Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Приравнивая компоненты векторов у и «11, получаем Кс су о!! (1.16) вх ог оо Это, в сущности, спстема двух дифференциальных уравнений, интегрирование которых приводит к уравнепиям векторных лин!п!. На рис. 1.3 показано несколько характерных типов картин силовых ливий, которые могут встретиться прп исследовании векторного поля Г в области Г с граничной поверхностью Я. Область может содержать точку, из которой расходятся (исток) (а) или в которую сходятся (сток) (б) все силовые линии.
Последние могут также проходить область насквозь (в) или совсем не пересекать ее поверхность Я (г). В векторном анализе существует простая операция, позволяющая устанавливать, имеет лп заданное поле источники и стоки, показанные на рис. 1.3а, б. Введем сначала представление о потоке вектора Г через поверхность Я (не обязательно замкнутую). Это интеграл где векторный дифференциал «1в понимается как произведение обычного (скалярного) дифференциала поверхности с(г на орт нормали тэ, т. е.
«(в =иго(в. Поэтому Гйв =Г,о(в (рис. 1.4а). Если поверхность Я вЂ” замкнутая, как на рис. 1.3, то символ интеграла дополняется кружком: ~ Тогда тэ — орт внешней нормали; для незамкнутой поверхности то выбирается произвольно. Поток вектора Г положителен, если силовые линии выходят из поверхности Я наружу, и отрицателен, если они входят внутрь (потому что угол между Г и тэ в первом случае острый, а во втором — тупой).
Вообще поток вектора измеряется числом его ли- 1 !.О. используемые мАтемАтическиу пОнятия и спэ!Волы 17 ний, выходящих пз поверхности, если густота линий соответствует интенсивности поля (см. выше). Действительно (рпс. 1.4б), элементарный поток ЛФ, проходящий через ЛЯ, равен РЛЯА. При этом Р=7«ЛЛ')ЛЯА, где ЛЛ! — число силовых лпнпй, проходящих через ортогональную площадку ЛЯ, а !г — заданный коэффпцнент пропорциональности. В то же время ЛЛ' — это число силовых линий, проходящих через рассматриваемый элемент поверхпостп ЛЯ. Таким образом, оказывается, что ЛФ = 7«Л)!'.
Поэтому и для полного потока Ф через поверхность Я имеем Ф = 7«Л', где Л! — число выходящих через Я силовых линий. Разумеется, выходящпе наружу силовые линии рассматриваются как «положительные», а входящие внутрь — как «отрицательные». Следует также иметь в виду, что реальные картины силовых линий не могут претендовать на точное описание векторных полей, и равенство Ф = ЙоУ в действительности приближенное. Обращаясь в качестве примера к рис. 1.3, видим, что там Ф>0 (а), Ф(0 (б), Ф=О (в) и Ф= = 0 (г). В третьем пз эпы примеров число спловых лпнпй, выходящих пз замкнутой поверхности Я, равно числу входящих внутрь. Дивергенцией (а таки«е расхоокдением, расходи»костью) вектора Г называется величина, определенная следующим предельным соотношением: Дивергенция !)»ТГ есть скалярпая функция координат; по формуле (1 18) определяется ее значение в точке, окрестностью которой является объем ЛГ; Я вЂ” его граничная поверхность.
Обозначая в (1.18) поток вектора Г через поверхность Я как ЛФ, мы можем написать: Если в некоторой точке !)от Г) О, то эта точка является источ° .» - ..»о; -- с,о 'о, 2 В В Пи~ ос»сонг, т и Ни~ охосооо Гл. 1, исхОдные понятия и увлвнення в случае й1ч Г = 0 линии не начинаются и не кончаются в рассматриваемой точке. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим внимательнее картину силовых линий типа изображенных на рис. 1.3а. На рис. 1.5а для такого поля показано несколько последовательных положений замкнутой поверхности О', сжимающейся к точке Р. Поскольку через каждую такую поверхность выходит одно и то же число силовых линий, поток вектора все время о уо *о ГО1 Р = д/дх дауду дадо х о (1.21) Ротор как мы видим, есть некоторая дифференциальная операция над компонентами вектора Г, приводящая к получению новой векторной величины го1Г.
Для всякого потенциального поля Г= игай ор имеем го1 Г= О, т. е. всегда (1.22) го1 ягай зр = 0 Э 1.о. Нспопьзтемые математические понятия и символы 1Е (если смотреть вдоль чо, то положительное направление обхода контура А — по часовой стрелке).
Фигурирующий в (1.20) интеграл называется циркуляцией вектора Г по замкнутому контуру Ь (смысл подынтегрального выражения ясен, если привлечь (1.15) ). Пользуясь формулой (1.20), нетрудно найти проекции вектора гос Г в декартовой системе координат (т. е. го$,Г, гос,Г и го1,Г). Тогда Рве. 1.5 дг"х дРо й)чГ= — "+ — "+ дх дд дх (1.19) Дивергенция есть некоторая дифференциальная операция над компонентами вектора, приводящая к получению скалярной величины, Ротацией (а также ротором, вихрем) вектора Г называется векторная величина, обозначаемая символом го1 Г. По определению проекция гос Г на некоторое направление ч (в некоторой точке, окрестностью которой является площадка йо) есть го$ Р = 11ш — ()) Гй1.
