Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2.26б): 61' —.= аз Лп + Вз Йн = ( — ао соз а' + Во ай н са') а Йх', гдо оба орта ахе и Ве относятся к точке наблюдения. Подчеркнем, з зл. стхционхвныв млгнитнык поля ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ 2 2.3. СТАЦИОНАРНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ что йо лежит в плоскости витка (это не радиальный орт го сферической системы координат). Теперь можно конкретизировать фор.мулу (2.95) для ана.тязпруеяого витка: 12!сот Г ( — ао соз а' -~- Н„о! и а') а да' А() о о о (г + а .1-2га явд сов а')Пл о .а поскольку а 2И з!и а'да' ~ 21в а' да' (го+ аз+ 2гоэйвб сова')Пл (г + а + 2гао1во сова')П2 о Д (в этом легко убедиться, сопоставляя япа' и сова' в каждом квадранте), то окончательно 2Л 1212оаг ~ сова'да' А (г) = — ао — ",, (2.100) 4я / (го+ а + 2га явп соз а')П2' о Векторный потенциал оказывается направленным азимутально, как м ток.
Хотя меридиональпая плоскость, в которой лежит точка гтт Рвс. 2.26 наблюдения Р(г), была зафиксирована (а = 180'), ясно что результат (2.100) от а не зависит. Поэтому линии вектора А ооразуют концентрические окружности в плоскостях з = сопз1. Иптеграл (2.100) в общем случае можно свести к так называемым полным эллиптическим интегралам, которые табулпровапы в математических справочниках. Что касается интересующего нас случая, когда г» а, то здесь дальнейшие действия просты. Положив а21 =сопз1, рассмотрим предельный случай а(г- О. Разлагая знаменатель подынтегрального выражения (2.100) в ряд тг + а + газ!ПО сова')-по =- — ~1 — — з!Пбсоза' — —,( — ~ +...~ 2 2 О 1 Г а г ~ г 2 ( г~ и переходя в (2.100) к пределу 2И 12 !с 2 1 — аГ а 1 Га'2 !Пп а,— ') — ~1 — — з1пбсоза' — —,~ — ~ + ...1соза'с!а', 2 (г/ Га салос получаем 1с,рго' А (г) =- а, — ' з1п О.
(2.101) 4г (2.89) находим напряженность магнитного Теперь по формуле поля: 72( го д ззо д )21в и .', ( 22 21ве дб гоня ротации (2.5) п табл. 2.2). В результате —,(г,2созб+ Юояпб), (2. 102) 4г Н (г) = — ' го1А (г) = ног (использовано выражение Н(г) = К„рг.1.
1 т,б(г" — г') „р,121 ~ Е1. 4л У ° (г — г" 1 4я ~1)г — г')' Примеры вычисления иолой линейных токов, В начестве простейшего применения закона Био — Савара рассмотрим получение 7 в. в. Пи;олос ив, т. и. ни олсси. Отсюда видно, что виток, действительно, проявляет себя в пределе при а(г — 0 как магнитный диполь с моментом (2.98), где 8 = яао. ° В заклзочение заметим, что плоский Круглый контур тока был выбран только для облегчения анализа.
Любые распределения постоянного тока, локализованные в ограниченной области, па больших расстояниях г оказывают дипольное действие. с 2.3.5. Замечания и примеры (Б). Запер- тод гл шая обсуждение стационарных магнитных 1' полей, сделаем сначала несколько заме- с( 7 чапий. О линейных токах.
Переходя от формул ф/ (2.79), (2.94) к (2.80) и (2.95) соответственно, достаточно было рассматривать весьма узкпй канал тока, проволоку, с поперечным сечением, в котором плотность тока Рис. 2.27 остается постоянной. Идеальный лпяейный ток гюлучается в пределе при исчезновении поперечного сечения (1 = сопо1,). Можно, однако, сразу воспользоваться аппаратом дельта-функции Дярака. Выразим линейный ток в виде 1(г) = то1б(г — г'), (2.103) где (рис. 2.27) имеется в виду двумерная дельта-функция: г и г' описывают точки на поверхностп Ь', к которой линия тока ортогональна. Тогда, например, переход от (2.94) к (2.95) имеет вид 1соР7 Р тоб (г" — г') А (г) о ' о с!й = 4л ) (г-г" ( У ГЛ.
2. СТАТИЧЕС«<ИЕ И ДР. ПОЛЯ 98 в точке наблюдения Р, имеем Ю 1 ( г<«2 4и,) (гг ( 2~)2«2 ' 2лг' Н = хои 1. (2.106) г«г«, ,' 'Л (2Л 07) Рнс. 2.28 (2,108) (2. 109) формулы (1.58). Как видно из рис. 2.28а, формула (2.80) в дан- ном случае дает Г(йг,г ) 1 (' о<пб Н(г) = — ) 2 =«хо ) 2 2=««о 4и,) «2+22 4и,) г +2 г' Е 'г а посколы<у (г + г ) г1г + г 1 г 24«<г .г 2~ 4иг ) г-+22 Таким образом, для бесконечного прямолинейного тока подтверж- дена формула (1.58).
Возвращаясь к случаю круглого витка, будем вычислять поле па осн витка. Согласно (2.80) имеем (рис. 2.285) 2и 2и 1 г(х(««1 г 'оо) 1а (' о<пб«а 1а 4и ~ + 4и,) 22+22 о 4 (аг+ 2)г/2 Ъ о о (учтено, что радиальная компонента подынтегрального выражения при интегрировании уничтожается). Поэтому 1а Н=х 2 ( 2 ) 2)г!2 Рассмотрим теперь соленоид (рис. 2.28в). Если допустить, что в этом случае ток непрерывно распроделен по цилиндрической поверхности, то в элементарном поясе шириной Лг сосредоточен ток М = и'1Л2, где и' — число витков, приходящееся па единицу длины соленоида, а 1 — ток одного витка (рис.
