Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2. Отлтпчкскпв и дг. поля 11спользуя сферическую систему координат, как показано ка рис. 2.6л, вычислим напряженность поля Е на основании (2.21). 11ри этом воспользуемся формулоп (2.3) н табл. 2.2. Внося (2.46) в (2.21), записываем: д) / д 1 д г созе Е= — — ~г — +й — — ) — ', 4ле е( едг о г дд) о' г Я Г~' (третпй член выпадает, так как гр пе зависит от дз = а). Это дает Е(г) = " а (г,2созб+ йез1п()). (2.47) 4ле ег е (члены высшего порядка малости опущены).
Поэтому иэ (2.42)' следует Рг Леоег 4ЛЕЕЕгз (2. 48) где г,) = ~'„г)г и Р.=. ~~'' Ч;г,. (2.49) Смысл полученного результата весьма прозрачен. Первый член справа в (2.48) есть пе что иное, как потенциал точечного заряда, величина которого — алгебраическая сумма всех зарядов. Если эта сумма ~',) (2.49) пе равна нулю, то на достаточно больших расстояниях вторым членом в (2.48) можно пренебречь. В этом случае система зарядов из области наблгодения предстает как точечный заряд 1е). Если же 1) = О, или, как говорят, система зарядов нейтральна, 1 ) Символом ЭВ51 е тексте будут обозначаться рисунки, выполненные при пюгоппг ЭВМ (см. Приложение, с.
538). Па рпс. 2.7 ') представлены картины силовых линий двух точечных зарядов, равных по абсолютной величине, в двух масштабах. Заряды имеют одинаковые злаки (а) и противоположные (б). Таким образом, па рис. 2.7б (справа) дается представление о поле диполя. Аналогичные картины силовых линий в случае заряженных нитей лапы на рис. 2.8. Будем, далее, исследовать систему произвольного числа зарядов, поставив условие, чтобы расстояние от любого заряда до точки наблюдения значительно превышало наибольшее расстояние между отдельными зарядами системы. При вычислении потенциала (2.42) разложим в ряд входящие в каждый член суммы функции расстояния: ГЛ.
2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ то потенциал на больших расстояниях определяется вторым членом разложения (2.48). Сопоставляя его с вырая|ением (2.46), видим, что это потенциал диполя с моментом Р (2.49). Система проявляет себя как диполь. Заметим, что вторая из формул (2.49) есть общее выражение для электрического момента нейтральной системы. В частном случае-двух зарядов отсюда следует выражение (2.44). Обратимся теперь к рис.
2.9, на котором в двух масштабах представлены картины силовых линий системы трех зарядов. В одном варианте (а) величины зарядов (слева направо) соотносятся как +6, — 1 и — 2. Видно, что с удалением от системы поле становится радиальным. В другом варианте (б) система нейтральна при следующем соотношении величин зарядов: +6, — 2, — 4. В этом случае поле ва больших расстояниях явно приобретает дипольный характер.
На рнс. 2.10 аналогичные картины силовых линий построены для системы трех заряженных нитей. Соотношения расстояний и зарядов (в данном случае в виде погонных плотностей) прежние. 2.2.2. Проводники в электростатике (А). Электростатические поля не существуют в проводящих средах. Всякому электрическому полю в проводнике сопутствует ток ) = СЕ. Поскольку в электростатике ток отсутствует и на поверхностях проводящих тел, оказывается равной нулю тангенциальная компонента вектора Е. Отсутствие любой из компонент вектора Е внутри проводящеге объема Г и на его поверхности О означает, в свою очередь, неизменность электростатического потенциала ~р. Можно написать <р = сопзВ (2.50) в объеме Г и на поверхности Я, проводящие тела эквипотенциальны.
Однажды мы уже рассматривали границу раздела двух сред, внутри одной из которых поле отсутствует (см. пример 5 в гл. 1). Оказалось, что на такой границе Е, = О, 2). = э, (2.51) т. е. отсутствует тангенциальная компонента вектора Е, а вектор 22 имеет одну нормальную компоненту, равную плотности поверхностного заряда. Теперь очевидно, что этот вывод относится к провод- пикам в электростатике.
