Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 32
Текст из файла (страница 32)
На рис. 5.4б второй закон Снеллиуса поясняется при помощи семейства кривых 6(!р) для случая двух идеальных диэлектриков; при этом и! — — Уз! и пз=Узз вещественны. Биссектриса выделяет два класса процессов преломления. В одном из них первая среда является, как говорят, оптически более плотной: пю > 1. В другом — она оптически иенее плотная: пю < 1. 5Л.4. Следствия второго закона Снеллиуса (А). Подчеркнем, что электродинамический вывод ааконов Спеллиуса — это всего лишь промежуточный этап при решении задачи о падении злектро- 161 1 5.1. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ГЛ.
5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА 1'В/, /д в <вв Рис. 5.5 (5.25) е — 12~2 е-хс*ехр( 1(Х„у+ Х,г)) т Не т /с~ — Аляп ф с167 = — ' = Х„а Миф (5.29) 11 в. в. Никольский Т.И.Никольские магнитной волны на границу раздела сред, постановка которой обсуждалась выше в п. 5.1.2. Однако уже па этом этапе можно сделать ряд содержательных выводов. Полное отражение на границе кепоглои/ающих сред.
Пусть первая среда — оптически более плотная. Из (5.13) или (5.19) (см. также рпс. 5.4б) следует, что угол преломления 6 в данном случае больше угла падения ф; это отражает лучевая схема на рнс. 5.5а. Следовательно, при некотором остром угле ф= фи, который называется предельным углом внутреннего отражения, окажется, что угол 6 — прямой (рнс. 5.5б).
Преломленный луч при этом как бы скользит вдоль границы раздела сред. Полагая в (5.13) илн (5.19) 6 =90', для ф =ф* получаем я1П ф = /12/й1 = 1/п12. (5.22) Прн дальнейшем увелнченяп угла падения (ф > ф*), как следует из второго закона Снеллиуса, я1п 6 > 1. Это значит, что углам ф, лежащим в пределах фе ( ф ( 90', не соответствуют какне-лноо вещественные 6: преломленного луча нет, происходит полное отражение (рпс. 5.5в). Возвращаясь к рпс.
5.4б, видим, что, действительно, в случае большей оптической плотности первой среды (им > 1) областью определения функции 6 (ф) является отрезок оси абсцисс 0(ф(ф*. Интересное и важное явление полного отражения на границе непоглощающих сред потребует в дальнейшем более обстоятельного анализа (см. и. 5.3.1), основанного на изучении электромагнитного поля. Преломление в весьма оптически плотной среде. Продолжая рассматривать среды без поглощения, обратимся к случаю, когда пг > пь Согласно второму закону Снеллпуса и, я1 и 0 = — ' ям ф (< 1. (5.23) "2 Это значит, что при любом угле падения ф преломленный луч близок по направлению к внутренней нормали (рис. 5.6).
51.5. Преломление при поглощении (Б). Пусть волна, распространяясь в среде без поглощения, падает на границу раадела с поглощающей средой (п1 — величина вещественная, а пг — комплексная). Из (5.13) следует, что прн любом угле падения ф неизбежно окажется комплексным /д/ 1 1ч яш0, а следовательно, 0 уже не может рассмат- /'к/ риваться как обычнын пространственныи угол.
Волну во второй среде характеризует функция, записанная в третьей строке (5.15). Так как соят+ = О, й соя 1+2 = й,соя 7~ ~= й,яьп ф (см. второй закон Снеллиуса — и. 5.1.3) и 72+ = О, то вч е — 12+' = ехр( — 1((й,я1п ф) у+ (й,соя 0)г)). (5.24) В квадратных скобках первый член — веществен- ный, а второй — комплексный. Действительно, вещественными яв- ляются й1=п1со/с н яшф и, далее, (й, соя О)' = й, '(1 — я)п'О) = й, '— (й, яш ср)', где йг = пге1/с — комплексная величина.
