) получаем следу1ощее уравнение, которопу удовлетворяет А: го! И ' го1, А = Ио1, (2.90) .а для однородной среды (И = сопз1): го« гоТА = ИоИ1. (2.91) Вниду отмеченной выше неопределенности А можно налонгить дополнительное условие а1ТА = 0, (2.92) которое иногда называют «кулоповской калибровкой». Тогда (2.91) ввиду тождества (1.29) переходит в следующее векторное уравнение Пуассона: 22»А = ИОИ1, (2.93) Гго решение типа (2.13) есть А( ) 1«И ~' 1(г') 4л, 1г — г'! (2.94) а в случае линейных токов (2.04) прннпиает впд И„И1,4; а' А() о (29 ) Нак видно, введение векторного потенциала А позволяот нахо,дить магнитное поле заданного тока в два приема: сначала путем интегрирования при помощи формулы (2,04) либо (2.95) определяется А, а затем согласно (2.80) напряженность маш1нтного полл вычисляется как (И»И) 'го1А (дифференцирование). В ряде случаев зтог путь оказываетсл мепоо трудоемким, чем непосредственное применение закона Вио — Савара в форме (2.79) или (2.80).
2.3.3. Аксиально-симметричные поля (А). Простейшее акснальпо.симметричное магнитное поле рассматривалось еще в гл. (пример '1). Имеется в виду поле прямолинейного постоянного нитевидного тока. Иолу ншпая там формула (1.58) справедлива для цечого класса задач, в которых магнитные спловыо лищти являются концентрическими окружностями. Это будет по всех случаях, ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ Рис. 2.22 гз г итз ! Г Аг, 1/Г О В, Вг О Л г. Рис. 2.21 (2.96) ( 3 ) 'г (к,'— кз) ' О, Рис. 2.23. (ЭВМ) когда проводники обладают осевой симметрией. В данный класс входит, например, провод круглого поперечного сечения, труба, коаксиальный кабель. Применяя формулу (1.58), нужно помнить, что 1 в числителе — это ток, проходящий внутри контура 1, совпадающего с силовой линией радиуса г. Таким образом, вектор Н на расстоянии г от оси системы оззределяется только те22 током, который проходит внутри Ь.
На рис. 2.21 вместе с поперечными сечениями трех систем даны графики их полей, полученные на основании (1.58); показаны также примеры контуров 1, различающихся качественно. Например, 1о на рис. 2.21а охватывает ток, величина которого пропорциональна г', а 12 — весь ток провода. На рис. 2.21б контур Ь| вообще не охватывает тока, и поле Н внутри трубы отсутствует. В качестве примера запишем формулы, соответствующие случаю коаксиального кабеля (рис„2.21в): О ( г « В О В <г<ВМ 2~~~ ~~ 3 г ~ 1Вз. Интересно, что магнитное поле внутри кольцевого сердечника с равномерной обмоткой (рис.
2.22) также может быть определено по формуле (1.58), поскольку силовые линии близки к концентрическим окружностям. Если контур интегрирования Ь лежит внутри сердечника, то оп охватывает ток и1, где и — число витков обмотки. Ток, проходящий через всякий внешний контур, равен 9 2.3. СТАЦИОНАРНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ Гл.
2. стлтичГскагв и дг. 1аоля (2.97) (2.98) ш = хонор18. (2,99) Рис. 2.24. (ЭВМ) н Ч б Рас. 2.25 ну:по. Поэтому Н вЂ”. аз 2п, Р (г) ~ Я, Н = О, Р (г) е- :Я, Разумеется, запись (2 97) приобретает стропай смысл, если обмотка заменяется сплошныи проводшаком, охватывающим сердечник (тогда силовые липин — настоящие окружности). На основании (Е58) моакно также находить поля, создаваемые нескольккмн прямолинейными токами, параллельнымп либо аптнпараллельпымн.
Надо лишь сложить отдельные поля прн соответствуаощей законе координат в (Е58). В качестве примеров на рис. 2.23 показаны картины магнитных силовых линий двух токов =г1 и 1, а на рис. 2.24 — токов (~'!а2)1 и 1. 2.3.4. Виток тока как магнитный диполь (А). В этом разделе будет показано, что замкнутый коятур тока па больших расстояниях действует как магнитный диполь. Конкретно будет рассматриваться замкнутый круглый контур, виток тока (рис.
2,25а). Эквивалентный ему магнитный диполь (рис. 2.25б) обладает магнит- .ныла моментом Дело в том, что создаваемое витком магнитное поле прн г» а .имеет напряженность Н (г) — „(г,2 соей + Ф, айпи). 4лр ргз 'Сопоставляя эту запись с выражением Е поля днполя в электростатике (2.47), видим, что обе формулы по своей структуре ндентичпы. При этом роль р в (2.47) в выражении (2.99) играет новая величина нь Понятие магнитного момента вводится по аналогии с определением электрического момента (2.44). Если ввести условные мапштпые заряды, показанные па рнс. 2,256, то ш = дН. ВЫВОД. Рассьаотриха круглый контур тока 1 (см.
рис. 2.26а). Для определения его поля можно было бы применить закон Ннов Савара (2.80), но мы будем исходить из формулы (205) н снача.ла найдем векторный потенцаиал. Пусть А определяется в точке наблюдения Р(г), имеющей сферические координаты г, д, са = (80'. Пр~ этом для текущей точки интегрирования а,а(г') оказываются фиксированными коордааяаты г = а п 6 = 90'; изменяется лишь угловая координата ах'. Расстояние ~г — г'~ в (2.95) есть ((7Мг+ ЛХРз)"' арис. 2.26а) п, следовательно, ~г — г'~ =(г'+ а'+ 2гагйпд соз са') ", так как МРт = = г'созе 9 и ааМ'= г'заезд+аз — 2газапд соз 9. Векторный диф.феропцпал длины йР разложим на две компоненты (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
