Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Дело в том, что при медленных перемещениях заряженных тел или в случае утечки токи оказываются настолько малыми, что энергия сопутствующего магнитного полн может считаться пренебрежимой по сравнению с электрической. Электрическое поле при этом, практически, не отличается от электростатического. Поскольку в силу (2Л8) го! Е = О, электростатическое поле называют безвихревым, или потенциальным (см. и. 1.0.4). Поэтому можно написать: Е = — ягай 1р, (2.21) пути, умноженной на величину заряда. Из (2.22) и (2.23) непосредственно следует М> ср, — ср, =- ) Е й!.
м Это своего рода обращение равенства (2.21). Как видно, первый из интегралов (2.20) в силу выражения (2.22) означает, что з электростатическом поле при перемещении заряда по замкнутому пути работа не производится. Пусть, например, движение заряда совершается по пути М1тМ>ЯМ1 (рис. 2.4). Так как полная и> работа равна нулю, то, следовательно, участки М1тМ2 и М>ЯМ1 дают противоположные вклады.
Поэтому работа на пути М1>пМ2 будет такой же, как на пути МспМ>. Мы видим, что работа пе зависит от пути. О том же говорит и ранее полученный результат (2.23): работа определяется только р 24 положением начальной и конечной точек пути. Итак, физический смысл имеет разность потенциалов. Это работа, производимая единичным точечным зарядом (у=1) при перемещении менсду двумя точками, потенциалы которых рассматриваются. Что касается самого потенциала ф, то это функция, которая определена только с точностью до константы. Действительно, если вместо ср ввести в (2.21) ср+ сопз1, то вычисляемая напряженность поля Е останется прежней. Если нужно устранить зту неопределенность, то задаются условным значением потенциала в некоторой точке пространства (т.
е. на всей поверхности ф = солар> проходящей через эту точку). Если принять равным нулю потенциал бесконечпо удаленных точек, то из (2.24) следует ср = ~ Ес!!. (2.25) м При таком определении потенциал ф равен работе, совершаемой в процессе удаления единичного положительного точечного заряда из точки М (для которой он определяется) в беснонечвость. С математической точки зрения, ф есть вспомогательная скалярная функция, вполне определяющая векторное поле.
Вместо трех скалярных функций, являющихся компонентами вектора Е, достаточно определить одну функцию ср, чтобы, воспользовавшись затем соотношением (2.21), найти напряженность электрического полн Е, Поэтому задачи электростатики в большинстве случаев формулируют относительно потенциала ф. Заменив Р во втором уравнении (2.19) через Е, используя третье уравнение, а Е представив через ф при помощи формулы (2.21), получаем ез й!ч е йтас! 1р = — р.
(2,26) 71 й .<. СТАЦИОНАРНОЕ ПОЛЕ ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ 70 Е> (2. 29) <> л г <> 6 Рвс. 2.5 (2.31) П= 0(4 (2.32) Это уравнение электростатики относительно неизвестного потенциала <р при заданной плотности заряда р. Если среда однородна, то з = сопз( выносится за знак оператора дивергенции, что приводит к весьма распространенному уравнению Пуассона> т <р = Р<'зео.
(2.27) Его решение для случая неограниченной среды можно сразу выписать па основании формулы (2.11): (2.28) о (ниже в п. 2.2.5 мы рассмотрим также элементарный вывод этого результата). Положив в (2.27) р = О, получаем уравнение Лапласа <72<р = О которому удовлетворяет «р в областях, где отсутствует заряд. Отметим, что из (2.19) можно было бы получить векторные уравнения Пуассона и Лапласа относительно Е. Они будут вытекать из более общих уравнений, к которым мы придем в и. 3.1.2.
П риме р 1. Вычислим потенциал Ч> в случае точечного заряда, зная его лоле. Внося выражение (1.64) для Е э (2.25), получаем 4ле з ) > 4яе ег' г Путь кптегрнровапня выбран для простоты радиальным: от некоторой точки Р(г) до оескопечностн (под интегралом переобозначеио: г->-(). Если перенести заряд д нз точки г = 0 в некоторую точку ()(г'), то расстояннсм станет вели- чина ) г — г') (см.
рп<. 2.1), так что </ 4пе е)г — г'(' (г) =- о как следует нз (230) нрн замене г->- )г — г'). ° Сколько-нибудь сложные задачи электростатнки обычно сводят к нахождению решений уравнений Пуассона илп Лапласа в виде потенциала <р. По в покоторых простых случаях напряженность поля Е находится пепосредстпепно. Нак уже отмечалось (см. 1.64) для точечного заряда: Для бесконечной равномерно заряженной нити с погонной плотностью заряда т: П = тот/2яг.
(2.32а) Действительно, если для такой пити построить коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса г, то поток вектора П через нее на участке 1 будет 1)Ь'= 2ягИ (в силу симметрии силовые линии ортогональпы 8 и П= сопз1 ка 8), а находящийся внутри заряд есть <7 = ТЕ Поэтому (2.32) следует нз (1.55). Формулы (2.32) применяются в случаях, когда рассматриваемый объект обладает того же рода симметрией, что заряженная точка или, соответственно, нить. Поясним, как это делается.
П р н м г р 2. Пусть дап равномерно заряженный диэлектрический щар (рис. 2.5). Из сообрая<еннй снмметрнп ясно, что кан н в случае точечного заряда, здесь лнпнн вектора Р— радпазьиыо прямьн, прнч<м на сфере любого радиуса Р = сопз«. Поэтому верна формула (2.32), гдо под ч надо понимать заряд, находящийся внутри сферы текущего радиуса. Если определнется поле вне заряженного шара (рнс.
