Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Получениые равенства можно было бы проанализировать, рассуждая, как в п. 1.5.4. Но удобнее сначала произвести интегрирование по некоторому объему )г с границей Я и перейти к следующим соотношениям: Ве ()) Пйз = — — ) (е,е"Е Е + р,(ь"Н~Н~) дп — Вер (3,57) 1ш(~)Пба = 2 ) (зоз'Ест — РоР НтН,'„) оЬ вЂ” 1ш Р", где Р" — интеграл от р" по )г, выражающий комплексную мощность источников.
Обсудим смысл первого из полученных равенств. В левой части — вещественная часть комплексного потока энергии Рв (используем обоаначение типа (1.106)). Согласно п. 3.3.1 ато средний поток энергии через Я: Ра = Ве Р'. Последний член справа дает среднюю мощность источников: Р" = Ве Ф". Легко убедиться, что рассматриваемое равенство, которому удобно придать вид Р = 2 ~ (зее Е Ет + Род НтНт) о/п Р о (3 58) ч есть ие что иное, как уравнение среднего баланса энергии при гар- моиических колебаниях. 126 Гч. 3. Основные положения электРодинАмики Пусть источники в среднем отдают энергию полю: Р" ( О. Если проницаемости е и сс вещественны (е" =О, сс" =0), то объемный интеграл в (3.58) исчезает.
Прн этом в среднем вся мощность нсточнпков идет на излучение: Р*= — Р'"= ~Р"~. Если же е" ) О, ссщ ) О, то положителен н объемный интеграл, а следовательно, средняя мощность излучения уменьшится на его величину. В случае, когда область Р энергетически изолирована, так что Р» = О, мощность источников полностью »гасится» объемным интегралом.
Из этих рассуждений следует, что объемный интеграл в (3.58), взятый без знака минус, выра>кает среднюю мощность потерь в У: ) (еое ЕщЕщ + ро)с"НтНщ) с(ш Р (3.59) Полученный результат проясняет смысл мнимых частей е' и з»' колшлексных проницаемостей е н р. Пря е =0 и ссщ =О, т. е. когда е и сс вещественны, среда является не~тоглогцагощей. Потери энергсн существуют при е - 0 п (плн) 0' )О. Вти, как говорят, электрические и магнитные потери происходят в результате преобразования энергии поля в какие-то нные формы.
В особых случаях, о которых рочь пойдет в з 16.3, фпгурпруют отрицательные е н 0 В простейшем варианте, когда поглощение вызвано только проводимостью среды (при этом согласно (3.33) е = О1о»ео и 1» =-0), пз (3.59) следует: ло (3.60) Величины 1-''= ВеР' и Р'= Вер*, входящие в первую строку (3.57). принято назыгать акгпвпымц: зктпвпая мощность, активнып поток энергии. Мнп»сые части )т Р" и 1пз Р* пз второп строки (3,57) назыззнзт соогзетстиеппо реактивной мощностью и реактивпын потоком энергии.
При вещественных е н ~с получаем 1ш Р» = 2 (П.' — 1Р-) - (ш Р" (3.61) 1ш р' = 1ш 1/2).,Е е " = . -112) Е„Э 1 и ср, (использованы формулы (3.51), (1 111), (1 112) ). Реактивные величины связаны здесь с разностью сроднпх значений электрической и мапштпой энергии в )', Возвращаясь к примеру, рассмотренному в конце п.3.3.1, напомппм, что плотность мощности р была разложена на две составляющие, одна пз которых — среднее зпачон»се р, которое теперь можно назвать плотностью активной мощности. Другая составляющая — плотность колеблющейся мощности — обращается в нуль при усречнеппи.
Вычисляя для того же примора плотность реакгпзной мощности 6 З.З. БАЛАНС ЭНЕРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ 1Е7 Как происходит изменение энергии в среднем? При интегрировании по времени от 0 до Т и делении на Т получаем — — юе е е1п сс ~ Е' сЬ. Ш = Е о (3.63) 2 е Учитывая, что ее1па=е" (п. 3.2.1) и Ещ= Е Е, убеждаемся, что получено выражение мощности электрических потерь (первый член (3.58)). Следующее замечание о роли комплексной частоты (и. 3.2.3).
