Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(2Л15) Действительно, согласно сказанному, И'я = Ч,»р, + Ч«Ч»2 =Ч(Ф» Ф»)= дФ = Ч вЂ” 1 = р ягай Ф, откуда и следует (2Л15) после привлечения д» (2.21) . 2.4.2 Магнитная энергия. Индуктивность. Будем вычислять магнитную энергию некоторого стационарного поля на основании общего выражения (1.111), но учтем, что магнитная индукция согласно (2.89) может быть выражена через векторный потенциал: И' =- — ) ВН»»п = — ) Н го1 А»»Р. м 1 2) 2„) (2Л16) проводников, называется собственной эвераией системы.
Вторая сумма ХР' выражает взаимную ю»ергию системы проводников. Из сопоставления (2Л12) н (2.111) видно, что»р» = »р» — Ф,. Поскольку заряды и потенциалы проводников можно связать прн помощи соотношений типа (2.58) и (2.59), существуют еще иные формы представления энергии системы проводников. Для одиночного проводника (11'= 1) пз (2.1!2) с привлечением формулы (2.54) получаем И = 1»»ЧФ = 1»2СФ~ = 1«»2Ч»»« (2. 113)' о 2А.
энеРГия стАционАРных полни и их Овщие своистВА 102 ГЛ 2 СТЛТИо!ЕСКИЕ И ДР ПОЛЯ 102 Далев привг«ечелг тождество (1.26), теорему Остроградского — Гаусса (1.33) и первое уравнение Максвелла. В результате получаем И'м = —, ~ лА «Ь + —. $ [А, Н) «(н. (2.117) Чтобы определить полную энергию поля, связанного с локальнымн токами в однородной среде, следует распространить интегрирование на нее пространство. Прн этом оказывается, что поверхностный интеграл исчезает, как только 8 начинает охватывать все токи, так что (2.118) где коэффициент пропорциональности 2' называется ипдунтивностыо; эта величина измеряется н генри (Г««). Внесем представление векторного поте«шпала (2.94) в выран«ение магнптной энергии (2.118). Вто дает И'" - ) о) 1 ~ 1«г) 1 «г') «)Р««и', (2.120) ) г — г') Как и в случае электрической энергия стационарного поля, вычисляемой по формуле (2.109), здесь магнитная энергия определяется не путем учета ее распределения в пространстве, а через источники поля.
ВЫВОД, Переход от (2.117) к (2.118) производится по уже известной схеме, н которой расшпрягощаяся область И остается шаровой (рис. 2.29). Подыптегральпое выражение второго члена (2.117) (А, 11) убывает, как г ', поскольку магнитное поле токов нмеет характер дппольного (согласно (2.101) и (2.102) ) . Поверхностный интеграл должен в пределе исчезнуть, по поскольку объемный интеграл пе изменяется с того момента.
как 8 нашнает охватывать все токи, то нпдпо, что прп этом поверхностпьш интеграл ужо становится равным нулю. ® «(горл«уда (2.118) является весьма общей Она может быть прнменена. еслц задано некоторое распределение тот«а ) в обьеме )т. Векгоршлй потенциал А согласно (".91) пропорцпонапеп 1. Поэтому можно сказать, что маги«ыпэя:пгергпя )Го пропорппопапьна квадрату плотности тока в п«обод точке объома 1«., а также квадрату тока, проходящего через любую поверхность г, рассекающую )т. В больш«шстве случаен г выбырается однозначно.
Например,' ясно, о каком токе лгожет идти речь в случае областгл, показанной на рис. 2.30а (поперечное сечение тока г заштриховано). Итак, магнитную энергию стационарного поля мол«но вьтразпть в форме Ио ) 372 (2.119) поэтому "Ф ( ( ) 00 1( ') „„„, 4п72,3,) ) г — г') Р'Р Очеведно, что при заданном распределении тока (той или иной функции )(г)) результат интегрирования не будет зависеть от величины тока 7.
