Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 38
Текст из файла (страница 38)
5.29б): п сов 0 = сопв1, (5.130) что можно рассматривать как обобщение второго закона Снеллиусаг для любых днух касательных н лучу, состапляющих углы д~ и Оз, согласно (5.130): п1в(пд~ — — пзв(пдз. 5.5.5. 0 пределах применимости геометрической оптики (Б). Переход от уравнений Максвелла к уравнениям (5.106) и, далее, к уравнениго эйконала (5.110) был проведен в предположении, что «1, )юЗ) «1, (5 Л 31) ) (эгр, 8) ) ' ) (Ф, с'гр) ) руют первые прапаволпые компонент О и З по координатам, то неравенства (5.133) будут занедомо выполнены, если где е и й — любые компоненты О и 36, а 9 — любая прострннствен ная координата.
Заметнм, что (де/дв)). и (дй/дв)). это приращения велкчнн е н й на расстоянии ),. Требуемое слабое изменение поля мыслимо только прн соответственно слабом изменении свойств среды, Таким образом, в случае неоднородных сред представления геометрической оптики применяют, когда отпосптельные пзменепия е н )ь на расстояниях порядка длины волны малы.
Ъ ПРА~Ы!ЕНИЯ 1. В55писать выражения комплексных амплитуд н ыгнавенных значений векторов поля в случае плоской однородной волны, поляризованной в плоскостя з = сопз1, естн волновой вектор составляет угол 30' с плоскостью л = сопз1. 2. Волновая вектор плоской однородной волны составляет одинаковые углы со всеми осями декартовой системы координат. Записать выра'канио зйконала. 3. Найти предельные углы полного отражения дли ряда диэлектрических сред (см. табл. 1.2). граничащих с воздухом (взять парафии, стеатпт. плавленый кварц, тптаиат бария).
4. Продал'кая рассматривать границы раздела тех жа тпэлектрпнов (см. уира'кненпа 3) и воздуха, определить углы Бргостера. 5. Угол падения волны па поверхность моря пзмениетси в пределах 0 . — ае 90'. В каких пределах изменяется угол преламленпиз б. Построить график изменения амплитуды магнитного полн внутри медного листа, на который нормально падает волна с амплитудой электрнч, ского поля 1 В/лг при частоте 2О ГГц. 7, !'аспрострапяясь внутри дцэлектрииа. волна падает на границу с воздухом под у~лом 45' к нормали.
Взяв/ = 19 ГГц, построить график измен5 пия амплитуды поля в направлении нормали в воздухе для случаев сред. указанных в уира'ииении 3. 3. Объяснить, почему фазоваи скорость псодпородиоп волны, распростраииющайся вдоль границы раздела дизлектриьов, одна н та же в обеих средах. 9.
Исследовать отраженную п преломленную волны, ваанпкающие нрн наклонном падении на границу раздела сред волны круговой ноляркзацни. 10. Выписать выражения комплексных амплитуд векторов поля и проверить выполнение граничных условий в случае, когда волна падаат нв границу раздела диэлектриков под углом Брюстера. 11. Выписать эыразкении комплексных амплитуд вокторов поля в оптически менее плотной среде, когда на ее границу волна надает под про;ищьным углом полного отражения( рассмотреть оба вида поляризации. 12. Полное отражение от границы несовершенного диэлектрика невозможно.
Показать это математически и объяснить физическую причину. 13. Плоский палый волвовод образован идеально проводящими плоскостями, паходищимися на расстоянии 3 = 3 см. Найти первые пять кри1нчасквх частот для П- и столько же дли Г-вочн. Внутренняя среда — воздух. 14. Плоский диэлектрический волновод представляет собой расположенный в воздухе слой двэлактрика толщиной и' =- 3 см с диэлектрическая иро- ставленпя в (6.1) получаем )дт ду ! гм д д г дм ду (6.2) ГтУ .О дт (6.4) т '-', Т + 26Т = О, ут = йт — Гт. (6.6) (6.1) й~ Рнс.
93 198 ГЛ. 6. ЭЛЕКТРОМАГНПТН(НЕ ВОЛНЫ В СТРУКТУРАХ Вицссмосп ю с = 13. Найти ьритнч(скис частоты ГЬ и Я-воли, квк в прсдычу(нсг( иримср(ь 15. йчо(кпо лн прнмспять формулу (5.191() длн опргдслспня погонных потерь н м~лиом привод „(измспрпм П,( мм прн ) = 1 М(ц, 1 !гп. (и Ггц) 1И. !!н(шесть вырн(к( ин( эйковзлв для плоской волны, рнсиространяилцл(- ся н произволы~им и,(нр,(ьлсиин;;п(я с()и рич~ смои волны. 12, !!вко~;(~и( и ии~ нрипимнвт лсвьи чисти нсрннспстн (3.131) и (3.132) в счу (лс плоской однородной волны! Ой Выинснп, вьяыя(ышя плотности пов~ рлиостяого токи и повсржюстнсго звря,ю ин и;и пльио иро(ижвщих (ысскостях, оорнзу(ощнх полый волновал.
Глава 6 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СТРУКТУРАХ й 6.0. Используемые математические понятия и символы (А) 6.0.1. Однородное уравнение Гельмгольца. Задачи для продольно-однородных структур. В и. 4.1.2 уже приходилось решать однородное уравпеппе Гельмгольца. Однако анализировался процесс, зависящий только от одной декартовой коордпнаты, так что фанти- чески фигурировало обыкновенное дифференциальное уравнение (4.24). В дальнейшем будут рассматриваться существенно более сложные электромагнитные процессы.
