Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3. Усножвнть предыдущую задачу, занолннв пространстве между яроводящвмн плосностяын несколькими слоями днзлентрннз с разнымн проницаеиостнин. 4. Кан изменится физический смысл вотснцналз, если изменить знак з формуле (2.21)? 5. Вывести формулу (2.31), исходя вз (2,28). элементов действительно концентрирует в себе практически всю электрическую энергию, а другой — всю магнитную. Тогда интегрирование в (2.148), (2.149) распространяется лишь на соответствующие реактивные элементы цепи. Далее, ввиду (1.97) Р = ) О-')'сЬ вЂ” ) )Е"сЬ, г 'Р ГЛ.
З. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ 112 5 3.0. испОльзуемые мАтемАтические пОнятия и символы 113 6. Исходя из выражения напрянсенности полн точечного заряда, получить формулировку закона Кулона. 7. Почему вывод формулы (2.28) нельзя счвтать строгим) 8. Показать, что ураввенве силовых ливий диполн имеет вид зш' б/г = сопев (2Л54) Указание: решить обыкновенное дифференциальное уравнение, получаемое на основе аналога соотношения (1Л6) в сферических координатах. 9.
Показаты что для системы двух параллельных нитей с погонными зарядами т и г г 1 (2.155) где г1 и гз — расстояния рассматрпзаеыой точки от нитей. 1?. В случае равномерно заряженного проводящего шара получить формулу (2Л(3) путем подсчета зпергин интегрированием ее плотности в пространстве. 18. Вычислить энергию разномерно заряженного диэлектрпчоского шара.
19. Нанти собствеппуго и взаимную эпергзпо двух проводящих шаров (радиусы В~ и Вз), расположенных па расстоянии й значительно превышающем вх размеры. 20. Найти взаимную индуктивность двух круговых соосных контуров' тока, лежащих в параллельных плоскостях, при условии, что площадь одного из контуров относительно мала.
Указание; считать поле большего контура одпородвым в области меньшего. 21. Показать, что погонная индуктивность коаксиального кабеля равна й ° Вз!п — — —; (Вз — В ) + Р 1п — [ь (2Л57) 101 "г 1 з з з з 2 2я((Вз Вз)з ~ "' В 2 з з ( з В [' Здесь В, — радиус внутреннего проводника, Вз и В, — радиусы внешнего полого проводника; щ и из относится к проводнику и внутренней среде соответственно. 22.
В результате несовершенства диэлектрической изолицви в коаксиальпом кабеле зозшгкает радиальный ток. Показать, что погонная «проводимость утечкиь равна С' 2япйп Вз/Вь (2Л58) где г~ и гз — расстояния рассматриваемой точки от витей. 10. Найти плотность поверхностного заряда ва проводящей плоскоств, над которой на расстоянии А расположена бесконечная равномерно заряжен- ная нить. 11.
Найти поле диполя, расположенного вертикально (горизонтально) ва высоте А вад проводящей плоскостью. 12. Найти потенциал в случае равномерно заряженного проводящего ци- линдра, решая граничную задачу для уравнения Лапласа. 13. Показать, что из (2.63) следует (2.62). 14. Выписать вырансения напряженности магнитного полн для случаев провода (см. рис. 2.21а) и полого цилиндра (см. рнс.
2.21б) с постоянным током. 15. Найти магнитное поле при наличии плоского проводящего слоя, внут- ри которого равномерно распределен прямолинейный постоянный ток. Указание: применить формулу (1.53). 16, Показать, что в случае двухпроводной линии в виде параллельных ни- тей с противоположными постоянными токами р,ру г, А = х —. 1п —, о 2я г (2.156) 1 23. Вывести заков Кирхгофа для разветвления цепи из закона сохранения заряда.
24. Показать, что в случае, если вместо проводящего гоара в однородное электростатическое поле вносится цилиндр, то вместо выражения внешнего поля (2.71) получается: В'~ / Взь1 =Ьс го 1+ — л) сова — ас11 з /""" (2Л59) г г 25. Показать, что при внесении в однородное электростатическое поле диэлектрического цилиндра имеем: Вз ег — зс1 ( Вз з; — е,Г Е,=В г 1+ '1 соха — а 1 — ' ' з!псь, (2Л60) гз ег+ ес,1 0 [л гз ел + есз[ д 2есЕ0 е + (ср. решение для шара (2.75) ). Глава 3 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ й 3.0. Используемые математические понятия и символы (А) З.ОЛ.
Гармонические колебания и комплексные амплитуды. Если иекоторая величииа и(1) изменяется во времени по закону п (1) = и соз (в(+ ф), (ЗЛ) то говорят, что происходят гармонические колебания этой величины. Ири атолл п„вазьтается алгплитудой, в — круговой частотой, а аргумент косинуса в1+ ф — фазой (полиой фазой); ф — начальная фаза колебаний. Гармонические колебания — периодический процесс. Периодом Т называется наименьший отрезок времеии, обладающий тем свойством, что и(1+ Т) = и(1). Очевидно, Т = 2Я/в = (зз), (3.2) где з — частота колебаний, число периодов в секунду. В теории злектромагпетпзма встречаются скалярные и векториые функции координат и времени, описывающие гармонические колебания. Такова скалярная функция и(х, у; х, 1)=и(г, 1)=и„(г)сов[в(+ф(г)), (33) амплитуда и начальная фаза которой — функции координат.