2.5«), то внутри сферы уаднуса г лежит полный заряд шара <) = рр = 4пн'р/3. Если же точка паолюдепня — внутри шара (рнс. 2.56), то в качестве <) в ту же формулу подставляем только часть полного зарнда 4>нг>р>3. В результате получас>< й~р гр Р=--г —., г>Л, Р=г —, г(Л, озз' ' оз' График Р(г) представлен на рнс. 2.5«. 1(ак вндпо, эта величина внутри шара линейно воарзстает, а вне его падает, как 1/г'. Поскольку диэлектрические проницаемости шара и внешней среды различны (е» ~ е<), напряженность Е па его поверхности терпит разрыв. Изменим условие.
Пусть теперь только поверхность шара о несет заряд о = $5 = 4лд>$(3 = сопзкб Симметрия сохраняется, и можно по-прел<нему пользоваться иервой формулой (2.32). Если г ( Л, то внутри сферы токущего радиуса заряда пот: е = О. Поле отсутствует. Вне шара (г ) Л) поле определяется при иодстановко в качестве д полного заряда. Отсюда на иоверхности шара Р = г»5. Полученный результат совпадает с иервым нз равенств (1.90). Он имеет тот >ко смысл. ° Применение (2.32а) см.
в упражнении 1. 2.1.3. Магнитостатика. При «расщеплении» системы уравнений (2.18) в случае 1= О получается также система уравнений магпнтостатнки: го(Н = О, й(ч В = О, В = )«о)<Н. (2.34) Сравнивая системы (2.19) и (2.33), можно утверждать, что при сопоставимых средах класс решений последней более беден. Маг- ГЛ.
2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ нитные заряды отсутствуют, так что линии вектора В не могут об<рываться. Магнптостатпческие поля подобно электростатическим лишены энергообмепа: П = О. Запишем также интегральные аналоги первых двух уравнений нз (2.34), которые получаются из (1.53) и (1.56): фНд)=О, фВдз=о. (2.35) Ь з Как и в электростатике, моя<но ввести (с точностью до аддитиввой константы) вспомогательную функцию <р и писать: Н = — егад «(<. (2.36)' Легко убедиться, что магнитостатический потенциал <)< удовлетворя ет уравнению, аналогичному (2.26), но однородному: <)1ч )«дгаг) <р = О, (2.37) которое для однородной среды ()« = сопзФ) переходит в уравнение Лапласа <<<2<(< = О (2.38)' К классу магнитостатических надо отнести и поля постоянных магнитов, но в этом случае налицо самопроизвольная намагниченность (см.
выше и. 1.3.6) и материальное уравнение в третьей строчке (2.34) нужно писать в форме В=)«с)«Н+М«(1.79), где М«не зависит от Н. При такой замене из (2.34) и (2.36) вместо (2.37) получим )««61ч )«ига<1 «)< = <1)ч М«. (2.39) Если же )« = сопз)э то (2.39) переходит в уравнение Пуассона У'у = — 61ч М„. 1 )<«)< (2.40) На осповавии (2.11) <" <) <т М (г') (2.41) « Следует, однако, иметь в виду, что металлы и керамические материалы, обладающие самопроизвольной намагниченностью, относятся к нелинейным средам, описание которых усложняется еще тем, что требуется учитывать предысторию процесса.
Поэтому полученные формулы имеют лишь очень ограниченное применение. 3 2.2. Электростатические пола 2.2.1. Системы зарядов (А). Если задана система точечных зарядов илп параллельных заряженных нитей, то полное поле легко находится сложением полей, описываемых формулами (2.32) и (2.32а). Пусть заряды (нити) локализованы в точках у(г<); в слу- 2 2.2, электРОстлтические поля чае нитей имеются в виду их следы в поперечной плоскости. Тогда в (2 32) делается замена: г- )г — г<! и г«- ге< =(г — г ) )г — г,)-'.
Однако чаще удобно сначала определять потенциал системы зарядов, а поле находить потом. В случае системы точечных зарядов на основании (2.31) имеем 4яз г ~'й ! г — г !' (2.42) Рассмотрим сначала систему двух равных по абсолютной величине, по протнвоположных по знаку зарядов (рис. 2.6а).
Пусть д< = — д и <72 =- <7. Тогда <р(г) = — ! ч <' 1 1 (2.43) Если такая система рассматривается иа больших расстояниях (по сравнению с ее размерами), то она называется диполем. При этом вводится злекгрыческий момент диполя р = д1, (2.44)' где 1= гг — г< — направленный отрезок, соединяющий заряды. Анализируя диполь, удобно размещать начало координат на середине отрезка 1 (рис 2.66).
Обычно вводят представление об идеальном диполе, «дипольной точкеэ. Эта полезная абстракция есть результат перехода к пределу гг О Г< а' Рвс. 2.6 прн 1- О с сохранением величины момента: р =солей Таким образом, вычисляя <р по формуле (2.43), имеем <р(г) = Пш — ' ', д1 = сопз). (2.45) ! 1! ! 2! «4леае ! г — г1 ! ! г — гг! Из рис. 2.6б видно, что при этом )г — г<! — г, )г — 22! — г и <7()г — г<! — )г — гг!) - <11 соз О = рг«. В результате ч< со«о рг (2.46) « 75 е зл. злвктгостлтичкскив поля гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
