Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В атом случае из (3.72) путем вычптания получаем 1[)у ([Е»в»г Нпц) [Епц, Нт»)) )т»Ет) )»г1Ет»г (3.73) илн при интегрировании по области )1 с границей Я: ф ([Ет»г Нт)1 [Епц, Нт»)) )[з = ~ ( гт»Ет1 — )т)Ет») г/с. (3.74) Я 'У Получеппый результат (3.73), (3.74) устанавливает соотношение между полями двух разлпчпых псточпкков в одной к той же изотропкой среде. Это так называемая лемма Лоренца. Если токи сосредоточены в ограниченной области, то, распространяя интегрирование на бесконечное пространство, можно прийти к выводу об уничтожении поверхностного интеграла. Тогда [ ( )»Ет) — ) щ)Ет«) 1Ь = 0 (3.75) (поверхностный Интеграл исчезает наверняка, если амплитуды полей убывают быстрее, чем 1/г; зто условие может быть ослаблено, если использовать условие изчучення и.
9.0.2). Если первые токи сосредоточены в области Рп а вторые — в у» (рис. 3.4), то из (3.75) следует: (3.76) У, Полученный результат выражает принцип взаимности для двух распределений сторонних токов, двух источников. Примечательна симметрия соотношения (3.76), совершенно не зависящая от характера среды, которая лишь 'сг .;», .сг предполагалась изотропной. .' ф /. Для иллюстрации этого на рис. 3.4 показано несколько нарушающих однородность «пассивных» (лишенных источнп- Ф' '. ков) подобластей, диэлектрических и металлических. Положим, что вся среда линейнз. Зто значит, что выражение (3.76) справедливо прп одновременном существовании обоих источников (не следует забывать, что рассматриваются два пезавпспмых решения уравнений электродинамики).
Можно ввести полные токи первой и второй областей1 и1»'г определенным образом догово,-шись, через какие сечения вычис- .сг г лнются потоки векторов [1 и «Введем величины 1 ст 1 ( ст 1/т)» = ° ) йтг т»г[иг (/гвм = . ) Зт»Ет11Ьг (3 77) ст ' ст ~т) У 1 1»~У, 1 которые можно рассматривать как комплексные амплитуды наводимых э.д.с. (1/13 наводится в К1 током, локализованным в Р», соответственный смысл имеет П»1). Тогда (3.76) можно переписать в виде /т)1/т)» —— 1т»1/т«1. Разделпм обе части на /т)К»г это дает: (3.78) (/т1«(/т» = (/т»1(/т)г 132 ГЛ.
3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 1 3.1. сВОЙствА Решении уг.твнений электРОдинАмики 1ЗЗ т, е. 7м=7еь В этой трактовке соотношение (3.76) выступает как равенство взапмпых сопротивлений 7.„п 73~ рассматриваемых источников. 3.4.3. Перестановочная двойственность травненпй Максвелла. Магнитные токи. Рассматривая уравнения Максвелла в комплекс° гт ной -форме (3.34) прп отсутствии Источников (1,„=.
О), легко заметить, что замена ') еео !111«, К ° — — Н,„, Н„, — Кп (3.79) м (3 80) ТОС Е,„= — 1ыиррН, тот К„= — 1«111»ВН вЂ” )и,. В левом столбце (Э) записана известная нам система уравнений электродинамики (3.34), а в правом — (М) модифицированная систеиа, физическое содержание которой мы сейчас обсудим. Но сначала надо отметить, гго одна система переходят В другую (Э вЂ” М), осли ее» эь (Тро 1» 1 1, К вЂ” и — Н, Н -и Е~.
(3.81) Что же представляет собой система уравнений М? Это уравненпя Максвелла с необычно заданными нсточникамп. Появившаяся в правой части второго уравнения функция ) есть магнитный аналог величины 1 Это комплексная амплитуда плотности магнитного тока, В природе, как полагают при формулировании основных уравнений теории электромагнетизма, магинтные заряды отсутствуют ') Легко убедиться, что это не едвнственве возможная ааиева.
сохраняет эту систему уравнений, причем порвое уравнение переходнт во второе, а второе — в первое. Отмеченный факт имеет следующее значение. Существуют такие электродпнампческпе задачи, в которых векторы Е,. и Н,. меняются ролямп, Положим, что одна нз таких «парных» задач решена, так что пмеютсн формулы, выран ающпе векторы Е и Н .
