Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Зависать аисте»с) уравнений Максвелла атвоситальяа изиряжеииастай поля (искл»очна иядуяции). Глава 2 СТАТИЧЕСКИЕ, СТАЦИОНАРНЫЕ П КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛН и 2.0. Используемые математические понятия п символы 2.0.1. Г радпент длины направленного отрезка (А). В дальнейшем мы не раз будем рассматривать переменное расстояние между двумя точками Р и Д (рис. 2.1), характеризуемыми своими ра саек торами г и г .
Последние представим в декартовой системе коор- е динат с началом 0: г=хах+уау+гаг и г' =хах'+усу'+газ'. Тогда длина направленного отрезка (~Р = г — г' есть )г — г'! У(х — х')2+(у — у')'+(г — г')', и мы можем определить градиент этого скаляра, пользуясь формулой (1.14), ягай (г — г'! =(г — г')/(г — г'! = га, (2Л) (символом га, обозначен орт с направлением г — г'). Расстояние (г — г'! фигурирует здесь как функция положения точки Р при фиксированной точке (). Но можно также фиксировать точку Р и рассматривать (г — г'! в качестве функции координат х, у, г'.
Вычисляя градиент по этим координатам, получаем ягай' )г — г'! = — (г — г')/(г — г'! = — га, (2.2) Тзолицз 21 Криволинейные ортаговазьиые системы координат: обазиачевия Назер Координата Орт Метрический ка- зффициаят ез ь< ес ьс понятен из рисунка. Отметим, что орты по угловым координатам в этой книге обозначаются так же, как и углы (например, орт йо для координаты О); это единичные векторы, направленные по касательной к соответствующим дугам в сторону возрастания углов.
Запишем формулы, выражающие операции векторного анализа в криволинейных ортогонвльных координатах: 1 до 1 д«р 1 де ягай ер =- е, — — + ез — — + е, — —, з аз Ьз аз (2.3) (штрих, отмечающий операцию векторного анализа, мы будем использовать в тех случаях, когда дифференцирование производится по штриховым координатам). В дальнейшем встретятся такие скалярные функции от (г — г'), как г' г (г — г'! ' и (г — г'! '. Вычисляя для пих лгай или огай', следует использовать формулу (1.28) вместе с (2Л) или (2.2). с? 2,0.2.
Операции векторного ава- Рис. 2.1 лиза в криволинейных координатах (А). Криволинейные ортогональные координаты и относящиеся к ним величины будем обозначать в соответствии с табл. 2Л. Напомним, что метрические коэффициенты (коэффициенты Лама) УчаствУют в соотношевнах вида Йс =й«йуь где йс?« — диффеРенциал координаты, а йс« — дифференциал длины по данной координате, В табл. 2.2 введенные символы конкретизированы для двух наиболее распространенных координатных систем — сферической (рис. 2.2а) и цилиндрической (рис. 2.2б).
Смысл метрических коэффициентов ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ При ш(тегрировавии уравнения Пуассона используется функция (2.4) Грина 6(г, г) =— 1 (2.8) (2.5) '(2.3)', Рис. 2.2 получаем выражение ()(тяга()(р ()2(р (см. и. 1.0.4). Такии образои, применение оператора Лапласа к скалярной функции дает те- — „) — ( — '' т) ь д(+ — т) ь — ( — ''Гт)). (26) Формулы (2.3) — (2.6) легко новкретизируются в сферических и цилиндрических координатах при помощи табл.
2.2. Таблица 22 Конкретные криволинейные координаты е) Сферичеекке коордпкаты Циликдричеекие «оордикаты ври апалогичвых ограничениях ! ) 2 п(г) = — — ), ((Р 1 Г 1(г') 4п,! )г — г') (2.13) г! е( г, го ге(п б *) На рие. 2.2 обе криволинейные еяетемы коордпиат показаим вместе е декартовой еиетемой (Х, у, г); поеледияя укааывает качало отсчета углов; как видно (о), В, = г есть радиус дуги О, а Л, = ге(л Π— радиус дуги а, проходящей через точку Р; аиалогичио (б) л, г есть радиус дуги а. 2.0.3. Уравнение Пуассона (Б).