Апалогичпая векторная функция г'(г, 1) в общем случае распадается на трп скалярных в выбранной системе координат, например: т'(г, 1) = хо)т«(г) соз [в(+ ф„(г)[+ + уо(тки (г) соз [в1+ ф,(г) ]+ хс(' * (г) соз [в(+ ф. (г) [. (3 4) 8 В. В, Пяясльсяяа, т. И. Пя. сльсяяя 114 гл. 3.
Основные поло»кения электгодипАмики З зл. ЕОНОльзуеъ»ь»е ИАтемлтические понятия и с»п»волы ПЕ Если, в частности, компоненты вектора имеют одинаковые начальные фазы, то эта запись принимает вид: т'(г, »)= т"„(г)сов[ы»+гр(г)], (3.5)' где г' =хзР + уз)г„„+еаЪг, и г»г=»р„=гр„= г»гг. В теории гармонических колебаний обычно применяется метод комплексных амплитуд, суть которого состоит в том, что вместо тригонометрических функций в выражениях типа (3.1), (З.З)— '(3.5) употребляются экспопенциальные.
При этом получаются комплексные представления физических величин, ниже обозначаемые точками. Например, вместо и (3.1) пишем и и,.с'г"'+" = и сгзя (3.6) Здесь введено обозначение й =и е'; дапная величина, несущая информацию об амплитуде и начальной фазе, называется комплексной ичгглитудой В силу известной формулы Эйлера физическая величина и есть вещественная часть ее комплексного представления: и=Кей =Ней е' '.
(3.7) Примечательно следующее. Если, как в (3.3), амплитуда и фаза являются функциями координат, то комплексное представление (3.6) есть произведепие функции координат и (г) и функции времени ехр(гег»). Запишем вытекающее из формулы Эйлера соотношение: и = г/з (й+ й*), (3.8) где звездочка означает коыплеггсное сопря'кение. В векторном варианте (3.4) (3.9) ')г Ке зг=йе т' в™, где комплексная амплитуда, являющаяся функпией координат, есть Разумеется, справедлива также формула типа (3.8). Метод комплексных амплитуд значительно упрощает технику преобразований при получении решений дифференциальных уравнений в частных производных. Все члеры линейного дифференциального уравнения оказываются умноженными на ехр(гы»).
Опуская этот множитель, получаем уравнение относительно комплекспой амплитуды, пе зависящей от времени, Если в результате решения уравнения комплексная амплитуда определена, то для получения искомой физической величины надо лишь умножить комплексную амплитуду на ехр(гы») и отделить вещественную часть. Почему такой подход правомерен? Дело в том, что если существует решение некоторого линейного уравнения (алгебраического, дифференциального или интегрального) в виде комплексного представления и, то этому уравнению удовлетворяют в отдельности его вещественная и мпимая части, а тем самым решением является рассматриваемая физическая величина и.
3.0.2. Средние значения. Для периодической функции от » сред ним значением называется деленный на Т иптеграл от 0 до Т. Очевидно, что среднее значение от и (3.1) равно пулю. Далее, среднее от квадрата гармонически колеблющейся вечичины есть т т и = — ] из»[» = — ] сов» (ег» + гр) д» = —, и,'л = — и й~. (3.11) о » Результат усреднения дает половину квадрата, амплитуды игв = = и~и; таким образом, результат оказалось возможным выразить через комплексные амплитуды. Заметим, что интеграл (311) легко взять, преобразовав подыятегральное выражение посредством (3.8).
Наряду с и (31) введем функцию и=и сов(ы»+г]г) и найдем среднее от их произведения: т т — » Г ии = — ] ииаг» =- 4Г ] (и,„гг„е'-"'+ и,„ггг„е — м"'+ и,„гг + и„,о )ггг г,] а о (использована подстановка (3.8)). Первые два члена, выраягающие гармонические колебания с частотами 2ег и — 2ы, дают при интегрировании нуль. В результате ии = 1г2 Ве и гг =- 1»2 Ве и гг =- 112и гг сов(гу — г[г). (3.12) Запишем, наконец, в готовом виде подобные же формулы для векторных ве;гичпн: Уз =1/2У„,У„", (3.13) т'% = 1~2 ВС т'„% =-1!2 Ве т' %, (3 14) [ т', %] =- 1!2 Ве [ т", % ~ =- 1/2 Ве [ т", % ~.
(3.15) Здесь %" — векторная функция, подобная т' (3.4). Формулы (3 12) — (3.15) легко выводятся прежним способом — с использованием для т' и % представления (3.8). 3.0.3. Разложение Фурье и комплексные амплитуды. Разлагая некоторую периодическую функцию в ряд Фурье О чз и(») = 2 + 7, а совпег» -»- г Ь„в(ппег», (3.16) Зг гг представим его в комплексной форме: гм и (») = „~, с„е»""', — ] и(»)с-»™й, (312) г гг — ег -тм Ез 117 11Е ГЛ. 3.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ з зл. уРАВнения электРОдинамики где с ~ = с„" = (а„— 1Ьо)/2. Как видно, коэффициенты ряда '(ЗЛ7) — не что иное, как комплексные амплитуды, а члены — комплексные представления гармоническвх колебаний с частотами пв (..., -2в, -в, О, в, 2в, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