Тогда для получения решения второй задачи пз той же пары достаточно в готовых формулах сделать замену (3.79). Говорят, что решение в этом случае получено путем применения принципа двойственности. Чтобы распространить принцип двойственности иа уравнения Максвелла при налп*ши источников, необходимо в дополнение к уравнениям (3.34) построить некоторые модифицированные. Сопоставим те и другие уравнения: го! П = 1'ь3г«еЕ,» + 1", (см. п.
1.2.5, 1.2.6). Не может быть, следовательно, и магнитных токов. Но это не мешает вводить такие обьекты формально — с единственноп целью облегчить исследование вполне реальных полей. Итак, посредством замены (3.81) мы переводим уравнения Максвелла с обычными, электрическими источниками в уравнения с условными магнитными источникамн (либо действуем в обратном порядке). Существенно, что ага замена может производиться в формулах, выражающих готовые решения задач. Такие операции мы и будем производить.
Остается проанализировать второе уравнение Максвелла в системе М (3.80), поскольку по сравнению с обычным вторым уравнением Максвелла оно выражает нечто новое. Взяв в левой п правой частях уравнения дивергенцню, согласно (1.23) получим: 0 = — 1«в 6!ч р«РНт — 6!у 1п"',. Поскольку в данном случае предполагается существование магнит- ных зарядов, напишем: (3.82 61Т (А»РНп, — — Рт Ы Следовательно, предыдущее равенство — ато выражение закона со- хранения магнитного заряда (3.83) 6!ч 21"' = — 1«вр (ср. комплексную форму й!Т1 = — гыр уравнения (1.44) ). Наконец, следующее. Раз в рассмотрение введены магнитные заряды и токи, оказываются полезными и представления об их поверхностных формах.
По аналогии с известными величинами В и т! Введем плотность поверхностного магнитного заряда $" п плотность поверхностного магнитного тока т!". При этом вместо граничных условий (1.86), (1.85) для В п К возникают условия типа (1.83), (1.88). Запишем нх относительно комплексных амплитуд: (3.84) (В,— В 1)Т,=$", (Еш« — Ктг~ т«) = т)~» (3.85) Вывод этих формул легко выполнить, взяв вместо (1.56), (1.54)' интегральные формы уравнения (3.82) и второго уравнения Максвелла М (3.80); затем остается только повторить операции из п. 1.4.2, 1.4.3. Из (3.84) и (3.85) следует, что при ~" чь0 и, соответственно, т!" Ть 0 компоненты В. и Е.
будут иметь раарывы, которые, разумеется, не соответствуют физической реальности. Однако введение такого рода разрывов иногда оказывается полезным в теории. Рис. 3.5 УПРАЖНЕНИЯ и(г„,, г) =~(г) Етг = Я(Нт~, т«) (3.88) О го Рнс. 4.1 134 гл. 3. ОснОВные пОлОжения злектгодинамики Пример 2. Некоторое магнитное поле (рис. 3.5а) представляет интерес только в полупространстве е ) О, причем В(0) = у«В(0). В этом случае можно отбросить мысленно поле при е (О, а при е = 0 задать распределение магнитного заряда 8" = В(0) (рис. 3.5В). Это делается на основании условия (3.84) заданием В« — — О. ° 1.
Задано: Е = х«л + у«В, где а) А = 1, В = 1; б) А = 4 В = — Е Найти Е. 2. Чему равно числовое значение с в (3.20) и далее? 3. Между какими направлениями лежат «углы потерь«А и А"? 4. При каком фазовом сдвиге между Е и Н будет П = О? 5. Вывести выражения (3.51) — (3.53), повторяя п. 3.0.2. 8. За какое время амплитуда свободно колеблющеюся поля в изолированном объеме уменьшится в 100 раз (( = 10 ГГц, полистирол)? Ч.
Будет ли иметь единственное решение внутренняя задача злектродина° ики для системы уравнений (3.34), если задано тзк называемое ими«дав«кое граничное условие (т,— орт внешней нормали). Рассмотреть вещественные, мнимые и комплексные значении ими«дав«а Я. 8. Показать, что лемма Лоренца справедлива и в случае анизотропных сред, если теизоры е и и оимметричны. 9. Вывести лемму Лоренца в варианте магнитных источников, исходя иэ системы уравнений М (3.80). 10.