Обозначим й1яш1р =Хи, йгсояО=Х,, причем Х У й2 (й я1пф)2 = Х 1Х„ (5.26) где Х, и Х, вещественны. Таким образом, выражение (5.24) принимает вид (5.27) Записывая вытекающие отсюда условия постоянства амплитуды и фазы процесса, видим, что это уравнения двух несовпадающих плоскостей г = сопя1, Хгу + Х,г = сопя1. (5.28) Рассматривая эквифазную плоскость как фронт волны (см.
п. 4.0.3), мы должны констатировать, что волна неоднородна: ее амплитуда не остается постоянной в плоскости фронта, а экспоненциально изменяется по нормали к границе сред; из физических соображений ясно, что по мере углубления в поглощающую среду поле должно убывать: Х, > О. Очевидно Х„и Х, в (5.28) пропорциональны функциям яш и соя 7, где 7 — угол между нормалью к фронту волны и осью г. Это пояснено на рис. 5.7а. На основании (5.28) с учетом (5.25), (5.26) ГЛ. 5. ЭЛЕКТРОДПНАМИКА и ОПТИКА 162 Но у (А/И ) е 1о1 (г (О), Н„=- — уо(в/И'1)е15 * (2~0), (5.31) (5.32) Ео„= хоАе Е,, = хоВе1 1', Е~~ = х,Се ОП5 С Рис. 5.7 Рис. 5.8 а поскольку вещественную величину /21Е1пф можно заменить при помощи закона Свеллиуса на й251пб, получаем: сгд 7 = Ве с160.
(5.30) Пусть потери малы. Взяв !пг! «п1 (вторая среда является оптически более плотной), можно убедиться, что угол 7 близок к той величине О, которая получается в пренебрежении потерями. Если же !пг~ ( п1, то различие будет заключаться в том, что полное отражение при потерях, строго говоря, уже окажется невозможным: во всех случаях угол 7 будет существовать.
Представляет интерес случай, когда 1пг~ >>пп т. е. оптическая плотность поглощающей среды относительно весьма высока, что может быть как при малых, так и при больших потерях. Из (5.29) видно, что угол 7 в этом случае становится очень малым (с267 » 1): преломленный луч уходит в глубь поглощающей среды практически по нормали (рис. 5.7б), т. е.
так же, как в аналогичном случае при отсутствии потерь (ср. рис. 5.6). Отметим как важный факт то, что условие ~пг! >> п1 (~/12! «й1) в сильной степени выполняется при падении волны па границу с металлом. Мы вернемся к этому в и. 5.4.1. й 5.2. Поля при паденшг волны на границу раздела сред 5.2А. Случай нормального падения (А). Нам нужно завершить решение задачи о падении плоской однородной электромагнитной волны на плоскость раздела различных сред (и. 5.1.2). Начнем с рассмотрения частного случая, когда падающая волна распространяется вдоль оси г, т. е. по нормали к границе раздела.
Направления распространения отраженной и прошедшей волн коллинеарны 6 5.2. пОля пРн пАдении Волны нА ГРАницу РАзделА сРед 163 (рис. 5.8). Выпишем вырансенпя комплексных амплитуд векторов Е и Н всех трех волн: Н~ = у,(С/Итг) е "л* (г) О). (5.33) Требуется ответить на вопрос, каковы будут комплексные амплитуды отраженной и прошедшеи волн прп заданной падающей волне, которая, разумеется, может нести любой поток энергии, так что коэффициент А является неопределенным. Определим коэффициент Отражения р и коэффициент прохожДения т следующими формулами: р = Е,„ (О)/Е' (О) т =- Е' ' (О)/Е,', (О) (5.34) Это отношения комплексных амплитуд вектора Е для волн на границе раздела сред.
Как видно из (5.31) — (5.33), р = В/А и г = С/А. Чтобы найти р и т, достаточно потребовать выполнения сформулированных в п. 5А.2 граничных условий. Векторы поля всех волн имеют только тангенциальные компоненты на границе раздела сред. Полагая в (5.31) — (5.33) г = 0 и внося эти выражения в (5.12), после простых преобразований получаем систему уравнений: 1+ р= т, 1 — р =(И'1/И'2)т. (5.35) Отсюда Р =(Иг — И1)/(И 2+ И''1), т = 2Итг/(Итг+ Ит1), (5„36) Задача решена: теперь на основании (5.34), (5.36) для всякого заданного А по формулам (5.31) — (5.33) монгно выразить полное электромагнитное поле в обеих средах. 1то 164 ГЛ.