Именно их поверхности оказываются заряжеппымн. Обсуждавшиеся свойства проводников являются следствием подвил'ности зарядов, В процессе установления равновесия они «расталкнваются» полем и оказываются на поверхности проводника, занимая в конечном счете такие положения, что внутреннее поле нейтрализуется. В общем случае распределение заряда на проводнике заранее неизвестно. Ио, например, проводящий шар (в отсутствие влияющях предметов) заряжается равномерно: З =сопз1, что соответствует симметрии задачи. Заметим, что выше в и. 2.1.2 (конец второго 2 2.2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ГЛ.
2. СТАТИЧ!ЗСКИЕ П ДР. ПОЛЯ 78 1 2.2. злектРОстАтическпе пОля примера) был рассмотрен, как это теперь ясно, именно проводящий шар). Полный заряд проводящего тела в электростатическом поле может, в частности, быть равным нулю, однако отсюда отнюдь пе следует, что везде на поверхности проводника $ = О; последнее означало бы с учетом (2.5!), что поля нет. Пусть, например, незаряженный проводящий цилиндр вносится в однородное электростатическое поле. С учетом сохранения заряда полный заряд цилиндра так и останется равным пулю. По поло должно деформироваться таким обт разом, чтобы силовые линии оказались ортогональными проводящей поверхности (рис. 2.>!).
А это и означает, что вообще Ц ныл. Как видно, — г "" ' "' Р» ванне подтверждает, что «наведенный» поверхностный заряд действительно равен нулю в целом. Появление заряда под действием поля пазывают электростатической индук>)ией В электродинамике нередко рассматриваетсн задача о совокупности проводящих тел, потенциалы которых известны. Она формулируется как следующая краевая задача для уравнения Лапласа: =0 р=б, (й -') тр=Ф, на д, (Б> — поверхности проводников, Ф; — заданные на них потенциалы).
Эта задача Дирихле имеет единственное решение (см. и. 2.0.4). Можно показать, что единственное решение будет иметь и по-другому сформулированная краевая задача, в которой вместо,потенциалов Ф; задаются полные заряды проводников д,. После того как. потенциал гр, а затем и поле найдены, становится известным распределение заряда на каждом проводнике. Опо складывается з результате взаимного влияния — - электростатической индукции — всех проводников. П р и и е р 3, Рассмотрим влияние точечного заряда на проводящую плоскость. Поло при наличии этой плоскости показано на рнс. 2.12«. Оно оказывается ташш. нак > ели бы кроме исходного заряда д дойствовало также его «изображение» вЂ” ж Деиствительно, поле н верхнем полупрострапстве удовлетворнет в этом случае условию Е, = О, и плоскость — эквипотснцнальна.
)Вела>г опредечить плотность наведе>пп>го заряда $, найдем сначала Е на Я (рис. 2Л24>). При этом складываются полн двух точечных зарядов: действительного и фиктивного, «огра:кеппого». В результате получаем дй Е= — т„2 2 со»0 =.— т (2,53) 4не,ю.е " 2ле и. 'е ' ''е' Отсек!а 5 = е»еЕ Вычислим полный заряд д'. наведенный на плоскости. Обозначая й = ) г> — й», пишем: 2Л 2л (' (' «й ( ') Нг>)а „ж —...--" ! "— ~йж ),) в о л Если рассматриваомая плоскость — ато одна иа двух сторон проводящего слоя, который был первоначально пе заряжен, то на другой его стороне появится противоположный поверхностный заряд «. ° хт!/г х х '~ ! ! l '. > ! а Рпс. 2Л2 Примененный прием называется методом зеркальных изобралеений, Он позволяет находить поля точечных зарядов и их систем при наличии проводящих плоскостей.
2.2.3. Емкость (А). Обсудим одно из важных представлений электростатики. Рассматривая некоторый уединенный проводник, будем вычислять его потенциал посредством (2.25); тогда это— вполне определенная величина. При линейности среды заряд д и потенциал гр, определенный по формуле (2.25) для конкретного проводника, сняэаны линейной зависимостью; это следует из линейности уравнений электростатики.
Поэтому каждый проводник можно Охарактеризовать при помощи своего коэффициента пропорциональности С. связывающего потенциал и заряд: С = д!<р. (2.54) Можно сказать, что С есть характеристика проводника как «накопителя» заряда, Параметр С называется емкостью уединенного проводника. Емкость измеряется в фаридах [Ф). П р и м е р 4. Для нахождения емкоспг уединенного шара определим его потенциал по формуле (2.30), ваяв в качестве г радиус шара й. Дело в том, что поле вне >пара оказывается таким же, ьак и в случае точечного ааряда (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