В случае системы разделенных областей тока У«выражение энергии (2.118) можно записать в виде Ит ~ ~ )АЙ 2 ~о )' ~ ]А»«)и (2 122) «лг. Л-Л» !Р где А,— векторный потенциал, обязанный своим происхождением только току области 1', (в любой точке пространства А А«+ +Ао+... + А„). Таким образом, внергия И'" для «1«' областей тока и о «) Рвс. 2.30 представляется двойной суммой, слагаемые которой обозначим Ит „. Воспользовавшись формулой (2.94), можно придать этим ела Гн гаемым форму сходную с (2.121): И'л» = —, ) 1А» «Ь = о ) ) «)о««)о» (2.123) Г )« )« Г Г 1 (г;) 1(г») 2,) З,),) ( 㻠— г«( л' Л;Р» (рис. 2.30б). Подобно (2Л19) запишем (2.124) где (ср. (2.121)) ~П~«О ЫЫ (2.125) )«о)«Г Г 1 (г;) 1 (г») о(««» = — ) ) ии ии». 4п1«7»,),) ( 㻠— гл ) « У«'У» ГЛ.
2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ .уу,„= —",„' (~ ()), ' ь> 1» (2.127) Рнс. 2.31 ~ Вс)з ==. 1>> А»)! е й (2.128) Е зн н' )4~)41 > ( з )4~)41 8язЛ» . 1бн (2Л34) е е (2.135) И';» — - —, 1;Фе», (2.129) (2.130) Введенные коэффициенты Ж и )Г называются соответственно еобстеенными и взаимными и>едуктивностями. Как видно из (2.125), ий'е> = и)т»и Перепишем теперь формулу (2.122) в виде И " = —,' „'У„Ы 412 + — ','«,'« .УГ4»1,1».
(2.120) 4=> 4=1»=1 ВЯЮ Первая сумма выражает собственную Энергию системы, а вторая— взаимную. Обсудим случай чинвйных токов. При этом (рис. 2.30в) интегрирование в (2.125) по объему сводится к контурному. В частности, для взаимных индуктивностей имеем Аналогичное представление собственных индуктивностей для идеальных линейных токов не ипвет смысла: интегралы расходятся (ср. случай идеальных точечных зарядов в и. 2.4.1). При вычислении с'> для реальных токов, принимаемых за линейные, надо пользоваться формуламп (2.125). Выра>4<ая магнитную зпвргню, в ряде случаев используют понятие магнитного потока Ф (1.63).
Магнитный поток через поверхность О' с контуром 1 выражается в виде контурного интеграла от А: (достаточно выразить В в виде го(А и применить теорему Стокса (1.34) ) . Поэтому, в частности, переходя в соотношенпп (2.123) к линейным токам, находивг ( ! А» 4)е = 1; ()> А» 4) ! = 1; ( В» сЬ, 94 е. а сопоставление (2.129) и (2,124) дает Ф>» =.>Я>»1». В формулах (2Л29) и (2.130) Ф,„есть магнитный поток, создавае- мый 14-вг током, проходящим через в-й контур. Иа основании соотпо- шеп>гя (2.130) во многих слу >аях удобно вычислять взаимные ин- дуктпапости.
3 2.4. энеРГия стАциопАРных пОлей и их Овщик сВОЙстВА 185 Собственную энергию для некоторой области тока также можно выразить при помощи формулы типа (2.129): И = >/21Ф, Ф = Ю1. (2Л31)' пряженном с данным током 1 в области )т, является непростым. Однако в общем случае представление о магнитном потоке Ф, со- Пример 7. Определим взаимную индуктивность соленоида и малого витка, расположенного, как показано на рнс. 2.31. Взяв в формуле (2ЛЗО) Ь = 2 (соленонд) я 1 = 1 (знток), прн зычнслеинн Фа будем считать магннтнос поле однородным н воспользуемся формулой (2.105), согласно которой Н з средней точке солепонда есть Н = х н1 (4Л'-)-1 ) "1» (2Л32) (и = нч — число витков соленоида).
