Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1ЛО схематячесяя представлен конденсатор я цепи переменного тока. Полагая, что вся система находится я пустоте, построям вамквутую поверхность так, чтобы ояа проходила между пластинами копдев- сатора. Применяя раз»яство (1.6Ц, вядяы, что тоя проводимости 1 через Я (проходящяй только яо проводу) замыкается током смещения 1'", лояалвзо- ваяяым вяутря конденсатора. ° Обратимся к рис.
1.11, на котором схематически в виде векторных линий (а) показано типичное структурное соотношение между обобщенным током н магнитным полем. Можно сказать, что некоторый пространственный максимум, «сгусток» тока охватывает семейство замкнутых магпитпых силовых линий. Пусть 1=0, тогда при возрастании Р (дР/д1) 0) этот вектор и магнитное поле связаны правовиптовой систелюй (б), а при убывании Р (дР/дг(0)— левовпптовой (в). Наконец, покажем, что первое уравнение Максвелла согласовано с законом сохранения ааряда.
Действительно, переписывая д (1.60) в виде — в1 (61т Р) + йу1 =- 0 (операции йу и д/дг мы имеем право поменять местами), а затем заменяя йтР через р при помощи (1.51), получаем уже известное равенство (1.44), 1.2.3. Второе уравнение Максвеллж обобщенный закон электромагнитной индукции (А). Обращаясь ко второму уравнению Максвелла в форме (1.50), замечаем, что опо связывает пространственные изменения электрического поля (Е) с изменениями во времени магнитного поля (В).
Если в качестве примера взять случай, когда электрическое поле отсутствует (Е = 0), то равна нулю вся левая часть (1.50), откуда дВ/д1=0, а следовательно, магнитное поле, существующее без электрического, может быть только неизменным во времени, стационарным. Прп этом всякое изменение магнитного поля (дВ/дгФО) обязателы«о вызовет появление поля электрического (го1Е Ф 0 только при Е ть 0). Рассматривал второе уравнение Максвелла в интегральной форме (1.54), отметим, что поверхность д, опирающаяся па контур Ь, 9 1.2.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 33 (1.62) где Э =- ')1 Е с)1, Ф =!)1 В <Ь (1. 63) Рис. 1.13 Рис. 1Л2 гл. ь исходные понятия и угавнення для данного фиксированного Ь может быть произвольной (Я=вп Бь йк -.. Ва рпс. 1.12а). Если для потока вектора В через Я, называемого лсигнитным потоком, установить обозначение Ф, а для циркуляции Е по Ь использовать символ Э, то уравнение (1.54) примет вид Ш1> Э= — —— бс ь з В атой форме второе уравнение Максвелла совпадает с законом электромагнитной индунь(ии Фирадея. Циркуляция Э предстает как электродвижущая сила, наводимая в контуре Ь изменением магнитного потока Ф. Заметим, что Э измеряется в болотах [В), а Ф— в веберах [Вб).
Напомним, что закон Фарадея был установлен для проводящих (например, проволочных) контуров в магнитных полях (рпс. 1.12б). Закон злектромагпетизма, выражаемый вторым уравнением Максвелла в интегральной форме, значительно шире указанного закона Фарадея, поскольку контур Ь в (1.54) — это любой мысленно очерченный в пространстве контур. Не имеет 'значения, какие именно материальные объекты оказались в области построения: это не нарушает справедливости второго уравнения Максвелла.
Столь общая постановка вопроса далеко выходит за пределы опыт.ных фактов, на основе которых был сформулирован закон Фарадея. Второе уравнение Максвелла, однако, сохраняет идейную основу этого закона, и может рассматриваться как обобщенный закон электромагнитлой индрнь(ии. На рис. 1.13 показано типичное структурное соотношение между магнитным потоком (величина В может рассматриваться как плотность магнитного потока Ф) н электрическим полем (а). Пространственный максимум магнитного потока охватывается семейством замкнутых электрических силовых линий.
Если В возрастает '(дВ/д() О), то этот вектор и электрическое поле связаны левовинтема арярост, вер- тся товои системои (б); если же В убывает (дВ/д((0), то сис правовинтовая (в). 1.2.4. Третье уравнение Максвелла: электрическое поле и з ды (А). Смысл третьего уравнения Максвелла (1.51), (1.55) и поскольку он вполне исчерпывается содержанием понятий ди генции и потока вектора (см. 3 1.0), Линии вектора П начинаю с7В бт В, Н боэраотоют В, Н убыбаю т на положительных и кончаются на отрицательных зарядах (знаки й(уП и р совпадают), В случае точечных зарядов поля в их окрестностях характеризуеотся картинами силовых линий типа рис. 1.3а,б. Если в некоторой области р = О, ~о электрическое поле существует, то о его характере дают представление картины силовых линий на рис. 1.3в, г. Третье уравнение Максвелла в интегральной форме (1.55) известно также под названием теоремы Гаусса.