(1. 20) ов-о ~ ° ь Здесь ч — направление нормали к площадке ОО' (орт чо), а Ь— граничный контур ЬО", согласованный с ч правовинтовой системой постоянен и положителен; положительна и дивергенция, вычисляемая по формуле (1.18) (является ли эта величина ограничепной в данном примере, для нас сейчас не имеет значения). Пусть теперь поверхность 8, уменьшаясь, сжимается к другой точке М (рис.
1.5о). Видно, что с некоторого момента число силовых линий, выходящих из 8, станет равным числу входящих линий, т. е. поток вектора обратится в нуль„Поэтому величина й1чГ, вычисляемая по формуле (1.18), для всех точек за исключением Р окажется равной нулю. На основании формулы (1.18) можно убедиться, что в декартовых координатах (это легко проверить при помощи формул (1.14) и (1.21)). Поэтому потенциальные поля называют также бегвихревыми.
П оля, для которых й1чГ=О, называют соленоидальнььчи. При помощи формул (1.19) и (1.21) легко убедиться, что всегда й1 го1Г-О, (1.23) т е соленои1альны поля Г=го».з1 сли в некоторои области поле не является соленоидальны , причем в каждой точке йзч Г Ф О, то все точки области — это источники или стоки; силовые линии такого поля приходится строить, начиная (заканчивая) 'их во внутренних точках. Если же линий не обрывать, то невозможно согласовать их густоту с интенсивностью поля.
Потенциальные поля Г (для которых го1 Г = 0) могут быть одновременно и соленоидальными (й1ч Г = 0), тогда ояи называются гармоническими. П риведем еще несколько тождеств векторного анализа, которые используются в математическом аппарате теории электромагнитного поля. Следующие четыре тождества имеют смысл правил дифференцирования произведения функций: Огай <р$ = 1р ягай зр+ зр огай 1р, (1.24) йгч 1)1Г = з)1 й1ч Г + Г огай о)1, (1.25) й1ч[Г, У)= Угос Р— Г гост, (1.26) го$ зрГ = з(1 го1 Г + (ягай о)1, Г).
(1.27) Мы будем также неоднократно пользоваться формулой ягай )($) 1'($) ягай э (1.28) 2» (1.29) ) гоС Г|Ь = 1)г (ба, Г). У 'в (1.37) (1.31) Рвс. 1.6 ) 61»Рди= 1)г;Рдв. в (1.33) Теорема Стокса: ~гоС Гда= 1Р61. (1.34) Теорема Грина (1.38) (1.35) (1.36) ) 6 (х — х') с(х = ! 0' ь (1, х ЕНЬ. (1.39) гл. 1. исходньш понятия и углвнения (дифференцирование сложной функции) и формулой гоС гоС Г = рта|С 1(1» à — 7»Г (ротор от ротора). Поясним употребление символа», уже использовавшегося выше в (1 14) и вновь появившегося в (1.29), Так называемый оператор Гамильтона» (набла) определяется как д д д +У +*» О ах Оду дх Величина»ф есть угад»р согласно (1.14).
Действие» па вектор приводит к дивергенцни, если «умножать»» и Г по правилу составления скалярного произведения (1.3): »Г — = й1» Г. Голи же воспользоваться правилом составления векторного произведения, то получаем» Х Г вЂ” = гоСГ. Это сразу видно пз сопоставления (1.4) и (1.21) . Пользуясь формулами (1.14) и (119), легко составить величину 61» угад гр, которая истолковывается как гу: . »г д»т д11 дгр |Н» дгай Р = »гг Р = —, + —, + —,. В декартовых координатах ч'Р = хо»'Г«+ уз»'Р„+ во»'Р..
(1.32) Символом»г, наравне с которым используется также символ А, обозначается оператор Лапласа, 1.0.5. Интегральные формулы векторного анализа (А). Приведем без вывода наиболее важные для теории электромагнитного поля интегральные соотношения векторного анализа. Теорема Остроерадскоео — Гаусса: (»Уртрр+ трЧ'рд = фф —, Ь .», де У в (первая формула), 11»'» — »»»~ ».
— »г (» — » — ' ». д|р дгр '1 (вторая формула). д 1.«. испОльзУемые мАтемАтические пОБЯтиЯ и символы х1 Аналог теоремы Остроградского — Гаусса для ротора: Все выписанные соотношения имеют характер формул интегрирования по частям. При этом объемный или поверхностный интеграл (по Г или О') сводится к интегралу по замкнутой границе исходной области в виде поверхности О' или, соответственно, контура Ь.
1.0.6. Дельта-функция Дирака (Б). В теории электромагнитного поля оказывается полезным особый математический объект, происхождение которого можно связывать с обобщением представления об импульсе. Задавая площадь прямоугольного импульса равной единице (рис. 1.6а) и устремлян его ширину к нулю, получаем «функцию», значение которой неограниченно в этой точке х' (рис. 1.6б), а во всех остальных точках равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
