Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Варианты (в), (г) и (д) соответствуют условию: Р' = 0; это нейтральный оаланс энергии. Поток энергии в данном случае ыожет проходить насквозь (в), так что число входящих линий векторы Пойнтинга равно числу выходящих; он также может не входить в область И (г) пли вообще отсутствовать (д).
Наконец, возможен пассивный баланс, когда поглощеппе преобладает над излучением (е, ат). При чистом поглощении (е) и постоянстве внутреннего запаса энергии Р' = — Р. Если же Р = О, то Рз = = — о!И'/с)1. Поскольку Р' ( О, то с(И'/Ж> 0: поглощение внешнего излучения приводит к росту запаса энергии. Пример 8. Рассмотрим поток аиергии, проходящий через поверхность бесконечного цилиндрического провода с постояпиым током 1. В силу аксиальиой симметрии системы для определения магнитного поля вплоть до поверхности провода (г = В) можно пользоваться формулой (1.58): Н = ае11(2яВ). Электрическое поле найдем из плотности тока ! прп помощи (1.69)с К = )/о = 2,1ДпВ'о).
Поатому ка поверхности провода (рис. !.24) П = [Е, Н) = — гс)т/(2лсВсо). (1.108) Ны видим, что вектор Пойктикга направлен внутрь провода. Значит, иа внешнего пространства в провод входит поток акергии Рх (1.106). Вычислим Р* иа участке провода давкой !. Это дает где Я = 1/(лВ'о) есть алектрическое сопротивление данного участка (см. п. 1.3.3).
Входящий поток энергии равен мощности, поглогцаемой согласно закону Джоуля — Леггца. ° 1.5.3. Энергия электромагнитного поли (А). Исходя из равенства (1.104), можно путем интегрирования определить энергию поля. При некоторых оговорках, которые будут сделаны в п. 1,5.5, справедливы следусощие операции: 2) д1) дЕ д /зееЕ ) $ !.5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ДВИсКЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПОЛЯ Это значит, что операцию дифференцирования по времени можно в (1Л04) вынести за знак интеграла.
В результате запас энергии в области )г выражается следующим образом: И' = — ) (е еЕ2 + )се)сН2) г)п — ) (ЕР + НВ) с(п. (1Л10) 1 Г 2 1 Г Как видно, энергия слагается из двух частей, одна из которых связана с электрическим полем, а другая — с магнитным. Поэтому пюпут И'= И" + Иг", различая магнитную энергию Подынтегральное выражение в (1Л10) есть не что иное, как плотность энергии электромагнитного поля; ш = )сш — = — (еезЕ + ре)сН2) = — (ЕР + НВ). (1.113) АИ' Слагаемые имеют смысл плотностей электрической и магнитной внергии: ш = ш'+ ш" (ш" и ш' — подынтегральные выражения из (1.111) и (1Л12) соответственно). Пример 9. Допустим, что электрическое поле з объеме между пластивами коиденсатора (рис.
1.25о) однородно (К = сопв(). В этом приблвжевии С(1~ Иге е зЕ де е Е~дд 2,! 2 2 (1.114) У 57 ГЛ. 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ з !л. лОкллизАция и движение энеРгии поля гк и» СУ» (оо ~,СС»ао Ро)гл~ ~ ~ 7 ) гагаа 2'1 (1.115) о в, где 2' = 1п р)гь й 2л СС 1.5.4.
Локальный баланс и движение энергии (А). Если допустить, что поток вектора Пойнтпнга Р* через любую, а не только замкнутую поверхность (как в и. 1.5.2) представляет собой поток энергии через эту поверхность, то П следует истолковать как плотность потока энергии: лрх П = 1(ш по —. АВ О (1Л16) В этой формуле и, — единичный вектор, указывающий направление движения энергии, АО' — ортогонально ориентированная площадка, АР* — количество энергии, проходящей за единицу времени через А8. Рекомендуется сопоставить формулы (1.116) и (1.42). Повторение структуры неслучайно: существует аналогия между энергетическими величиламн, с одной стороны, и зарядами и токами— с другой. Так, в частности, рассматривая движение энергии, мы можем повторить все рассуждения, которые привели к формуле (1.75), и получить следующий ее энергетический аналог: П 1эт. (1Л17) Здесь ч — скорость движения энергии, которая, как видно, всегда может быть найдена, если известно поле и по формулам (1.107), (1.113) найдены П и 1э.
Вернемся к равенству (1ЛОО), переписав его в виде СПУ П + —, + р = О. (1.118) Если р= О, то (1.118) совпадает по структуре с дифференциальной формулировкой закона сохранения заряда (1.44). Полной аналогии нет, потому что в отличие от заряда д энергия электромаг нитного поля не сохраняется: она переходит в другие виды энер гии, порождается ими. Равенство (1.118) есть уравнение баланса энергии в диффервн циальной форме. Оно характеризует локальный баланс энергии. Если в исчезающе малой окрестности некоторой точки баланс ак- Пример 10.