2.28в). Полагая г = 0 9 2.4. ЭНЕРГИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕИ И ИХ ОБЩИЕ СВОИСТВА 99 и"1 а о«г и'1 1 г 5 и'1 (аг -г 22)гы Р а +г Интегрируя от 6~ до л — 62 (рпс. 2,282), получаем выражение напрнженностп поля соленоида в точке 1«1: П = — х,— (созО, + соз62). (2.105) При 6< — 0 и 62 0 получаем выражение Н на осп бесконечного соленоида: в 2.4. Энергия стационарных полей и пх общие свойства (А) 2.4.1. Электрическая энергия н ааряд. Вычисляя электрическую энергию на основании (1.112), мы должны произвести интегрирование по полной обчастн существования поля, нередко бесконечной. Ввиду первого уравнения (2.18) любое стационарное электрическое поле (как, в частности, поле электростатическое) является потенциальным.
Поэтому ввиду (2.21) Иго = — ~~ ВЕ о'и = — —, ) В йга й «р «1Р. Учтет<, далее, то'кдество (!.25), а также используем теорему Остроградского — Гаусса (1.33) и третье уравнение Максвелла. Это дает Для локального распределения заряда в пеограппчепном пространстве, как оулет показано, выражение (2Л08) утрачнгает поверхностный интеграл и принимает впд При переходе от (2.107) к (2.109) существенно следующее.
Хотя в процессе преобразований область интегрирования формально не изменялась, фактически вместо непосредственного подсчета энергии в бесконечном пространстве путем интегрирования ее плотности в )г (2.107) топерь энерп«я находится прн интегрировании только по области существоваппя заряда: вне ее подыптегральпое выражение (2.109) ооращается в нуль. ВЫВОД.
Чтобы обосновать переход от (2Л07) к (2.109) рассмотрим иекотороо локальпоо распределенно заряда (рис. 2.29) и, 7о ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ З 2.». ЭНЕРГИЯ СТАЦНОПАРНЫХ ПОЛЕЙ И 1»Х ОБЩИЕ СВОЙСТВА 191 Ига ! «=1 Р (2.110) В электростатике, если все»г«соответствуют проводящим телам, А« н 2.~ю» Ф»,) ' ' 2 » 1 Р» «1 (2Л11) (как известно (2.50), потенциалы проводников постоянны). Итак, энергия сястеиы проводников выражается через их полные заряды и потенциалы.
Заметим, что при интегрировании в (2.111) можно было бы в качестве промежуточного этапа перейти к плотности поверхностного заряда проводников, например, при помощи формулы (1.91). Выражение энергии (2Л11) можно еще переписать в виде И"'= — ~, Ч»Ф»+ — ~ Ч»Ф»= И" + И". (2.112) » 1 Здесь в первой сумме, обозначенной И", фигурируют потенциалы Ф», которыми обладают уединенные проводники с зарядал»и Ч». Величина И", не зависящая от расположения и взаиипого влияния распространяя интегрирование по »г на бесконечное пространство, будем неограниченно увеличивать радиус шаровой области.
В пределе !г — г! — г и г»а — га, прп этом все распределение проявляет себя как точечный заряд Ч = ) ро»«, расположонпьш в центре шара. Вычисляя Ф н В по формулам (2.30) и (1.64), констатируем, «»то ФВ па расширяющейся поверхности О' убывает, как г 2, тогда как дифференциал поверхности о«г возрастает пропорционально м -м г-. Таким ооразом, поверхностный интеграл в (2.108) убывает, как г ', н в пределе должен исчезнуть.
Тогда И" выражается только через объемный интеграл согласно (2Л09) . Формула обоснована. Остается заметить, что объемный интеграл перестает изменять свое значение, как только расширяющаяся поверхность О' нарве. 2.29 чипает охватывать все заряды. Значит, поверхностный интеграл в (2.108) равен нул»о уже в этом случае. ° Ясно, что, если распределение заряда распадается на )1' отдельных областей »г» (1 = 1, 2, ..., )Ч), несущих полные заряды Ч«, выражение (2Л09) может быть переписано в виде В случае конденсатора (У = 2, Ч» = Ч, Ч2 = — Ч), ооозпачая Ф» — Ф2 = »»Ф, с учетои выражения (2.56) находим И" = 1/»ЧАЙФ = 1/26 (йФ) 2 = 1~2Ч)С. (2.114) 11то моя»но сказать об энергии точечных зарядов? При попытке перехода к объектаи исчезающе малых размеров, обладающих заданпымя зарядами (это могут быть, наприиер, проводящие шары), представление о собственной энергии теряет смысл, поскольку собственпые потенциалы Ф, ввиду (2.30) расходятся при г — О.
В этом сказывается принципиальное несовершенство физической иодели в виде «заряженной точки». Но можно говорить о взаимной энергии системы точечных аарядов. Рассмотрим таня«е вопрос о взаимодействии точечных зарядов с заданным полем Е = — ята»(Ф прн условии Ф=О в бесконечности. Как известно (п. 2.1.2), работа, совершаемая при удалении точечного заряда Ч из поля, есть ЧФ вЂ” энергия взаимодействия заряда с полем. При наличии нескольких зарядов Ч; (1= 1, 2, ..., Д») величины Ч,Ф» складываются п получается энергия взаимодействия системы зарядов с заданным полем. Легко показать, что в случае диполя с электрическим моментом р энергия взаимодействия с полем Е оказывается равной лт = — рЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