В качестве частного момента отметим, что согласно (1.55) поток вектора Р через некотору1о замкнутую поверхность Я обращается в нуль не только при отсутствии зарядов внутри 8, но и при их ней- /л трализации, когда полный положительный заряд уравновешивается отрицательным. Пример 3. Покажем, каким обрааом можно использовать теорему Гаусса (1.55) для нахождения поля точечного ааряда. Векторные линии Р представляют собой ракиальные прямые, которые следует проводить равномерно (череа одинаковые угловые интервалы), Рис. 1Л4 поскольку все направления. физически равноправны (рис. 1Л4). Опишем вокруг заряда сферу радиуса г и ее поверхность примем за 8 в (1.55). Тогда =Ф Рда=(р Рба=п(~ Ыг= 4лк~Р = д Й й В (Р и Йз — радиальные векторы; Р имеет одно и то же значение во всех точ- 3 В. В.
Никольские, т. И. Никольская е г.з. сВОйстВА вгАТВР11Альных ОРед Гл. е исходные понятия и уРАВнения 34 ках сферы). Таким образом, «т = «14яг', что лучше выравнть в векторной форме: 11 = г — а. (1.64) »4яг * Здесь г, — раднальный орт. Мы получплн формулу, выражающую алектрнче- скую нпдукппю 0 поля точечного заряда как функпню раднальной коорднна- ты г, т. е. расстояннн от него. ° 1.2.5. Четвертое уравнение Максвелла: непрерывность линий вектора В (А). Четвертое уравнение Максвелла (1.52), (1.56) по форме отличается от третьего нулевой правой частью.
Это указы- вает на отсутствие фактора, который можно было бы назвать «маг- нитным зарядом». Если все же формально ввести магнитный за- ряд д" с плотностью р", то согласно (1.52), (1.56) р — О, а — О. (1.65)' В силу четвертого уравнения Максвелла магнитные силовые линии (линии вектора В) обязательно непрерывны, т. е. либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность, Общий характер кар- тин магнитных силовых лшшй мы видим, таким образом, на рис.
1.3в, е. 1.2.6. Заключительные замечания об уравнениях Максвелла (Б). Во введении уже говорилось, что Максвелл воплотил в мате- матической форме физическпе идеи Фарадея, предвосхищавшие представление об электромагнитном поле. Фарадей рассматривал силовые линии, как некоторую физическую реальность. Однако Максвелл не только, употребляя современное Выражение, форма- лизовал взгляды Фарадея, но и внес в них существенно новое.
Именно Максвелл ввел ток смещения. Выше уже было показано, что следствием первого и третьего уравнений Максвелла является завов сохранения заряда. Если па (1.49) удалить плотность тока смещения, то вместо закона сохранения заряда (1.44) мы получи- ли бы равенство г(1У1=0, которое в действительности верно только для постоянного тока. В дальне~пне»г мы неоднократно будем убеж- д аться в особой важности представления о токе смещения. Что же касается самих уравнений Максвелла, то в их окончательное фор- мирование внесли решающий вклад Герц и Хевисайд. Третье и четвертое уравнения Максвелла определенным образом зависят от первых двух, в чем нетрудно убедиться.
С этой целью возьмем дивергенцию от левой и правой частей (1.50). В силу (1,23) левая часть обращается в нуль; меняя местами в правой части операции Йу и д/д1, имеем — ВДУВ=О, ги т. е. г)1УВ = соней Эту константу остается выбрать равной нулю, так как, несомненно, в некоторый момент поле отсутствовало, т. е. было В =0 и 61УВ = О.
Следовательно, четвертое уравнение Макс- велла (1.52) получается из второго (1.50). При помощи аналогичных рассуждений можно прийти к третьему уравнению Максвелла (1.51). Для этого надо применить операцию г)1ч к первому уравнению Максвелла (1.49) и привлечь закон сохранения заряда (1.44).
Однако уравнения Максвелла с дивергенциями (1.51), (1.52) нельзя рассматривать как простые следствия первых двух уравнений (1.49), (1.50). Можно сказать, что они формализуют ту дополнительную информацию, которая используется в процессе вывода этих уравнений. Наконец, о соденоидальностп поля В. Уравнение (1.51), выражающее это свойство, и эквивалентное утверждение об отсутствии магнитных зарядов (1.65) в макроскопической электродпнамике твердо обоснованы. Однако принципиальное отсутствие магнитного заряда в природе подвергается сомнению физиками; время от времени проводятся эксперименты с целью обнаружить объекты микромира, обладающие магнитным зарядом. з 1.3. Свойства материальных сред 1.3.1.
Материальные уравнения (А). В макроскопической электродинамике установлено, что векторы поля Р и В (электрическая и магнитная индукции), а также плотность тока проводимости 4 связаны с напряженностями поля Е и Н соотношениями, зависящимп от свойств среды. Обычно существуют связи В = В(Е), В = В(Н), т = )(Е). (1.66) Простейшая интерпретация этой записи состоит в том, что, например, индукция В(г, г) вполне определяется напряженностью Е(г, т) в той же точке пространства М(г) и в тот же момент времени 1 (аналогпчно рассматривая)тся В и 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
