Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Чтобы перейти к эквивалентному условию (1.88), заменим в (1.87) тэ через [пе, чэ1 и перенесем т)пэ в левую часть. Таким обра- зом: (Н~ — Нэ)[по, чо[ — т)по= ([чо, Н1 — Нз) — з))по = О. Отсюда ввиду неопределенности пэ следует (1.88). ° 1.4.4. Некоторые следствия граничных условий (А). Рассмотрим несколько примеров применения граничных условий. П р я м е р 4. Пусть яь границе раздела двух изотропных сред поверхност- ные заряды я токи отсутствуют. Поведение полей — электрического яля мэг- натвого — можно охарактеризовать цри помощи картин преломления силовых линяй, показанных ва рвс. (Л9. В одном случае (а) проницаемость е(М) вто- рой среды выше, чем первой, а з другом (б) — ниже. Из полученных въппе е, Р /н,в,) е,Р (и,в) л.<ел(Н.<Нэ) к(Н,- Н,,' Рнс.
130 вг Нг=О В,=О Е;=О в=о Рис. 1.20 Рис. 1.22 (1.92) Рнс. 1.21 (1.00) Гл. г. исходные понятия и уРАВнения граничных условий с привлечением материальных уравнений (1.67) н (1.68) следует, что Но = Н.г (Н„= Н,) при е~Е,~ = егЕ г (В~На = (ггН г). Поэтому 18ап(йаг ег/е, н 16апгйаг =)гг/)гь ° (188) Пример 5. Если граанца раздела сред обладает свойством экраввровання, так что поле в среде 1 может существовать, ве проникая в среду 2 (Ег ,= 0 н Вг = 0), то нэ (1.84) следует, что ЕО = О, т.
е. Е~ подходит к гравице по нормали (рис. 1.20а), а из (1.86) получается, что Вы = 0 н потому вектор В~ направлен ва границе касательно (рис. 1.20 6). Применяя, далее, граничные условия (1.83) н (1.88) с учетом того, что Рг — — 0 и Нг О, получаем Нм =Ь (вы Н~) -ц. з !.э.
лОкАлизАция и ЛВижение энеРГии пОля Мы видим, что существование поля в среде 7 прн его отсутствии в среде 2 обусловлеао поверхаостаыми зарядами н токами. ° Пример 6. Пусть в среде с высокой диэлектрической (магннтаой) проницаемостью имеется узкая щель. Если в среде вектор Е(Н) параллелен щели, то согласно (1.84) н (1.87) при г) 0 следует, что напражснаость волн в щели — та же, что н в среде (рис. 1.21а).
Если же вектор Е(Н) перпендикулярен щели, то нэ (1.83) прн $ = 0 н нз (1.86) с учетом материальных уравнений находим, что напряжеаность поля в щели (прн иэотропин среды) в е()г) раэ больше (рнс. 1.2Ы). ° 1.4.5. Применение дельта-функции Дирака (Б).
Поверхностный заряд можно условно представить как объемный, который распределен с плотностью р(г) е(тп 62)б(т т ), (1.91) где 6 — плотность поверхностного заряда на поверхности О', функция координат йи дг, заданных на этой поверхности; т — нормальная координата, принимагощая значение т' при пересечении Я (рис. 1.22а). Аналогично можно рассматривать поверхностный ток, введя плотность (рис. 1.22б) 1(г) г)(г)ь дэ)б(у — т').
е 1.5. Локализация и движение энергии поля 1.5.1. Закон Джоуля — Ленца и превращения энергии (А). По скольку электромагнитное поле физически реально, оно обладает энергией. После ряда рассуждений и операций над уравнениями Максвелла мы выясним, каким образом векторы поля Е, Н, П и В определяют его энергию )4'. Можно подойти к этому, начав с вопроса о превращениях энергии поля. Известно, что при наличии электрического тока в реальной среде выделяется тепло. Зная плотность тока 1 и напряженность 4 В. В.Никольские, Т. И.пикольскак ГЛ.
!. ИСХОДНЫЕ ПОНЯтпя И УРАВНЕНИЯ э ! а локллизлцня п движение энюпш поля поля Е, нетрудно, как мы увидим, найти энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени, т. е. мощность тепловых потерь Р. Оказывается, в объеме У расходуется мощность Р = ] ]Е с(Р. (1.93) 'У Чтобы убедиться в справедливости записанного выражения, обратимся к простому варианту, который показан на рис. 1.15а. В этом случае применение формулы (1.93) дает: Р = 1ЕУ = .(ЯЕ = Ш (поле и ток внутри малого цилиндрического объема У=Я однородны, а величины 1 и П определяются также, как в п.
