Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 18
Текст из файла (страница 18)
рис. 2.86). Решение задачи о диэлектрическом цилипдре вьшисапо па с. 113 (см. упражпепие 25). 6" З 2.2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ 85 Рис. 237 О>=1 1 , " ос=1 1 1-1 1 — 1 ~ Ео с(о = ~) ЗО Поэтому (2.64) 2.2.5. Дополиительиые замечаиия (Б).
Сделаем несколько замечаний, дополня>ощих материал по электростатическим полям. Переход от дискретного распределения зарядов к непрерывному. Отправляясь от формулы (2.42), полученной для системы точечных заРЯдов (дс), пеРейдем к слУчаю ЯепРеРывкого РаспРеделепия заряда с плотностью р в объеме 7>. Разобьем 1> па элемептариые- объемы >2)гс,' очевиДно заРЯД кажДого есть с7> = Р,Л)>ь гДе Рс— пекоторое усредненное зиачепие р в Ь'го Вяося эти выражения у, в (2.42) и переходя к пределу при бескокечиом измельчении элементарных объемов, получаем н 4пзе лс|г — г ( 4яее,>)г — г'( о т Это — ке что иное, как формула (2.26), получеииая теперь ке на Осиовапии (2.11), а элементарным путем, Электростатическое поле в полости проводника.
Как известка, внутри проводников электростатическое поле отсутствует (п. 2.2.2). Нередко говорят, что поэтому оио будет отсутствовать и в полости, кото- 40 %г рая, как можно предстаг= Ю, вить себе, появилась там, г где раньше был сплошной проводник и отсутствовало (о=Ф поле. На самом деле это лг рассуждение (которое, разумеется, нельзя считать строгим) приводит к праа б вильиому выводу в слуРзс.
236 чае простой полости (рис. 2.16а), по отказывает унсе при пекоторои усложнении ее формы (рис. 2.16б)'. Рассмотрим вопрос более основательно. Ваяв первую формулу Грива (1.35), полоясим г)> = >р, где >р — электростатический потек.циал внутри полости 1>. Ввиду (2.29) и (2.21) перепишем (1.35) в виде В случае простой полости (рис.
2.16а) положим >р=О иа 3 (потепциал постоянен иа поверхности проводника, и мы имеем право выбрать нулевое зкачепие). Поверхностный интеграл справа укичтожится, а следовательно, равен кулго и объемный интеграл от иеотрицательной величины Ег. Последнее возмоясио только при Ь' = О. Гели ясе полость ограничепа яесколькиип проводящими поверхиостяии (в случае рис. 2.16б 3 состоит из 3> и 32), то в общем случае невозможно считать их потенциалы одинаковыми. Если >не потенциалы ка Я> и О2 различны, то положить равным нулю можно только один из пях (сохракив разность потенциалов; пусть при этом для второго проводника ср=Ф). В зтои случае поверхиостный пптограл в последнем равенстве ке уничтожится: ои распадается па интегралы по Э> и 32.
Вывод об отсутствии поля в полости, показапкой па рис. 2.16б, таким образом, вообще неверен. В сущности, это следует уже из обсуждения в и. 2.2.3. О применении теоремы Гаусса. Вернемся к приему иахоясдекия поля, который был использован во втором примере и. 21.2. Ои применим в более широком классе задач: рассматриваемая структура может быть как угодно сложной при условии, что опа обладает требуемой симметрией. Формула (1.64) остается верной при люоом числе сферических слоев (рис. 2,17а) с разными диэлектрическими пропяцаеиостями. Пусть последний слой ограничен проводником (рпс. 2.176). Емкость такого копдопсатора определим по формуле (2.56), а входящую туда разность потекциалов — па осковакии (2.24) и (1.64): Легко убедиться, что, вычисляя поле цилиндрической структуры с поперечным сечекиеи типа рис. 2.17б па основании второй формулы (2.32), а затем переходя к нахождению погонной ГЛ.
2. СТЛТНЧВСКПЕ И ДР. ПОЛЯ 2 2.2. ОлкктРОстлтпчвскик поля 57 емкости цилиндрического конденсатора, вместо (2.64) получим (О.65р 2.2.6. Простейшие граничные задачи (Б). Г!окан<еь<, как находятся некоторые электростатические поля па основе решения уравнения Лапласа с наложением граничных условий. Однородно эарлэгегы<ь<й проводящий шар. Представим оператор Лапласа в сферических коордпяатах па основании (2.6) и табл.
2.2. В данном случае это дает (2.66) так как решение лежит в классе функций, не зависящих от угловых координат О и а. Поскольку начало координат пе входит в рассмотрение, множитель !/<л е (2.66) может быть опущен. Выражение в круглых скобках следует полоэкить равным некоторой константе А, Отсюда — — — <р= — — +Е, К= — ге 2 (2.67'Р <<е ее е Остается определить неизвестную константу А. Используя втору<О формулу (2.5!), Паходлм: — А<<ЕЕ =- $.
