Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В случае произвольной временной зависимости запишем разложение в интеграл Фурье: и(1) = ) и(в)е™Чв, и(в) = — ~ и(г)е ™Ю. (3.18) 1 2н Спектральная плотность и(в) также имеет смысл комплексной амплитуды. й ЗЛ. Уравнения электродинамики (А) 3.1.1. Система уравнений Максвелла.
Источники поля. В основе электродинамики лежит полная система уравнений Максвелла (1.119), при записи которой мы ограничимся вторым вариантом последней строки: го1Н= — +), го$Е= — —, дп дВ дс дс РИР 0 = р, 61Р В = О, 0 = еоеЕ В = Ро)оН, 1= ОЕ+ 1". (ЗЛ9) Поскольку в п. 1.6.1 уже обсуждалась общность этой системы уравнений и ее фундаментальное значение (при некоторых оговорках, касающихся материальных уравнений, входящих в (3.19)), на этом не будем останавливаться. Подчеркнем лишь, что вместе с системой граничных условий (см. $1.4) система уравнений Максвелла (ЗЛ9) образует аппарат нахождения электромагнитных полей.
Интегральные аналоги уравнений Максвелла (1.53) — (1.56) такого аппарата не представляют. Действие сторонних сил в системе уравнений (ЗЛ9) формализует плотность стороннего тока 1". Предположим, что во всем пространстве или в какой-либо энергетически изолированной области 1" = О, т. е. не действуют сторонние сипы. Если при этом найдено фиаически осмысленное решение системы уравнений (ЗЛ9), то оно выражает свободное электромагнитное поле, т. е. поле, не обязанное своим происхождением процессу преобразования какого-то вида энергии в алектромагпитную.
Свободные поля, сне имеющие причины вне себяо, будут рассматриваться в части 2. При действии сторонних сил происходит возбуждение электромагнитного поля источниками. В отличие от свободного такое поле называют вынужденным, а также полем излучения. Теперь входящие в правые части го1Е и го1 Н заменим выражения- ми, вытекающими из первых двух уравнений Максвелла. В резуль. тате получаем го1 (е — г го1 Н) + — — = го1 е-1), р доН со д1о (3.20) го1 ()о-' го1 Е) + — — = — ро —, з доЕ - дз с до дС' (3.21) где обозначено зоре= с '. Правые части этих уравнений в общем случае нельзя рассматривать как известные, но при О=О (идеальный диэлектрик) ) = и'.
Тогда правые части определяются заданными источниками, однако они имеют смысл, если выполнимо требуемое дифференцирование. Пусть среда однородна (е-сопз1, 1с=сопз1)'. Вынося обратные проницаемости за знаки операций дифферезщирования и применяя слева тождество (1.29), получаем 17оН Ч' ' " (3.22) с дс У Е вЂ” — — =' — йтаор+ )оо)о ор дЕ д) с до~ со о дз (3.23) о В электродинамике в качестве стороннего тока в большинстве случаев выступает просто некоторый заданный ток. Например, при решении задач об излучении антенн очень часто исходят иэ зара- нее известного распределения тока на антенне. Разумеется, этот ток поддерживается питающим антенну генератором, который, в свою очередь, получает энергию от какого-то источника питания: аккумулятора, электроэнергетической сети н т.
и. Вся цепь преоб- разований энергии выходит за рамки электродинамической задачи. Сторонний ток нередко рассматривается как поверхностный и соответственно, характеризуется плотностью т)" (ср. 1.82)); эта величина задается на границах проводников. Возбунсдающим факто- ром может быть также проходящий через границу области поток энергии. ЗЛ.2. Уравнения электродинамики второго порядка. Из системы уравнений (3.19) можно исключить все неизвестные величины кро- ме напряженностей поля, а затем исключить Е или Н. В конечном счете получаются дифференциальные уравнения второго порядка относительно одного из этих векторов.
Умножим все члены первого уравнения Максвелла па е ', а второго — на 1с ' и применим операцию той Это дает гой(з-г гоСН) = е,— го1Е+ гойе-г), д о дс д го$ ()о — г гое Е) = — р — гоС Н. дс 118 Гл. 3. Основные положения электРОдинлъшки 9 з.з, гАРмонические колеБАния 119 Подстановка этого выражения Н во второе уравнение Максвелла приводит к равенству: гот(Е+ дА/дС) = О, (3.25)' Мы видим, что векторная функция в скобках является потенциальной (ср. вывод о потеицеальпости электростатического поля в п.
