Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для распространенных металлов формула (5.92) приведена к соотношению Ао [мкм) = А~77 [ГГц) в табл. 5.1. 187 $5Л, ДЕИСТВИЕ ПРОВОДЯЩИХ ГРАНИЦ Гл. 5. электРОдинлмикА и ОптпкА 186 б б/ззл Ежх = И пр (Н~х, чо1, (5.93) Рис. 5.25 Приме р 2. В случае меда пря частоте / = 10 ГГц, как легко найти кз табл. 5А, Л" = 0,66 мкм. На расстоянии 10Л', т. е. в данном случае всего лишь на глубине 6,6 мкм поле уменьшается в ехр(!О) 22026 раэ.
Нто значит, что з смысле экравирующего действия столь тонкая пленка практически равноценна бесконечной толще металла. ° Хотя подобные рассуждения отпосятсн — в строгом смысле — к плосдим границам, они применяются на практике к границам реальных проводящих тел, пока все радиусы кривизны поверхности значительно больше глубины проникновения Ло. Пусть нри выполнении этого условия некоторая проводящая оболочка (рис. 5.24б) ограничивает область У, в которой рассматривается поле Е, Н.
Если оболочна — не слишком топкан (например, нигде не тоньше !ОЛо), то ее поверхность 8 действует подобно границе сплошного проводника: волна, уходящая Вглубь, затухает, «не успевая» дойти до Внешней границы (от которой доли«но произойти отражение).
Значит, влияние проводника здесь определяется лишь его границей и не зависит От занимаемого им Об'ьема. Эти рассуждения наводят на мысль, что влияние проводника во многих случаях можно учесть при помощи некоторого граничного условия. Поскольку тангенциальные компоненты векторов Е и Н па поверхности проводника непрерывно переходит в поперечные компоненты поля уходящей в глубь волны, соотношение между ними дается формулой (4.27). Запишем и где чо — орт внутренней нормали (чо = ко) и согласно (4.48), (4.49) Игп„=(1+ 1) Уюро)А/2О =(1+ ()/ОЛО, (5.94»а) илн Итпп =)7пп+ (Хпп Вп» = Х.п = 1/ОЛ' (5 94б) Мы видим„что сформулировано ичпедансное грвничяое условие (ср.
(5.85) ) н И'„, играет роль поверхностного импеданса, Равенство (5.93) называется приближенным граничным условием Леонтовича. Заметим, что поскольку при О- волновое сопротинленне Игп, исчезает, граничное условие Леонтовича в случае идеального проводника переходит в известное условие Е, =О. П ри м е р 3. Рассмотриы плоский проводящий слой (рис. 5.25а), на обоих сторонах которого яапряжонность электрического воля имеет одно и то же эиаченио: Е (Л) = Е,„( — Л) = Е ,. Поле внутри слоя представляет собой наложение двух однородных волн, направленных внутрь от обоих границ: Е = хп(Ае-15* + Ве'ь'). Внося сюда г = Л и т = — Л, а зетом приравнивая результаты, получаем, что А = В. Отсюда Е„= х,2А соз Ьг и Е, = х,2А соэ йв.
Поэтому окончательно соз /сг . соз Ьг Ет Ежт соз й 1 1т ОРттсоз Ы' (5.95) где использовано материальное уравнение (1.69). Входящео сюда комялексное волновое число й согласно (4.47) в (4.49) есть й = (1 — 1)Уюроро/2 = (1 — 1)/Лп. (5.96) Па рис. 5.25 приведены также результаты конкретных расчетов яа основании (5.95). Взят слой меди (о = 5,8 10' См/и) толщиной 2Л = 12мкм н для частот от 0,05 до 8,1 ГГц вычислено распределение поли (в); для сравнения тут же дан (б) график частопюй зависимости Л', Когда Л л Л', что соответствует применимости граничного условия У!еонтоэича, идущие от обеих границ волны затухазот, практически не взаимодействуя.