В качестве подготовки к этому мы предварительно обсудим некоторый класс решений однородного скалнрного уравнения Гельмгольца (4.17) Ртй + й'й„,= О. Пусть прострапстпонпая структура, для которой ищется решение й.и является однородной и направлении з, т, е, все ес сечения плоскостямп з = сопзг тождественны. Примеры таких структур ш(казаны па рис. (61: функция и рассматривается впутри п (плп) вне обобщенного цилш(дра (а) пли прк напи- ши пескольинх аналогичных подобластей (6).
Параметр й может принимать разные постоянные значения в подобластях; па пх граппцах йи удовлетворяет некоторым условиям. Например, могут расстштриваться ре(пения уранпеппя (6.1) внутри цилиндрической области (рнс. 6.1а) при граш! шом условии и„, = О. Предположим, что решение и„, можно представить в ниде пропзвсдоппн двух пепзпостпых (((упкци(! Разных аргументов: й„,(х, у, з)=Т(х, у)l(з).
В розультате подстановки этого пред- 9 66. Используемыг млтемлтпческг(е пОнятия и сг(МВОлы (99 Разделим все члены па ТУ и впедем обозпнчеппе (оно будет использоваться и в дальнейшем). Теперь имеем — (1)' Т+ ).лТ) + —,—.,-= О. (6.3) сл Говорят, что в этом равенстве разделены переменные: оба слагаемых — функции разшзх аргументов. Поэтому, в частности, изменяя з, нельзя повлиять на первый член, и он наверняка сохраняет при этом постоянное значение. Но ввиду равенства (6.3) это означает, что остается постоянным п второй член, т. е. он равен некоторой константе. Обозначим ее Г', т. е.
2' )2= Г'. Мы видим, что первый член равен противоположной константе — Г'. Рассуждения приводят, таким образом, от (6.3) к двум независимым уравнениям: Еслп решения 2 и Т найдены, то тем самым найдено и решение первоначального уравнения Гельмгольца (6.1) и = ТИ. Использованный прием называется методом разделения переменпььх. В гл. 7 мы будем его широко приз!спят!и доводи до конца, пр~ решении задач о волповодах.
В данном случае существенно, что удалось выяснить некоторые общие черты интересующих пас решений уравнения Гельмгольца в классе продольно-однородных структур. Действительно, вид решений обыкновенного дифференциального уравнения (6.4) хоро(по известен. Как н в и. 4.1.2, предпочтем зкспопепциальпую форму 7 = Л ехр( — !Гз)+ гт ехр(!Гз), где А и Π— неопределенные константы. Поэтому Л Т ( х у ) е и ! ( л Т ( х у ) (6.6)' Напомним, что по форме два члена решения — пе что иное, как комплексные амплитуды волн. Зто вообще неоднородные волны, поскольку их амплитуды зависят от попсрсчпыт координат х, у.
Если à — вещественппв величина, то она играет таку!о же роль, ЕО1 Г = Г' — >Г", Г' = ат»гь = 2п»А (6.7) (угаси Т12>М 2 (' 1тР.2 зх (т . 10) Ч', Т + у'Т = О, Т = 0 на Ь,. (6.8) хост ГЛ. 6. ЭЛЕКТРОМАГННТНЫЕ ВОЛНЫ В СТРУКТУРАХ как й в (4.3). Прп комплексном Г имеем (ср.
(4.11) ), где А — длина волны, Є— ее фазовая скорость, а à — коэффпцпевт затухания (предполагается, что Г > О, Г" )0). Велпчппа Г называется продела>сьт.тт зо.лнозылт числозт, а такнсе постол>спой рстснростр>шепия. Введенный в (6.5) параметр у называтот попе»еч>сы>я вс>л>созым числозк Постоянная распространения Г может оказаться и чисто мнимой вело шпой. Такой случай пам известен нз и. 5.3.2. Вообще в п.
5.3 прп аналпзе неоднородных волн уже встречались некоторые понятия, введенные теперь с более общих позиций. 6.0.2. Краевые (граничные) задачи для двумерного уравнения Гельмгольца, Собственные функции и собственные значения. Можно сказать, что трехмерную задачу о распространении волн в продольно-однородноп структуре мы свели к рассмотренито двумерного уравпеппя Гельмгольца (6.5). При этом неизвестна не только функция Т(х, у), но и параметр уг. Само по себе уравнение (6.5) не имеет определенных решений. Необходимо поставить краевую (граиич>п>ю) задачу (ср.
п. 2.0.4). Пусть, например, сс„— контур поперечного сечения цилиндра на рис. 6.1а. Первой краевой задачей для двумерного уравнения Гельмгольца назовем следующуто: Пусть это задача внутренняя (т. е, решение Т ищется внутри цилтшдра). Тогда опа имеет бесконечное множество решений (Т„), каждое пз которых реалиауется при определенном значении параметра уг. Рот>те>сия Т„называются собственными функциями, а соответстзуапцие пм значения у, параметра т — собственными зна- 2 2 чепияли. Нуттерацпя пронзводится в порядке неубывапия собствен- „2 ных:>качении: у, ( у (... Если разным собственным функциям соответствуют одинаковые собственные аначевия, то последние называются вырожденными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
