Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Как изменяется амплитуда функции и(з, 1) в эавнснмостн от зу .ст 5. Заппсав урзвнепвя (334) прп )т=Ов коорднпатной форне, показеть, что прп отсутствии зависимости поля от х н р равны нулю компоненты паврягкенностей поля Е. н Нь б. Заппсать коыплексные амплитуды векторов поля плоской однородной электропагянтной волны, распространяющейся а) по осн х, б) по осн у. 7. Найти параметры й, й", е, Л н )Р плоской однородной волны, распространяющейся в следующих средах (табл. 1.2): стекло (1 = 10' Гц), полнстнрол (г' = 10' Гц), олово В = 10' !'ц). 8. Представпть волну, полярнзованную в плоскости Х02, в виде двух волн круговой полярнзапвн, правой н левой. 9.
Вычпслнть глубнпу пропнкновекяя Ае, а также волновое сопротнвленне И'прн 1 = 10ю Гц для меди н свинца (табл. 1.2). 10. Прн выводе формулы (4.53) взять Н = 2А. Построить крпвую, оплсываемую вонцом вектора Е в плоскости з = О. ГВ Выписать выражения векторов поля Е н И стоячей волны в случае поглощающей среды. 12. Рассмотреть стоячую волну круговой поляризации. 13. Фазовая скорость волны нзыеняется по закону е = ее)'1 — а/юз (ее н а не зависят от частоты).
Найтн групповую скорость. 14. Выразить групповую скорость в случае, когда дпзлектрпческая проницаемость некоторой пепоглощеющей среды зависит от частоты. 9 5.0. Вспомогательные сведенпя. Вращение декартовой системы координат (А) На рис. 5 1а изображены две декартовы системы координат (х у в) п ($, т), ь) с общим началом О.
Введем девять углов указываюгцнх ориентацию осей второй спстемы отпосптельно первой. Так в первой строке мы имеем углы, составляемые осью 5 с оснмн х, у и з (рнс. 5Лб). В том же порядке во второй и третьей строках расположены углы ориентации осей т) н, соответственно, 9. Следовательно, между ортами обеих систем существуют 154 ГЛ. З. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА 155 З ЗЛ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ соотношения: зьз = хо соя а1 + уо соя аз + го соя а, уо хз соя АР1+ ус соя 5з+ го соя рз, ьс = хс соя 71+ уо соя уз+ го соя 7з (5.
6) (5Л) хо Ъосоаау+ Цосоз ))1+ ~о соз 7ь Уо Ъс соя аз+ т)з соя 5з+ ~о соя 7з, во = Ъо соя аз+ Во соя рз+ ~асов 7 . в 5Л. Отражеиие и преломление (5.2) (5,3) (5.4) Рзс. 5Л (5ЛО) в-1ЗС = в-'"'. Аналогично преобразуются компоненты некоторого вектора г = логу+ Увгу+ гогу = 5СРу+ т)зг„+ 5ОРР Таким обрааом, Р; = г"„соя а1 + г", соя аз + г". соя аз, Ру Р„соя РУ1 + )Ру соя УРТ + ус' соя [~з, Еу — — )Р„соя 71+ Гусов 7з+ 1"у соя 7з г = гусов а1+ Р„соя [)1+у"усов "(1, г у = г З Соя аз + у' ч Соя Рз + у' 1 СОЕ 72 Г, гз соз аз + Гу соя [)з+ рз соя 7з А поскольку в качестве Г может фигурировать и радиус-вектор г = хзх+ усу+ звг = Ы+ з)од+ Ы, соотношения (5.3), (5.4) дауот также преобразование координат.
Составляя скалярные произведения строчек (5.1) и (5.2), находим следующие соотношения: соя 1р1 + соя ург+ соя урз = 1у (5.51 соя 1р1 соя ур1 + соя 1рз соя у(1у + соя 1рз соя 1[11 О, при 1р = а, [), 7; Ф = а, [), 7; 1р ~ Ф соя'а +сову 5,+ соя'7 = 1, соз а; соз а, + соз Ру соа Ру+ соз 7у соз 7у = О при 1=1, 2, 3; й=1, 2, 3; 1~ й. 5ЛЛ.