При этом яаралхетр Л', действительно, есть глубина, на которой поле уменынается в е раэ. Когда д и Лп — одного порядка, этот смысл утрачивается. Прв Л ~ Л', можно сказать, пропадает поверхностный эффект: распределение близко к равномерному; ояо становится равномерным яри постояявом токе (ю — ь О), поскольку ори этом Л' — ь пп.
В случае ярвмеквмостн граничного условия Леонтоэнча обычно говорят о сильном поверхностном эффекте. ° 5.4.2. Поглощение при сильном поверхностном эффекте. Чтобы найти мощность, поглощаемую проводником, или мощность потерь Рп, надо вычислить входящий в пего из внешней среды поток энергии. Таким образом, Р, = Не ~ П,. йв = — Не ~ Й хЬ 3 В (Р— направление внутренней нормали). Здесь имеется в виду средняя величина (см.
и. 3.3.1). Ограничиваясь случаем сильного поверхностного аффекта, используем граничное условие Леонтовича (5.93). При этом Пм = —. (Ежх~ Нпьх)т = —. (И'ар[Кл чо1 Нжх)т =- —,Нтт 2оЛ« ГЛ. 5 ЭЛВКТРОДИНА5ГПКА И ОПТИКА и, следовательно, ~т| ИРпрЧ в в (5.101) (5.98) (5.102) Ряс. 5.26 2 Ро = —,Ляр ) Чрь'16 (5303) ЬА (5 100) Е.,=бе ", Н =3е ". (5.105) Будем рассматривать ток в проводнике. Поскольку (=ОЕ, плотность тока ), как и поле, быстро убывает в глубь проводника. Напомним, что существует представление об идеальном поверхностном токе, который не занимает объема (см.
и. 1.41). Ток в реальном проводнике в случае сильного поверхностного эффекта удобно относить к линии, которую он пересекает на поверхности, т. е. условно рассматривать как поверхностный. На рис. 5.26а линия 1 ортогональна направлению тока. Ток Л1, проходящий через всю толщу проводника на участке Л(, вычисляется как Л1 = Л( ~ 1 дч' = Л(о ) Е,„дч', о о где Е =Ю,ехр( — ыьч'). Поэтому согласно определениго (1.82) рр Ч = ОЕ„, ) е — 'Ао' ьЬ' = — ь — „Е,, (5. 99) о Привлекан формулы (5.93) и (5.96), получаем Чо| = (Н ы ео) = (то Нгаь) Интересно отметить, что полученный результат формально воспроизводит второе из равенств (1.90), которое относится к случаю идеального поверхностного тока на зкранирующей границе.
В рассматриваемой задаче мы переходим к такому случаю при окогда Ло - 0 и ток, действительно, становится поверхностным, не проникая в идеальный проводник. Это идеалыьый поверхностный г((ьуьект. 5 55 локАльнО плОские ВОлны и гв05|ВтРичВскАН ОптикА 160 Сопоставляя (5.100) и (5.93), Видим, что Таким образом, поверхностпый импедапс И'„, получает новую интерпретацию. Возвращаясь к выральепию мо|цпости потерь (5.98) и учитывая соотношение (5.100), получаем следующую формулу: 1 ( 2 ь и = 2 я|по ) Что(в.
в Если бы ток был равномерно распределен в слое глубиной Ло, мы получили бы точно такой же результат. Дело в том, что Л„, (5.946) есть сопротивление единичного квадрата проводящего листа толщиной Ло (рис. 5.26б). Эти соображения объясняют смысл слов глубина проникновения. П риме р 4. Пусть ток проходят яо проводнику пояерочяого сечения Вх с контуром ЬА (ряс. 5.26о).
В условиях сильного поверхностного эффекта вычисляя мощность потерь, отнесенную к едяяяце дляяы проводника ро = = ь(Р,(ь(2. Согласно (5.102) ва отрезке проводника Лх поглощается мощяость Ъ"А Переходя к Вроделу пря Лх-р О, находим: Если можно говорить о падении напряжения яа единицу длины проэодяяка У', то У = Е, = Š— величина постояяяая. Тогда согласно (5301) постояяоэ я плотность тока Ч . В этом случае яэ (5303) получаем 1 ...