Рассматривая в (3.34) ю как комплексную велпчииу, вместо (3.55) получаем Йт П = — (сооеое*ЕщЕщ — одлорНщНщ) Р (3 64) Пусть среда однородна и изотропна. Взяв энергетически изолированную область )г, не содержащую источников, будем иметь ю*е,е* ~ Е' с(п = — олр р ) НщсЬ. Р Р (3.65) Равенство может быть выполнено только при условии (3.66) щр (поскольку интегралы вещественны).
Ввиду (3.37) и (3.49) отсюда Л + 1»и — 2агс$8 —, = О, т, е. (3.67) Смысл полученного вывода в том, что мыслимое поле в изолированном обьеме без источников долнзно быть затухающим, причем величина со lол' вполне определяется углами потерь среды. видим, что она не является составляющей р. Наличие реактивной мощности просто указывает на то, что при данных амплитудах 1 и Е активная мощность не достигает своего максимума. 3.3.3.
Дополнительные замечания (Б). Проследим, как иаменяется электрическая энергия И" в объеме )г, когда сказывается инерционность среды. Пусть Е = Е„соз о»1 и П = еоеЕ соз (оМ вЂ” а). Согласно (1.104) — = ) Š— с(п =. — Ые,е ) Е' соеЫ з1п(ю1 — а) сои. (3.62) д» л зс Р Р 28 гл. 3.
ОснОВные положения электРодинАмики 5 ЗА. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ а9 5 3.4. Общие свойства решений системы уравнений электродинамики в комплексной форме (А) 3.4.Е О единственности решений. Решения уравнений Максвелла, как и других уравнений в частных производных, принадлежат весьма широкому классу. Нахождение того или иного решения уравнений (3.34) еще не означает, что получено электромагнитное поле, которому можно приписать определенное физическое содержание.
Поставим целью выяснить, при каких условиях система уравнений (3.34) имеет некоторое единственное решение Е, Н . Очевидно, что такие условия однозначно формализуют причину существования поля: единственное решение обладает физической определенностью.
В качестве первичной причины существования электромагнитного поля естественно видеть превращение неэлектромагнитной энергии в энергию поля. Поэтому будем исследовать решения при заданных источниках, т. е. такие, которые должны представлять вынужденные поля. Пусть требуется найти поле внутри области Г, ограниченной поверхностью О' (рпс. З.За), внутри которой задан уои би Ет, ди / и ои / Ет Нт Е,Н ! Г /У / (' l г б Рис. 3.3 сторонний ток с плотностью )"'. Вместо внутренних источников или наряду с ними может существовать поток энергии через границу Я.
Какими предварительными сведениями надо располагать, чтобы с учетом их получаемое решение оказалось единственным? Пусть получены два решения системы уравнений (3.34): Е„ь Н ~ и Е е Н е Подставим их в (3 34), так что будем иметь два варианта записи уравнений. Произведем вычитание соответственных частей и в результате получим следующую систему уравнений: ТОС Ь = ноеазе, го1 е = — ьюуьорЬ (3.68) относптельно разностей е =Е„, — Е а и Ь=Н ~ — Н е Поскольку в обоих вариантах фигурировала одна и та же заданная величина она исчезла в (3.68).
Для системы уравнений (3.68) можно вывести совершенно такие же энергетические соотношения, как н для (3.34). Поэтому (ср. (3.58)) Кеф(е, Ь*] йе = — —" ~(з,е ее*+ роьь"ЬЬ*) ОР. (3.69) Если оказывается, что поверхностный интеграл в (3.69) равен нулю, то, значит, исчезает и объемный интеграл справа. Но тогда при положительных з" и ро обращается в нуль подынтегральное выражение, поэтому равны нулю ~е~' и ~й(а. А это как раз и означает, что решение задачи единственно: два гипотетически различных решеипя совпадают.