Электромагнитные волны и оптические лучи (А). Оптика как наука о свете в аначительной степени сформировалась задолго до установления его электромагнитной природы. В геометрической оптике оперируют понятием луча. В случае однородной изотропной среды луч есть прямая, указывающая направление распространения света. Обращаясь к представлению о плоской однородной волне (гл. 4), назовем лучом нормаль к ее фронту. Анализируя различные волновые процессы, мы в ряде случаев будем сопоставлять им лучевые схемы. В отличие от гл. 4 нам придется рассматривать волны, распространяющиеся в разных направлениях, не совпадающих с осями декартовой системы координат (х, у, г). Положим, что волна распространяется в некотором направлении 1„. Естественной для этой волны назовем такую систему координат Д, ц, 1".), в которой комплексные амплитуды напряженностей поля выражаются формулами, подобными (4.32): Е„= й,ЛС-"1, Н„= т) (А(И') в-'"'.
(5.7) Польауясь правпламн преобразования ортов н координат, запишем эти формулы в основной системе (х, у, г): Е„= (хс соя а1+ ув соя аз+ зз соя аз) Х Х А ехр [ — 1й(х соя 71+ у соя 71+ г соя 7з)), (5 8)' Й =(хвсоя[)1+уосоя[)з+вссоярз)Х Х (А/Р(") ехр [ — йй(х соя 71+ у сов 7з+ г соя 7з)]. Ориентация луча 1, и фронта волны 1. = Сопяз показаны на рис.
5.2а. Введем волновой вектор )г = 1,уй = й (хо соз 71+ Уо со Я 7з+ во со Я 7з), (5.9) указывающий направление луча н по абсолютному значению равный волновому числу. Скалярное произведение йг = й(х соя 71+ + усоя7з+гсоя7з) и экспоненциальный множитель в (5.7), (5.8) представляется в виде: )57 ГЛ. 5. ЭЛЕКТРОДИНЛМИКЛ П ОПТИКЛ 156 5 5.1.
ОтРлженпе и пРелоылепик Уравнение фронта волны Ь = сопв1 можно, таким образом, переписать в следующих формах: х сов у1+ у сов у»+ г сов уз = совам, йг = сопвс. (5Л1) 1(ак показано па рпс. 5.2б, проекция г па направление ь, а с ним ц величина йг остаются постояпньп|п в плоскости фронта волны. г =тыл» Рис. 5.2 5.1.2. Падение волны на границу раздела еред. Постановка задачи (А). Па практике так или иначе приходится встречаться с влиянием границ физических тел на распространяющиеся волны, которые испытывают отражение, Это значит, что от границы распространяетсл новая волна, налагающаяся на первичнусо, Внутри тела, играющего роль препятствия, также возникает волновой процесс.
Будем рассматривать гармонический электромагнитный волновой процесс в случае, когда все пространство разделено плоскостью на два однородных полупространства с разными свойствамп. Следует найти решения уравнений Максвелла (3.34) прн 1'*=О для каждого из полупространств, удовлетворяющие на указанной плоекости граничным условиям. Зги решения сформируем из плоских однородных волн (гл.
4). В первой среде зададим так называемую падающую волну Еа, Нг, которая распространяется из бесконечности к границе под некоторым углом, н предположим, что существует отраженная волна Е, Н, распространяющаяся от границы. Во второй среде допустим существование одной прошедшей волны Е+, Н+ (ее называют также преломленной волной), которая уходит от границы в бесконечпость.
Зто схематически показано на рис. 5.3. Задача состоит в том, чтобы при заданной падающей волне подобрать такие комплексные амплитуды и направления распространения двух других полн, при которых тангепциальные компоненты векторов Е и Н остаются непрерывными на границе раздела сред. Запишем это в форме: О Ен1г = Е 1«п Евп + Етс = Епп, (5.12) 4 (5ЛЗ) всп О,)в'сп ср = пс/пг = пм, где и, и пг — козффис)иенты пРелольлетьч сРед, а пм пазываетсЯ относительным коэффициентом преломления; в оптике это экспериментально определяемый параметр.
Мы заппсалп так называемые законы Снеллиуса. С точки зрения электродинамики эти законы — следствия уравнений Максвелла, причем и = уз)ь (5.14) для всякой среды с данньсми пропицаемостями. ВЫВОД. Падающей, отраженной и преломленной волнам сопоставим волновые векторы й», й и й+. Тогда (п. 5.1.1) в гл г = ехр [ — й, (хсову, + усову, + гсовуг)[, в-ьз '= ехр[ — ь)гь(хсову, + усову, + гсову )[, (5Л5) в-ье+' = ехр [ — й,(хсову,+ + усову,+ + гсову»+)[, (имеются в виду тангенциальные компоненты на плоскости г = О, рнс. 5.3; индексы 1, 2 обозначают две разные среды). Может возникнуть вопрос, пе является ли выбор этих трех волн произвольным.