Найдем магнитную энергию внутри торондальной системы (рлс. 1.25 б), совмещенной с бесконечным цилиндрическим проводом, по которому проходит постоянный ток 1. Ввиду акскалькой симметрии всей системы магнктное поле внутри кольца находится ко формуле (1.58). Вычясляя кнтеграл (1.Ш), получаем тизен, то дгв/дС+р(0 и в силу (1Л18) б(УП)0. При пассивном балансе д1э/дС+ р ) 0 н йч П ~ О, а при нейтральном дгэ/дС+ р = 0 и г(!ч П = О.
Вспоминая смысл оператора дивергенции (см. и. 1.0.4), мы видим, что при активном балансе рассматриваемая точка является источником линий вектора Пойнтинга, при пассивном балансе — стоком, а при нейтральном — лежит на некоторой линии вектора Пойнтинга. 1.5.5. Заключительные замечания (Б). Начнем с анализа сделанных нами допущений. В и. 1.5.2 мы предположили, что все процессы преобразования энергии характеризуются величиной Р, определяемой формулой (1.93).
Это, в частности, означает, что если нет тонов проводимости (1= 0), то не может быть ни потерь энергии, ни действия сторонних сил. На самом деле потери энергии свойственны также процессам поляризации и намагничивания (хотя часто этими потерями можно пренебрегать). Если отказаться от сделанного допущения, то для изолированной системы иг (1.101) и (1.102) уже нельзя получить (1.104).
С этим тесно связан следующий вопрос. Почему не всегда верны действия, выполненные в начале и. 1.5.3? Дело в том, что в этих действиях были вынесены за знак оператора д/дС проницаемости г и )г, а это допустимо только в случае безынерционной среды. В дальнейшем — при изучении гармонических колебаний (з 3.2, 3.3) — мы сможем учесть инерционность процессов поляризации и намагничивания.
Соответствующие потери энергии будут рассматриваться. Следующее замечание затрагивает интерпретацию величин П и !э (см. пп. 1.5.2 — 1.5.4). Рассмотренная трактовка вектора Пойнтинга П как плотности потока энергии (1Л07) и величины гэ (1Л13) — как плотности энергии отвечает современным физическим воззрениям (базируется на совокупности известных фактов).
Но вытекает ли она с необходимостью из уравнений электродинамики) На этот вопрос приходится ответить отрицательно. Построим, например, вектор П + Г, где à — любая соленоидальная функция (г((ч Г = 0). Поскольку величина П+ Г может быть подставлена вместо П в (1.101), (1Л05) и будет удовлетворять этим уравнениям, на вопрос о том, какова в действительности плотность потока энергии, нет ответа.
Аналогично можно говорить о подстановке в (1Л18) и!+ сонг( вместо гэ. Заметим егце, что действия в п. 1.5.3 были проведены в предположении, что среда изотропна. В случае анизотропии выводы сохраняются, когда тензоры е и )г симметричны: е, = е„, е„, его В заключение отметим, что вся информация об электромагнитном поле получена в результате наблюдения и осмысления превращений его энергии в иные формы (табл. 1.3). Ведь непосредственно мы оне замечаем» полей, если не говорить о световых и тепловых воздействиях, информативность которых незначительна. Начало было ГЛ.
1. ИСХОДНЫН ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ положено наблюдением электромеханических превращений, что в конечном счете привело к представлению о векторных функциях Таблица 13 Энергетические величины н теории электромагнетизма Обовнвченке Еднннов нвнеуенвя в СП Название величины Энергия электромагнитного поля Электрическая энергия Магнитная анергия Мощность Мощность поглощения (мощиость потерь) Мощность сторонник сил (мощность источника) Плотность энергии электро- магнитного поля Плотность электрической энергии Плотность магнитной энер- гии Плотность мощности Плотность мощности сторон- них сил Плотность мощности погло- щения Поток энергии Плотность потока энергии Джоуль [Дж) Иге Игм р ро Джоуль Джоуль Ватт Ватт Ватт Ватт [Дж [ [Дж [ [Эт[ [Вт) [Эт[ [Вт[ ДжаУль на кубический метр [Днг/мв) Джоуль на кубический метр Цж/мв) цж/мв [ Джоуль на кубический метр [Эт/мв [ [Эт/мв ) Ватт на кубический метр Ватт на кубический метр Р ст [Вт/вгч [ Ватт яа кубический метр рх П [Эт[ [Вт/мв) Ватт Ватт яа квадратный метр в 1.6.
Система уравнений и задачи электродинамики (А) 1.6.1. Система уравнений Максвелла. Объединяя уравнения Максвелла (1.49) — (1/52) и материальные уравнения, мы получаем полную систему уравнений электродинамики, или систему уравнений Максвелла. Как уже отмечалось в и. 1.3.6, материальные уравнения (1.67) — (1.69) в большинстве случаев достаточны (впрочем, последнее из них лучше писать в более общей форме (1.96), учитывая, когда это требуется, действие сторонних сил). Запишем, Е и В. Выше мы не обсуждали специфические особенности различных превращений энергии, например, элентрохимических, фотон термоэлектрических, и многих других, используемых в технике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