Это дает результат, у'ке обсуждавшипся в п. 2.1.2 (см, пример 2). Проводящий шар в однородном поле. Напрнжеппость первоначального полн зададим в виде Ке = ееЕе. В пего и помещается шар. Очевидно, что Ке = — 1'<ре, где <ре = — Еез + А = — Еег сое 6 (2.68) (константа А взята равной пул<о и произведен переход к сферическим координатам, рис. 2.!8). Чтобы найти потепцпал впепшого поля <у., которьш доэлкея быть постоянным па поворхпостп шара г = П, надо пайтп такое н решение <р' уравнения Лапласа для впепшей области г ~ П, которое уравновесило бы изменение <эе прн г = Е.
Легко Π— — — соооразить, что эпы< свойством обладает потенциал поля диполя (2.46), ориентированного по осп 2 и локализованного в Рпс. 238 начале координат. Разумеется, это поле вводится только прп г~П. Итак, записываем равенство <р,= <де+ <р' в виде <р» =-.= — Е,гсовй+ —, соей, В (2.69) Г где второй член справа построен на основании (2.46). Потребуем, чтобы выполнялось условие <р, =0 при г = П (вместо пуля можно было бы взять любую константу).
Отсюда определяется константа В. В результате имеем: не' <е»е =- Ее — г + — е сов 6. г (2.7О) Теперь находим поле па основании (2.21) е,=е~ (1»2 —,! е — е,(< — —,) ~ е]. <2.7<) Диэлектрический шар в однородном поле. Заменим проводящий шар диэлектрическим (см. п. 2.2.3). Внешний потенциал по-преп<- нему будем выражать при помощи формулы (2.69), а внутренний — в виде <р< = — Сг сов 6. Это соответствует предполох<ению, что внутреннее поле К„как и первоначальное поле Ке, является Однородным и лаправле~о по осн 2.
При г= П наложим граничпые условия (2.62). Это дает два уравнения относительно В и С: Е<!12+ С Е вЂ” 2В)Пе +(ее'е,) С = Ее (2. 73) <Определив ото<ода П и С, получаем нз <у„=- Ее — г+ —, ',, ' соей. е е» т 22» ЗЕ е,е <р< =- — ' соз 6. <Е е е +22, (2.74) Наконец, при помощи (2.21) определяем поле: 2ЛЕ е< — Е Е1 ге 1+ е 2 созй+ Ое 1+ НЕ ЕŠ— Е,' ) з1пй], (2.75) Зееет е "О Поскольку потенциал везде удовлетворяет уравпени<о Лапласа и граничным условиям на поверхности шара, решение граничной задачи найдено. Полученное поле К, представллет собой первоначальное однородное поле Ке = ееЕе, па которое палок<илось поле Итак, деформация> однородного ноля Ке=ЕЕЕе вызывает палагающееся на него поле диполя, которое, разумеется, следует приписать совокупности зарядов, наведенных па поверхности шара.
Па основании (2.71) нетрудно найти плотность поверхностного заряда н электрический момеят эквивалентного диполяр. Очевидно, р = 4яеее»ПеКе. (2.72) 89 1 2 3, СТАЦИОНАРНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ 88 диполя с электрическим моментом (2. 76) В заключение заметим, что аналогичным способом нетрудно решить задачи о внесении в однородное поле металлического или диэлектрического цилиндра (см.
упражнения 24, 25). й 2.3. Стационарные магнитные поля 2.3.1. Основные уравнения и закон Вио — Савара (А). Вернемся к системе уравнений стационарного электромагнитного поля (2.18). Хотя прп наличии тока () Ф 0) все уравнения этой системы являются взаимно связанными, существует ваяспый класс задач, в которых плотность тока — заданная величина. В этом случае магнитное поле может быть определено пезависпмо от электрического при решении системы уравнений ГОРН =), (11ТВ = О, В = рв11Н. Это система уравнений стационарного маюситногв посл, отличающаяся от системы уравнений магнптостатнки (2.34) наличием ) в правой части первой строчки. Выпишем также интегральные аналоги первых двух уравнений (2.77), получаемые из (1.53) и (1.56): ()) Н 81 =- 7, ф В аз = О.
(2.78) Решение системы уравнений (2.77) можно получить разнымн способами. В случае однородной среды (сс = сопз~) определение магнитного поля по заданному распределенисо тока сводится к применению следу)ошей интегральной формулы: (2.79) У Н(г) = 4 7 -~ (('1 гсч) ыУ), (2.80) На практике лнпойпым счптасот ток некоторото нитевидного (проволочного) проводника, если расстояния )г — г'! остаются в процессе интегрирования значительно больше поперечного размера (спхсвол гв, пояснеп вьппе в п. 2.0.1).
Это так называемый обод(ценный закон Био — Савара. Если ток является линейным, т. е проходит по контуру (системе контуров) Ь, формула (2.79) принимает вид проводника (рис. 2.19). Равенство (2.80) выралсает обычный закон Био — Савара. ВЫВОД. Чтобы получить обобщенный закон Бно — Савара (2.79), допустим сначала, что распределение тока — достаточно гладкое, а именно, компоненты вектора ) дифференцируемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