Почему, например, во второй среде ожидаелгое решение задачи исчерпывается только одной волнойс Зто требование фпзпче- (е.н ) ской определенности задачи. Прп падении заданной волны па границу раз- 4' дела сРед возникает вторичный волновой процесс, начинающийся па этой границе, и нет оснований ожидать, что чй355Е555щ-ф555»55еу,ре~ появятся новые волны, приходящие из бесконечности. Отказ от введения таких волн согласуется с принципом ~ (л',и+) причинности и называется условием излучения.
В дальнейшем мы увидим, Рпс. 5.3 что «трехволповое представление», действительно, приводит и единственному, а тек самым, физически содержательному решению задачи. 5.1.3. Зэконы Снеллнуса (А). Лучевая схема для рассматриваемой задачи дана па рпс. 5.4а. Из оптики известны законы отражения и преломления лучей: 1. Угол отражения ср' равен уг.су падения ср. 2. Синусы угла преломления б и угла ьадения ср подчинены соотношению: гл. ь.
электэодинлмикл н оптика Э К!. ОТРАЖЕНИЕ П ПРЕЛОМЛЕНИЕ ео' оо' ео' го' и!/пз = й!/йэ Уе!)т!/Увэ)тз. (5.20)' го эо оо ео б Рпс. б.4 где /с! —— (ю/с)УС!)с! и йз=(ю/с)Узз)!э — волновые числа для первой и второй сред, а углы 71, уз и уз (с теми нли иными верхними индексами) — это ориентациопные углы направлений распространения соответствующих волн (см.
рис. 5.2а). Компоненты векторов поля в граничных условиях (5.12) имеют характер констант, умноженных на функции из (5.15), взятые при К=О (см. рис. 5.3). Эти условия могут быть удовлетворены только при линейной зависимости') компонент, что требует выполнения равенств: ехр1 1/с! (хсозУ1+ усозуэ»Н = ехр11 — гй (хсоз )] = ехр~ — 1/с~(хсозу~~+ Усову~~)~ (5 16) Лишь в этом случае условия (5Л2), будучи удовлетворены в некоторой точке (например, в начале координат), выполняются везде на границе.
Потребуем, чтобы луч падающей волны лежал в плоскости чертежа, т. е. составлял угол Уст=90' с осью х (направленной по нормали к чертежу). Тогда сову! = 0 и из (5.16) следует, что + +». созут =- созт! =О. Следовательно, ч! =7! = 90: есе три луча лежат е одной плоскости. Смысл этого факта очень прост. Раз поле падающей волны не зависит от координаты х, такая зависимость отсутствует и у двух других волн. ') Функции /ь ..., /» называются линейно заэнснмыин, если можно подобрать такие коэффнцпекты а!, ..., а (не зсе разныв нулю), что лнксйная комбнвацня а!/1+... + а /„ будет равной нулю прн любых значеннях аргументов фупкцнй. Сосредоточим внимание па зависимости от у в (5Л6) п запишем, как следствие, двойное равенство: й соз Уэ — /с соз Уз — — кэ соз Уэ ° Во-первых, (5Л7) означает, что ус= у (оба угла — острые, рис.
5.4а). Но уэ, = 90' — ср п т, = 90' — !р'. Поэтому ч =!р (5Л8) что составляет содержание первого аакопа Снеллиуса. + о Во-вторых, учитывая дополнительно, что ~!э —— - 90 — О, и переходя в (5.17) от косинусов к синусам, получаем й! з!и!р=йэз)пб, (5.19) а это соотношение — не что иное, как выражение второго закона Снеллпуса, вытекающее из электродинкмической теории. Мы не только пришли к оптическому закону (5.13) по форме, но и можем теперь дать электродинамическое толкование входящим в (5ЛЗ) коэффициентаи преломления и, и и,. Сопоставляя (5ЛЗ) и (5.19), имеем: Положив и, = Уз!)!! и нз = Узз)!э, приходим к (5Л4). ° Выполненный вывод вполне согласуется с оптической трактовкой, пока проницаемости сред вещественны.
При этом и, =с/и, и пз= с/пэ, где и1, гз — фазовые скорости плоской однородной волны для обеих сред. Закону (5ЛЗ), таким обрааом, можно придать следующий вид: з!и б/з!п !р = ит/и!. (5.21) При поглощении, когда проницаемости сред, а с ниии и коэффициенты преломления становятся комплексными, наглядная лучевая трактовка утрачивается. 11о выполненный электродинамический вывод законов Снеллиуса остается в силе и, значит, сохраняют справедливость их формулировки. Злектродинамическая трактовка законов Снеллиуса шире оптической; комплексныи значениям тригонометрических функций отвечает определенное физическое содержание (см., в частности, п. 5Л.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