1.3.3). Как видно, полученное равенство эквивалентно закону Джоуля— Ленца, известному из курса общей физики. Таким образом, применение формулы (1.93) означает обращение к закону Джоуля— Ленца. По смыслу равенства (1.93) подынтегральное выражение р =1Е (1.94) есть не что иное, как плотность мощности, т. е. мощность, отнесенная к единице объема: р = 11ш —,.
(1.95) дт» Л)'' Полученные выражения мощности и ее плотности (1.93), (1.94) имеют универсальный характер. Они верны не только при расчете дясоулевых потерь, но и сохраняют смысл во всех случаях, ногда рассматриваются токи. П р в и е р 7. Согласно (1.45) ка некоторый точечный заряд з злектромзгкяткоы поле действует сила Р = д(Е+ [т, В]). Выделив малый элемент ЛУ э»раж«якого объема, положим д = рЛУ. Пря перемещении заряда совершается работа, которая для векторного дзфферекцкалз пути т(1 равна АА = «Ес(1 = р«ВЕЛУ (лоренц«за сила д[т, В], будучи поперечной, работы ке производит).
Сзязакная с ЛУ мощность ЛР может быть определена как работа, прокзведеякая за едкязцу времени: ЛР = АА(А! = р(Ы/А!)ЕЛУ = р»ЕЛУ, врач«к в силу (1.75) 1= ръ Определяя отсюда плотность мощности р = = ЛР(ЛУ, получаем: р = ]Е, что совпадает с (1.94). ° Отметим, что в зависимости от направления движения зарядов величина р может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут ускоряться полем.
При этом 1 и Е параллельны, р > О, и энергия у поля отбирается. Очевидно, что р( О, если 1 и Е антнпараллельны. Это будет, например, в том случае, когда движепие зарядов против поля создается каким-то неэлектромагнитным, «сторонним» процессом, который отдает свою энергию полю, тормозящему заряды. Описание незлектромагнитных факторов, как говорят, сторонних сил в большинстве случаев сводится к изьсенению вида материального уравнения (1.69). Используется одна из следующих формализаций: )= о(Е+ Е"), 1= ЯЕ+ 1".
(1.96) Введенные здесь функции Е"' и 1" при решении электродинамических задач являются заранее заданными. Величина Е" называется напряженностью сторонних сил (или просто сторонней напряженностью), а 1'т — сторонним током. Теперь мы можем детализировать выраясение плотности мощности (1.94). Используя (1.96), имеем р = о ']2 — 1Е", р = ЯЕ2+ ]"Е (1.97) (в одном случае Е в (1.94) выражено при помощи первого равенства из (1.96), а в другом случае — 1 получено при помощи второго равенства). Таким образом, мол!но написать р=р +р (1.98) где п 1-!]2 !Е2 тт ]Етт ]ттЕ (1.99) Первый член р' характеризует поглощение, потери энергии электромагнитного процесса, а второй — р" — действие сторонних сил. Сторонние силы обычно локализованы.
Если, например, они сосредоточены в некоторой области 1", то согласно первому равенству (1,96) 1 ИЕтт в У' и 1 = ЯЕ вне У'. Будем называть Уз областью источника. Позднее мы еще не раз вернемся к обсуждению понятия сторонних спл. Интерпретация пх будет несколько расширена. 1.5.2. Баланс энергии поля (А). Дальнейшее обсуждение будет опираться на уравнения Максвелла (1.49), (1.50).
Все члены второго пз них умножим на Н, а все члены первого — на Е: Н го1Е = — Н=, зс' Е го( Н =- Š— + Е1. Вычтем левую и правую части второй строчки нз соответствующих частей первой, тогда слева получим выражение Нго( Š— Его1 Н, которое мы свернем посредством формулы (1.26). В результате будем иметь с](т [Е, Н] = — Н вЂ” — Š— — ]Е. (1, 100) Равенству (1.100) нетрудно придать интегральную форму. С этой целью проинтегрируем все его члены по некоторому объему У, ограниченному поверхностью 8, а затем левую часть преобразуем на основании теоремы Остроградского — Гаусса (1.33): (~) [Е, Н],с]в = — ~ (Н вЂ” + Е з! ) сЬ вЂ” ~]ЕсЬ.
(1.101) в У У 54 55 (1Л11) и электрическую энергию И" = — ' ! Е'с(сг = — ( Е)У с(щ (1.112) г Рпс. 1.24 Пс)в = 12Я, 1' (1.109) Е [) Рис. 1.25 Л) дН д /Ссе)сН ! Н вЂ” =урн — = — (1 — ' Св = о дС = дС ( 2 [ где У = Ед и С 2528/д. ° ГЛ. !. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНПЯ Р= О (нет ни сторонних сил, ни внутренних потерь либо они взаимно уравновешены), тогда Р'= — с(И'/агг, а поскольку Рх) О, то с(И'/с(С< О. Это значит, что излучение обусловлено убыванием запаса энергии в )г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