Прп каких же граничных условиях исчезает поверхностный интеграл? По крайней мере, если задано: Е,наЯ, или Н, на Б, (3.70) или Е, на Я~ и Н, на Яз (Я~+Юг=Б). Действительно, задание Е„например, означает, что для любых решений эта величина — одна и та же; следовательно, е,=О (нормальная компонента е не вносит вклада в смешанное произведение векторов под знаком поверхностного интеграла). Аналогично рассматривается задание Н,.
Итак, решение уравнений (3.34) при нахождении вынужденного электромагнитного поля внутри области Р с границей Я единственно. если задано одно из граничных условий (3.70), а также з" > 0 и ро > О. Впрочем, последнее требование может бьгть ослаблено.
Можно допустить, что е" = 0 либо уь" = О. Тогда непосредственно доказывается единственность определения Н либо Е . Остальное устанавливается с привлечением уравнений Максвелла. Существенно, что величины з" и ьь" могут быть как угодно малы. Отметим также, что сформулированные граничные условия (3.70) не исчерпывают все мыслимые условия, обеспечивающие единственность решения задачи. Исследованная задача о нахожденпи поля внутри и' (см. рис. 3.3а) называется внутренней задачей электродинамики.
Все рассуждения можно повторить и для внешней задачи (рпс. 3.36), когда вынужденное поле существует в бесконечном пространстве вне некоторой области Г. По-прежнему исходя из энергетического соотношения (3.69), мы должны теперь распространить интегрирование в правой части на бесконечное пространство вне Г. В качестве границы Я в (3.69) возьмем совокупность 5' и сферической поверхности 8" бесконечно возрастающего радиуса. Поверхностный интеграл в (3.69) исчезнет, если кроме одного из условий (3.70), теперь задаваемых 9 В. В Пи:оаьоииэ, Т. И.
Киьоиьоиаи 3ЗО гл. 3. ОснОВные поло)кения зчектРОдинАмкки 3 ЗА. сВОпстВА Решенкп уРАвнении электРОдинвмики 131 на Б', в пределе при г- ° исчезает вклад сферы Я". Зто будет, если [е, Ьс[ убывает быстрее, чем 1/г». Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы напряженности поля в рассматриваемом классе решений убывали быстрее, чем 1/г. Единственность решения внешней задачи (а следовательно, н его физическая определенность) установлена прп прочих равных условиях только в классе достаточно быстро убывающих полей. В заключение заметим, что произведенный вьппе анализ физической определенности решений уравнений электродинамики далеко не полон.
Принцип причинности в электродпнамике находит отражение в виде так называемого условия излучения; в дальнейшем некоторые его формы будут обсуждаться н попользоваться (см., например, пп. 5.1,2, 9.0.2) . 3.4.2. Принцип взаимности. Для одной и той же среды будем рассматривать два разных решения уравнений (3.34), которые по.ст .сп лучаются при задании сторонних токов с плотностями 11 и )3 . Дважды переписывая уравнения (3.34), получаем прн этом гоф Н 1 = »гос»ЕЕ 1 + )"„в, гоФ Нт, = «е)е»ЕЕ„» + ["„ (3.71) го$ Ет) — — — йо[)с))Нт) гоФ Е„,» — — — )е)[)с[)Нт» ° Объединим уравнения в две пары, как показано стрелками, и произведем уже знакомые действия.
При атом в первой строчке левого столбца производится умножение на Е„», а во второй строчке правого — на Н„), после чего вычитаются соответственные части. Аналогичные действия производятся с оставшейся парой уравнений. В результате имеем .ст с[[У [Ет»г Нпц [ = )ю[1»РНт»Нт1 [юе«Жв1Ет» )т1Ет« (3.72) )1)у [Епц, Нт»[ = — «е)[)с[1Нт)Нт» — 1«)ссзЕт»Ет) )т»Ет). Для изотропных сред нет разинцы между выражениями [1Н»Н 1 и )»Н гН 3, ВЕ )Е а и ЕЕ »Е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
