Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть поверхность Я (рис. 1.17а) разделяет среды 1 и 2. Выберем на о точку М и выделим столь малую ее окрестность ззо', что этот элемент поверхности можно считать плоским. В точке М построим орт нормали тс (направление — из среды 2 в 1). Можно также построить на сто сколько угодно касательных ортов; выберем из них два ортогональных: тс и тз. При этом получена тройка ортогональыых векторов тс, то и тоз по которым можно разложить любой из векторов поля Е, Н, В и Р в точке М. Если орт то выбран так, что он совпадает по направлению с проекцией некоторого вектора поля Г на зло', то имеем разложение Г' = тот",+ тор,. Говорят, что вектор поля г" разложен ыа нормальную и тангенцнальную (касательную) компонеыты. В ряде случаев ыа границе раздела сред могут располагаться микроскопические носители заряда, как неподвижные, так и образующие ток проводимости.
В макроскопической электродинамике принимается, что такого рода заряд не занимает объема, а является поверхностным. Ллотностью поверхностного гаряда называют величину э) = Пш( —. а! А- (1.82) Ряс. 1.18 ГЛ. !. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ $ = 11ш — '" (1.81) АВ о~~ (ср. определение плотности р (1.41)). Поэтому допускается также существование поверхностного тока. Пусть такой ток проходит по поверхности 8 (рис.
1Л7б) и ортогонально пересекает линию причем в некоторой точке М на линии 1 его направление указывает орт 1о. Плотностью поверхностного тока в М называется ве- личина Нашей ближайшей целью является выяснение того, как ведут себя нормальные и тангенциальные компоненты векторов поля на различных границах раздела разнородных сред.
Попутно войдут в рассмотрение также поверхностные заряды и токи. Поскольку е, д и а разрывны, надо ожидать, что компоненты векторов поля при переходе границ раздела сред тоже будут испытывать разрывы, т. е. либо обе компоненты некоторого вектора поля Г, либо одна из них — нормальная или тангенциальная — изменяются скачкообразно. Тогда векторная линия должна претерпевать излом, как это показано на рис. 1Л7в,г; мы предполагаем, что это некоторая плоская кривая. На границе переход от Р! (в) к хз (г) происходит в общем случае с изменением как абсолютной величины, так и направления вектора. Понятно.
что в точках разрыва векторов поля мы лишены возможности применять уравнения Максвелла в дифференциальной форме (1.49) — (1.52). Мы обратимся к интегральной форме этих уравнений (1.53) — (1.56) и получим важные соотношения, которые называют граничными условиями. 1.4.2. Граничные условия для векторов электрического поля (А) Покажем, что вектор электрической индукции Р подчиняется следующему граничному условию: (Р— Р)Р В, т.
е. в граничных точках разность нормальных компонент вектора Р в обеих средах Р!Ро=Р,! и Ргуо=й,а равна плотности поверхностного заряда $. Если граница не несет заряда ($0), то нормальная компонента Р. вектора Р при переходе границы остается непрерывной. ВЫВОД. В основу анализа положим третье уравнение Максвелла в интегральной форме (1.55), теорему Гаусса.
Построим пересекающий границу малый цилиндр высотой Ай (рис. 1Л8а). Основания его параллельны оказавшемуся внутри участку границы ЬЯ, который рассматривается как элемент плоскости. Пусть 8 в (1.55) есть поверхность рассматриваемого цилиндра, состоящая из его оснований и боковой поверхности. Ввиду малости 9 !Л. ПОЛЯ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА СРЕД цилиндра поле на его основаниях можно считать однородным: Р ° сопз1. Внешняя нормаль к верхнему основанию направлена по чэо, а к нижнему — противоположно.
Поэтому, раскрывая интеграл в (1.55), получаем Р,У,А8 — Р,РЗА8 + Фоог = АЧ где первые два члена получены при вычислении потока вектора Р ээ через основания цилиндра, а символом Фоог обозначен поток Р через его бокову!о поверхность; в правой части — полный заряд Ьд внутри цилиндра. Теперь будем неограниченно уменьшать высоту цилиндра ЛЬ, но так, чтобы его основания оставались в разных средах и в пределе при АЬ- О совпали с элементом граничной поверхности АО'.
л,э При этом исчезает боковая поверхность цилиндра, а с неи Фо„. Так как становится равным нулю его объем, то исчезает и та часть заряда, которая могла быть распределена в объеме (если была отлична от нуля плотность заряда р (1.41)), т. е. в рассмотрение входит лишь заряд Ад=$АЯ, сосредоточенный на самой границе. Итак, достаточно разделить все члены равенства на АЯ, чтобы получить граничное условие (1.83). ° Следующее граничное условие имеет вид (Е! — Ег) то = О.