5. ЗЛЕКТРОДИНАЬП!КА П ОПТНКА нли 2Агг< 0 ее гге1г геле' 1-емасе Рис. 5.10 Рис. 5.9 (5.39) (5.40) Остается проанализировать полученный результат. Отметим сначала, что отражение от границы может отсутствовать, при атом волна полностью проходит во вторую среду, Из (5.36) следует, что эта возможность реализуется прп равенстве волновых сопротивлений: И'2 = И1 )22/ез = р1/е1. (5.37) Говорят, что в этом случае среды согласованы. Пусть И'1 и И'2 — вещественные. При этом удобно рассматривать р и т как функции отношения И'2/И'1 (рис. 5.8б).
Полное отражение ([р! = 1) имеет место прп И"2/И'1 = О и И'1/И', = О. На практике отражение велико, когда И"2 « И'1 илп И'1 « И"2. Да- лее складывая падающую и отраженную волны, на основании фор- мул (5.31), (5.32), (5.34) и (5.36) запишем следующие выраже- ния комплексных амплитуд векторов поля в первой среде: = хз'4е ' (1 + ре" '*), Н„, =- уе — е 111'(1 — ре""1*) (5.38) ж =' оГР 6 2.2. пОля пРП пАденни ВОлны нА ГРАницу РАзделА сРед 165 (2 ( 0). Как видно, амплитуды Е„и Н,„векторов Е и Н пропорциональны модулям комплексных чисел, заключенных в круг;гые скобки. Чтобы понять характер функций Е„,(г) и Н (2), рассмотрим диаграммы (рпс.
5.9а, б, слева), представляющие 1 + + р ехр(12й12) п 1 — р ехр(12й12) в виде условных векторных сумм. Неподвижный вертикальный отрезок изооражает единицу, а слагаемое рехр(12й12) и, соответственно,— рехр(12й12) представлены вращающимся отрезком, длина которого равна [р! (ВзатО р < О, что соответствует И'2 < И'1 в (5.36)). Полный оборот вращающегося отрезка происходит при изменении фазы 2й12 = 4лг/А1 на 2л.
Это отвечает смещению по оси 2 на А1/2. Поэтому период пространственного распределения Е„(2) и Н„(2) равен половине длины волны в первой среде. Таково расстояние между соседнимп максимумами либо минимумами данных функций (рис. 5.9а, б, справа). Напряженности поля принимают максимальные значения, которые в 1+ [р! раз выше, и минимальные, которые в 1 — [р! раз ниже, чем в падающей волне, Пример 1.
Рассмотрим отражение волны от проводящего полупространства. Взяв сначала идеальный проводник, согласно (4.48) положим И'1 = = О, так как оз- оо. Нз (5.36) следует, что р = — 1 и т = О, т. е. пропсходит полное отражение. При подстановке р = — 1 в (5.38) получаем величины Е и Й, соответствующие стоячей волне: 2А Е =л ( — 12А)гйпйз, Н =у ~ соей з (ср. и, 4.2.2). Распределение амплитуд поля ноказано на рис. 5.10.
На границе (з = 0) амплитуда магнитного поля удваивается и распределен ток с плот- ностью 11 =[ — з, Н (0))=х 2А/И'.=к 2Й". ГЛ. 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА 166 ее Ркс. 532 Рис. 5Л1 Возьмем иместо идеального проводника реальный. Откожекке И',/И'! = Г Екиг = ю — очекь малая величина: согласно (4.57) ы = (1-,'— !) е ' 2. Папри)гг/ 2(2 о мер, для меди (ог = 58С101 см/и), сели первая среда — еоздух, при = 10' Ги и = (1+ 1) 2,188 10 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