2.1.2). Приравнивая эту функцию величиие — егабф, получаем Е = — ягас) ср — дА/дС, (3.26)' Таким образом, Напряженности поля Е и Н выражены прп помощи соотношений (3.24) и (3.26) через потенциалы А п ф, которые в данном случае будем называть электродинамическими Остается найти уравнения, которым ояи удовлетворяют. Внося (3.24) и (3.26) в первое уравнение Максвелла, 'записываем в случае однородной среды го1го1А+ — — = — — ягас» — + рор1. в1с дсА зСс дф сз дсз с' дс При помощи (1.29) введем оператор Лапласа, это дает с7зА — 1" — = пга6/ Р ф + йуА) — »со»с1. (3.27) Налагая дополнительное условие — — + йчА= О, ер дф сз дс (3.28) (учтено также, что йчН = 0 и йчЕ=р/еое).
Если 1= 1", то р =р"; эти величины связаны законом сохранения заряда (1.44). Уравнения с левыми частями такого вида называют уравнениями Даламбера (в данном случае это векторные уравнения Даламбера). Если токи и заряды отсутствуют, уравпения (3.22), (3.23) утрачивают правые части, Такие однородные уравнения называют волновыми; смысл названия выяснится в дальнейшем (см.
4 4.0). При отсутствии изменений во времени уравнения Даламбера (3.22) и (3.23) переходят в уравнения Пуассона. Первое есть уравнение (2.82), о втором говорилось в п. 2Л.2. Интересно, что к этим же уравнениям Пуассона приводит преиебрежеппе токами смещения (д/)/д1=0) при сохранении времепнбй зависимости векторов поля, ЗЛ.З. Потенциалы в электродииамике. Как и в теории стациоиарпых полей, в электродипамике традиционно используются различные вспомогательные векторные и скаляреые функции. Мы обсудим употребление только уже известных потенциалов А и ф. Зададим векторный потенциал А так, как это делалось в п.
2.3.2: Н =(род)-' го1А. (3.24) которое иногда называют лоренс/евой калибровкой, получаем из равенства (3.27) следующее векторное уравнение Далавсбера: тзА — — — = Рсу1 ер дА (3.29) сз дсз относительно А. 11з (3.26) и (3.28) получается скалярное уравнение Даламбера относительпо ср: узф — — —. = —— еСс дсо р (З.ЗО) с' дсс е з с (как и ранее, 1 =1" и р = р" прп О = 0). При отсутствие времепнбй зависимости уравнения Даламбера (3.29), (3.30) переходят в известные уравнения Пуассона (2.93)', (2.27), а лорепцева калибровка (3.28) — в кулоновскую (2.92). з 3.2.
Гармонические колебания. Уравнения электродинамики в комплексной форме 3.2Л. Уравнения Максвелла отиосительно комплексных амплитуд. Комплексные проницаемости (А». Как уже отмечалось в п. 3.0.1, гармонически колеблющиеся электромагнитные поля представляют значительный интерес и, пожалуй, наиболее часто являются предметом апалиаа в радиоэлектронике (любые времеинйе зависимости можно разлагать на гарлшняческие колебания, см. и. 3.0.3). Используя метод комплексных амплитуд (см. п.
3.0.1), замеиим изменяющиеся по закону гармонических колебаний (3.4) векторы Е, Н, Р, В и 1 комплексиымп представлениями Е = Е„ехр(сасз), Н=Н ехр(1соС) е т. д. Внося эти комплексные представления в первые два уравнепия Максвелла из (3.19) и устраняя общий множитель ехр(1соС), записываем: го1Н 1юВ +1, го1Е„= — СсоВ . (З.ЗЦ Таким образом, получены уравнения относительно комплексных амплитуд типа (3.10), утратившие временную зависимость. Легко убедиться, что уравнения Максвелла с дивергенциями являются прямыми следствиялси получеипой записи.
Чтобы прийти к комплексным аналогам второй строки (ЗЛ9), достаточно применить операцию йч слева и справа в (3.31) и учесть тождество '(1.23), а также закон сохранения заряда йч1 = — иор„(1.44)'. Теперь мы можем оставить в уравнениях (3.31) только напряженности, исключив индукции и плотность тока при помощи материальных уравпеиий из (3.19). При этом правая часть первого $21 120 гл.
з. Основные пОлОжения электРодинАмики 3 3.2. ГАРмоническик тоо'тееАния уравнения Максвелла принимает следующий вид: 0 т Хот пот 1оАп + 1м !гово (е ! ) Ел~+ ) ~ = 1ыеое Ел~ + 1т го где введено обозначение а в=з — г —. 0)го (3.32) Как видно, величина е по тому месту, которое она занимает в уравнении, может рассматриваться в качестве относительной диэлектрической проницаемости. Это так называемая комплексная дизлектрическая проницаемость. Уравнения (3.31), записанные относительно напряженностей поля, имеют вид гог Н,„= иое,еЕ + )"', той Е,„= — ио!А„!гН„,. (3.34) Точка над е опущена; этим обозначением мы будем пользоваться редко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