(1.84) Оно означает, что тангенциальная компонента Его = Ет вектора Е при переходе границы раздела сред всегда остается непрерывной. Вместо (1.84) часто употребляется эквивалентное равенство (Уо, Е! — Ег) =О, (1.85) более удобное в том смысле, что уо выбирается однозначно. Гл. ь походные понятия и угьвнення 46 % г 4 поля нь ггьпицьх вьздвль сгкд ВЫВОД. Пересечем граничную поверхность Я плоскостью Р, проходящей через нормаль к Я (рис.
1.18б), и построим на ней малый прямоугольный контур АВСР, лежащий в обеих средах. Его стороны АВ и СР параллельны пересеченному участку границы, который можно считать плоским. Ооозначим АВ = СР = А), ВС =АР= ЛЬ. На рис. 1.18б кроме орта нормали чэ к Я показан также орт касательной то. Построен также орт нормали пз к Р, направленный касательно к Я: то = [по, чо). Вывод основывается па применении второго уравнения Максвелла в интегральной форме (1.54), причем в качестве Ь берется контур АВСР.
Ввиду его малости поле на сторонах АВ и СР можно считать однородным: Е = сонэ(. Направление обхода контура на АВ будем производить по та, тогда на СР оно окажется противоположным тэ. Поэтому из уравнения (1.54) следует Е1т,А) — Е,т,А) + Сь,„= — — „, ~ В де. ьг Здесь первые два члена получены прн вычислении циркуляции вектора Е на участках АВ и СР контура С, а оставшаяся часть з циркуляции обозначена Сььк (это вклад боковых участков ВС и РА ). Вычисление магнитного потока в правой части (1.54) производится через площадку АР, ограниченную контуром Х.
В пределе при ЛЬ- 0 стороны АВ и СР совпадают на границе Я; при этом также ЛР- О. В результате Сь,„и правая часть равенства исчезают. Отбрасывая общий множитель Л), формально приходим к граничному условию (1.84). Остается только понять, что тэ в (1.84) мы имеем право рассматривать как орт совпадающих по направлению проекций Е~ и Ез на Я. В процессе вывода ориентация плоскости Р, а следовательно, и вектора тэ была произвольной. Поэтому равенство (1.84) справедливо для любого направления тэ на Я. Направив тэ сначала вдоль проекции Еь а затеи ортогонально к ней, пз (1.84) видим, что во втором варианте проекция Ез равна нулю. Это и доказывает совпадение проекций Е~ и Ез на Я по направлению.
Чтобы получить граничное условие в форме (1.85), заменим тэ в (1.84) через [пз, чэ), а затем учтем свойство (1.5) смешанного произведения векторов: (Е~ — Еэ)[пэ, чэ) =[чэ, Е~ — Ез)по =О. Отсюда непосредственно следует (1.85), поскольку орт пь, задающий ориентацию плоскости Р, является неопределенным. ° 1.4.3. Граничные условия для векторов магнитного поли (А).
Нормальная компонента вектора магнитной индукции В всегда не прерывна: (В1 — Вэ) чэ = О. (1.86) ВЫВОД. Взяв эа основу уравнение Максвелла в интегральной форме (1.56), повторим все рассуждения, использовавшиеся при выводе граничного условия (1.83). При этом получается промежуточное равенство В,чдАЯ вЂ” ВзчьЛЯ + Фс,„= О, где Фьь„— поток вектора В через боковую поверхность цилиндра, исчезающий в пределе при ЛЬ- 0 (см. рис. 1.18а). Отсюда следует (1.86).
° Тангенциальпая компонента вектора Н непрерывна только при отсутствии на границе поверхностного тока, а в общем случае справедливо граничное условие (см, рис. 1Л8б) (Н1 Нз) тэ э)по. (1.87) Чаще применяется эквивалентное граничное условие [чэ Н~ — Нэ! = т). (1.88) В Ы В О Д. Исходя из первого уравнения Максвелла в интегральной форме (1.53), выполним те же операции, что и при выводе (1.84). Рассмотрим промежуточный результат Н1тьЛ) — Н,тзй) + Сьчч = — ~ Вбз+ 1) бв, дг ьг где С~,щ — вклад боковых участков контура ВС и РА в циркуля- цию Н, который исчезает при ЛЬ- О.
Одновременно исчезает пер- вый из интегралов в правой части равенства. Второй же интеграл, выражающий полный ток проводимости, проходящий через ХР, при т) ч-0 не уничтожится. Когда при АЬ- 0 площадка АР вы- рождается в отрезок Л), ьыа У = Пш ) )де = 1ип п,А) ~ )(ч)сЬ, ььо' дг ьь о где ч — нормальная координата. По своему смыслу последний ин- теграл в пределе есть не что иное, как плотность поверхностного тона ч). Таним образом, У ппэЯ, и при ЛЬ- 0 мы получаем гранич- ное условие (1.87).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