1 р = — Я'12, Я'=Л ( 2= —, ь и 2 р" оР обо( ' где Я' — погонное сопротивление проводника, а 1 — длина контура ЬА ого по- яеречяого сечения (ряс. 5.26в). ° $ 5.5. Локально плоские волны и геометрическая оптика 5.51. Локально плоские волны и понятие эйконала (Л). Если фронт волны, представляющий собой некоторую поверхность ьр(х, у, г)=сопв1 (4.13), в малой области пространства близок к плоскому, волну называют локально плоской (см. и. 4.0.3)'. Будем рассматривать некоторое электромагнитное поле, напряженности которого характеризуются комплексными амплитудами ГЛ.
5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА 190 5 5.5. ПОкАльнО плоскпе Волны н ГеометРическАя ОптикА 191 Если компоненты векторов 6 и 31 изменяются в зависимости от координат значительно медленнее, чем ф, то уравнения Максвелла (3.34) при )' '=- 0 с высокой степенью точности сводятся к следующим: [3(, уф[= о)еое6, [оф,Ц = сороИЗ,.
(5.106) ВЫВОД. Используя тождество (1.27), запишем го1Е.,= е 'го16+[17е ", 6) = е "го16 — се 1о[уф, Ц и аналогично преобразуем го1В, Это приводит уравнения (3.34) при [ =- 0 к следующей форме: го1З + 1[3, уф[ = 1юеое 6, (5Л07) го1 6 — 1 [о ф, 6) = — сю)55)531. Чем медленнее меняются компоненты векторов 6 иЗ в пространстве, тем с большим основанием можно в (5.107) пренебречь членами го1 6 и го1 3.
Это приводит к уравнениям (5.106). е Обсудим полученные уравнения (5.106), заметив сначала, что в случае плоской однородной волны они переходят в точные соотношения (4.27), (4.28). Это понятно, поскольку в этом случае 6 и 31 вообще не зависят от координат, так что го16= О и го13( = О. Как видно из (5.106), векторы 6, 3 и Рф взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов: такую же тройку образуют векторы Е, Н и оф. Это значит, что Е и Н касательны поверхности ф = сопз1.
При вещественном ф напряженности Е и Н 5ос оо/ 7 КГл7 ррв) е е Рис. 5.27 синфазны, а рассматриваемое поле есть пе что иное, как волна с фронтом ф= сопе1. Вектор Пойптинга П=[Е, Щ направлен, как Уф, т. е. по нормали к фронту (рис. 5.27а). Очевидно, что орт нормали мо есть то= П1РДУф!. (5.108) Прежде чем дать окончательную характеристику анализируемого решения, сосредоточим внимание на функции ф, которая называется эйионалолс. Из (5.106) непосредственно получаются урав- пения [[Рф Ц уф[ =- 7556, [Рф [31, 57ф[[ = )соЗ, (5,109) (среда предполагается изотропкой, но может быть неоднородной). Взяв одно из этих равенств н применяя формулу (1.6), приходим к так называемому уравнению эйконала (Рф)'= й', (5.110) которое в декартовых координатах имеет вид ~Р)'+ (2)'+ ~Р)о =' (5.111) Уравнение эйконала есть основное уравнение геометрической оптики.
Вернемся к обсуждению характера электромагнитного поля (5Л05), которое — по нашему требованию — должно с высокой точностью описываться при помощи функций 6, Эь и ф, удовлетворяющих уравнениям (5.106) н полученному из них уравнению эйкопал а (5. 110) . Уже было показано, что это волна с фронтом в виде поверхпости ф = сопе1. Учитывая (5.110), видим, что согласно (5.108) 57 р = то! Р 1Р ! = То)с = )г, (5.112) где использовано представление о волновом векторе й (5.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