Это название употребляют для уравнения чзи(г) = ) (г), (2.7) где функция в правой части задана. е )Ь Ь е !Ь Ь„ е /Ь,Ь го1 Р = д/д() д)ддз д)д()з Подставив в (2.4) в качестве г"( компоненты градиента из й 2.о. используемые мАтемАтнческие понятия и симВОлы 65 являющаяся решением частного вида уравпеяия (2.7), когда в правой части в качестве )'(г) взята дельта-фувкция Дирака (см.
и. 1.0.6): ()26(г, г') = б(г — г') (2.9) Используя вторую формулу Грина (1.36) и формулу (1.40), а также симметричвость функции Грина (2.8) относительно аргументов г и г', из (2.7) и (2.9) нетрудно получить следующее важное соотпошевие: и (г) = ) 6 (г, г') ( (г') ()п' + (~) ) и (г') †, 6 (г, г') — 6 (г, г') †, и (г')1 ()г' д д У е (2.10) (ивтегрировавие производится по штриховаввыи переменным). Рассматривая уравнение Пуассона в неогравичеввой области, выделим класс задач, решения которых при г- оо убывают ве медленнее, чем 1/г.
Такие решения называются регулярными е бесконечности. В этом случае из (2ЛО) следует и(г) = ~ 6(г, г')1'(г') ()п' =- — — ), ()р' (2.11) 1 Г у(г') (воверхноствый интеграл в (2.10) при удалении Я в бесконечность исчезает). Итак, получены решения уравневия Пуассона (2.7). Для векторного уравнения Пуассона Ргп(г) =1(.) (уравнение (2.12) мох(во спроецировать ва оси декартовой системы координат, в результате чего получаются три сналярвых уравнения типа (2.7)).
2.0.4. Уравнение Лапласа и краевые задачи (Б). Однородное ураввевие чзи(г)= О, (2Л4) соответствующее ураввеиию Пуассона при )'(г) = О, называется ураенением Лапласа, а его решевия = гармоническими функциями. Обычно ставятся так называемые краевые (граничные) задачи для уравнения Лапласа, в которых требуется найти решение (2.14) 5 В В Нлкольокий, Т.И.Никольокая гл. 2, статические н дР. поля 66 2 "— !. ОтхциОнлРпое поче в некоторой области 1>, удовлетворяющее заданным условиям на ее граничной поверхности Ь'.
Различают внутренние и внеш>м>е задачи. В первом сдучае 1> — некоторый внутренний объем (рнс. 2.3а, б, в). Во втором — область >т бесконечна (рис. 2.3д, е, 2). Нередко рассматриваются задачи Диригле »»и=О, и=( на Б (2.15) п задачи Неймана 1>ги = О, ди(д»> = ( па 8, (2 16) Для того и другого типа краевых задач можно исследовать проблему единственности решения. Предположим, что внутренняя задача Ю Рис.
2.3 Дирихле имеет два разных решения и> и иг. Составим их разность и> — и»=6 и, взяв первую формулу Грина (1.35)„положим >у= = »)> = 6. Поскольку 1>26 = О, формула Грина принимает вид (2.17) При этом на 8 согласно (2.15) и> =( п и»=( (оба решения удовлетворяют одному и тому же граничному условию), так что 6 =0 и поверхностный интеграл исчезает. Поэтому равен пулю и объемный интеграл слева, а с ним »6 =0 в )т. Это значит, что 6 может быть только постоянным. Но 6= 0 па поверхности Б. Потому 6= 0 в ооъеме 1>.