Умножая Н скалярво аа че н нЛз (площадь витка), получаем Фи, а после деления па 1» определяем ,4( = нлЛ (4Лз -(-1 ) >1» сох б. ° (2ЛЗЗ) Пример 8. Вернепсн к примеру вычислении магнитной энергия внутри торондальной системы, показанной на рнс. 1.25б. Было найдено, что )>е" з И»н = —, — „)п —. 2 2н Л Легко убедиться, что магнитный поток Ф, проходящий через поперечное (раднальное) сечеяне торонда, равен 2%"(1; роль нндуатнвностн играет величина 2И™>1>. Все зто согласуется с формулами (2Л31). ° Пример 3.
Вычислим магнитную энергию И™, сосредоточенную внутри единицы длины цнлнндрнческого провода. Выражая напрнженность магнитного поли внутри провода согласно (1.58], как Н = и,!т(2пЛ» (1 — полный ток провода), находим Согласно (2Л31) находим зелнчнпу > )>е)4~ е которую называют енутренней индунтиеностью провода. Как видно, Я'4 не завнснт от его радиуса.
° 2.4.3. Общие свойства стационарного электромагнитного поля. Вернемся к обсуждению системы уравнений (2Л8). Из первого уравнения левого столбца следует, что стационарное электрическое поле подобно электростатическому является потенциальным. Этот факт уже был использован выше в и. 2.4.1. Однако нельзя утверждать, что все свойства электростатического поля повторяются. Если в отличие от элвктростатики в проводниках существуют токи, то там имеется и электрическое поле Е и >). Касательные токи иа ГЛ. 2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДР. ПОЛЯ 100 1 2А.
ЭНГРГНЯ СТАЦПОПАРНЫХ ПОЛГЙ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА 107 поверхностях проводящих тел обусловливают отличную от нуля тангепциальную компоненту вектора Е, а так как Е,= — д~р/дт, то поверхности проводников уже не эквипотенциальпы. Впрочем, на практике часто тангенциальная компонента вектора Е на поверхности проводника очень мала по сравнению с нормальной; иными словами, несмотря на существование постоянного тока, электриче ские силовые линии почти ортогональны поверхности проводника.
П р и и ер 10. Пусть расстоялие между пврвллельиыми медными шинами с посчояялым током составляет 1 см при напряжении 10 В и плотности тока 10 А/мм'. Очевидно Еч =1о ' ж 0,17 В/м (о = 8,8 10' См/м, табл. 1.2; / = 10' А/мг). Поле между шинами почти одяородло, таи что Е„10' В/и. Та. явм, агом, Е„/Е 1,7 10 '. ° Рассьштрпм далее баланс энергии стационарного электромагнит ного поля, полагая, что все токи сосредоточены в некотором объ еме )г. Уравпепие баланса энергии (1.105) в данном случае принивгает впд (2Л36) [Е, 11] дз + ~ [ЕьЬ =- О. ф [Е, ЕЦ ди = О, ) !ЕГЬ = О, (2.137) т. е.
равны нулю поток энергии через поверхность о', охватывающую все токи в )г, и полная мощность Р в объеме !г. Во-первых, отсюда можно сделать вывод, что стационарное электромагнитное поле не создает излучения. Впрочем, из самого факта стационарности следует, что энергия поля, связанного с данной системой токов, остается постоянной.
Во-вторых, выразив плотность мощности р =!Е под знаком соответствующего интеграла в (2.137) как а '!2 — !Е" (1.97), по лучаем ) а-2)асЬ = ~ )Ее Нш (2.138) Если сторонние силы отсутствуют (Е'"=0), то очевидно, что 1 О. Действительно, величина а '!' Ие может быть отрицательной, а следовательно, она равна нулю вместе с интегралом. Вывод заключа- Если неограниченно увеличивать объем )г, сохраняя, как это уже делалось нами в аналогичных случаях, его шаровую форму, станет ясно, что поверхностный интеграл равен нулю. Действительно, в пределе он обязательно должен быть равен нулю, так как Е убывает не медленнее, чем г-' (подобно полю точечного заряда), а Н— как г з (поле диполя), тогда как дифференциал поверхности воэ растает только пропорционально гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