Записать формулировки замены величин в уравнениях Максвелла, зквиэалевтпые рассмотренным в и. 3.4.3. ЧАСТЬ 2 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И КОЛЕБАНИЯ Глава 4 ПРОСТЕИШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЬ1Е ВОЛНЬ1 (А) 4 4.0. Общие сведения о волновых процессах 4.0.1. Исходные представления. Перед изучением электромагнитных волн обсудим содержание понятий волна, волновой процесс, получивших широкое распространение в физике и технике. Прообразом здесь служат всем известные волны, возникающие на поверхности воды. Существенно то, что при движении, распространении всякой волны среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате чего происходит передача энергии в пространстве.
В основе математического описания волновых процессов лежат простые соображения. Пусть, наблюдая некоторый физический процесс, мы можем охарактеризовать его в точке М(г,) функцией и(ги «) «р(«) (рис. 4.1а). В другой, достаточно отдаленной, точке Р(гз) процесс не будет наблюдаться (и 0) до тех пор, пока он не будет передан средой, и тогда мы отметим там и(гз, «) = ф(«) (рис. 4Л6). Быть может, временной закон окажется сильно измененным, искаженным при передаче. Но в простейшем случае в точке Р(гз) будет обнаружено лишь запаздывание того, что происходило в точке М(г|). При этом «р(«)=«р(« — т), где т — время, требуемое для прохождения пути (гз — г«(= «со скоростью и.
Положим, что в пространстве какие-либо изменения происходят только в направлении г. Тогда в соответствии со сказанным А а/г с/ С1 4 и/в,сс'=.4с/с/ с,=сс~-с/а о =гс«4 б о с„ и ( а/с, с/=а/с-с/а/ а са«С/а б Рас. 4.2 Рзс. 4.3 4ЗЕ ГЛ. 4.
ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ процесс характеризуется функцией и(г, 4)=ф(Т вЂ” г/о). (4Л) Если при г 0 эта функция и(0, с)=ф(г) имеет внд, показанный на рпс. 4.2а, то при г = 4 (рис. 4.2б) наблюдается временная зависимость и(С, 4) = ф(4 — 4/Р), отличасощаяся лишь сдвигом: и(1, с) = и (О, г — с/о). Рассмотренный волновой процесс — это плоская однородная волна в не деформирующей ее среде. Дело в том, что, говоря о процессе в некоторой точке г = гь мы, в сущности, можем иметь в виду любую точку плоскости, соответствующей данному постоянному г: согласно (4Л) изменение х и у в некоторой плоскости г = сопвФ оставляет значение и в каждый момент времени постоянным.
Обратимся теперь к рис. 4.2в, на котором для двух моментов времени й и Ьг построена величина и(г, 4) (4Л), как функция г. Зафиксируем какое-либо мгновенное значение, фазу процесса, например, значение и = а (рис. 4.2а, б, в). На основании рис. 4.2в можно сказать, что плоскость г = сонары, для которой и=а, за время т= сг — й переместилась на расстояние «= от. Будем называть плоскость с любой фиксированной фазой фронтом рассматриваемой волны. Распространение волны можно обсуждать как движение ее фронта. Заметим, что кривые на рис. 4.2в, построенные для мо- МЕНТОВ й И сг, НаЗЫВаЮт «МГНОВЕННЫМИ СНИМКаМИ« ПРОЦЕССа. Как выразить волну, распространяющуюся не в направлении г, а в противоположном/ Для этого нужно изменить знак скорости о. Считая величину и положительной, мы должны в (4Л) заменить аргумепт с — г/о на 4+ г/Р, 4.0.2.
Гармонические волны. Конкретизируя выражение (4Л) для закона гармонических колебаний (ЗЛ), приходим к представлению 6 4.0. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССАХ ТЗТ о гармонической волне: и(г, 4)=и сов[04(г — г/о)+ф)=и„сов(ют — йг+ф). (42) Введенный параметр й= ю/и называется волновым числом, а о— фавовой скоростью. На рис. 4.3а (ср. рис. 4.2в) построены два мгновенных снимка гармонической волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