т. е, и> = иг. Задача не имеет двух решений. Этот вывод распространяется и па внешнюю задачу Дирихле, если оставаться в классе решений, регулярных в бесконечности (см. и. 2.0.3). По этой же схеме можно исследовать и другие краевые задачи. й 2.1, Стационарное поле, электростатпка и магнитостатпка (А) В левом столбце собраны величины, характеризующие электрическое поле, а в правом — магнитное. Связующим звеном является материальное уравнение в нижней строчке.
Записанная система уравнении характеризует электромагнитное поле, связанное с постоянным током. Мон«но было бы также записать интегральные аналоги уравнений, входящих в систему (2.18), которые вытекают из (1.53) — (1.56). Если ток отсутствует (1 = 0), то левый и правый столбцы уравнений в (2.18) — это две независимые системы. 2.1.2. Система уравнений и общие понятия электростатики. Рассматривая неизменное во времени электрическое поле при отсутствии токов () = 0), мы получаем из (2 18), как уже отмечалось, независимую систему уравнений: го«Е=О, >1>Р«Р=р, Р=е»еЕ.
(2.19) Это система уравнений элентростатини. Электрические поля, удов- летворяющие системе уравнений (2.19), будем называть электроста- тическими. Запишем также интегральные аналоги первых двух урав- нений (2.19), получаемые из (1.54), (1.55): >)> Е «)1 = О, >у Р «)з = >?. (2.20) Являются ли «настоящие» электростатические поля вполне реальнымп? Поскольку в природе все среды обладают некоторой злектропроводностыо (о Ф 0), иными словами, нет идеальных диэлектриков, то при существовании электрического поля (Ет«0) условно 1=0 в строгом смысле невыполнимо в сиду материального уравнения (1.69).
Так, например, заряя>еппые предметы в воздухе постепенно теряют свой заряд из-за «утечки»; при этом существует ток, а поле изменяется во времени. 5» 2Д.1. Система уравнений стационарного электромагнитного поля. Если электромагнитное поле неизменно во времени, то система урав- нений Максвелла (1.119) принимает вид го1 Е = О, го2Н =), 61ч Р = р, 6ЬВ=О, (2.18) Р = езеЕ, В=у,ун, ) = о(Е+ Е'«). 69 ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР.
ПОЛЯ 68 6 гз. стхционм нов полк где ф — некоторая скалярная функция, называемая электростати- ческим потенциалом (напоминаем тождество (1.22), согласно кото- рому поля вида (2.21), действительно, безвихревые). Знак минус в (2.21) соответствует принятому определению потенциала. Каков физический смысл функции фР Рассмотрим перемещаемый в электростатическом поле точечный заряд о (его движение может быть как угодно медленным) и вычислим работу, совершаемую им при движении на пути ! Ст точки М> до точки Мг. М м, А = д ~ Ей! = — д ~ игайфй!. м 1 М, Раскроем подынтегральвое выражение, учитывая формулы (1.3)', (1Л4) и (1Л5): йгас! ф с!! = — ссх + — с>у + — с(г = ссф.
д1р д1р дф дз ду дг Это полный дифференциал функции ф. Таким образом, из (2.22) получаем М, А = — у ) Иф = у (ф, — 1рг) (2.23) м, Смысл полученного результата состоит в том, что совершенная работа равна разности потенциалов в начальной и конечной точках Ясно также, что идеальное электростатическое поле вообще не могло бы быть обнаружено.
Такое поле лишено всякого энергообмена, поскольку Н= О и, следовательно, П = О. В широко известных опытах с заряженными предметами о существовании поля судят по динамическим процессам, чуждым идеальной электростатике. На самом деле притягивающиеся или отталкивающиеся заряя енные тела при своем дав>кении создают ток, которому обязательно сопутствует магнитное поле, так что ПФ О. Только поэтому возможно превращение энергии поля в механическую, что и наблюдается. Несмотря ва то, что идеальные электростатические поля в природе отсутствуют, решения системы уравнений электростатики (2.19) дают очень хорошие приближения для широкого круга явлений, рассматриваемых на практике как злектростатичесние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
