Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Широко используется отображение электромагнитных полей при помощи картин векторных линяй. Липин векторов Е н В называются соответственно электрическими н магнитнь лш силовыми линиями. 1.1.3. Идеалы«ый точечный заряд (В). Еще о пробных элементах. Наряду с трактовкой точечного заряда как малого физического тела существует и другая. Объектом теории может быть также идеальный точечный заряд, «заряженная точка». Плотность р (1.41) такого заряда, разумеется, бесконечна в точке его локализации М(г'), а во всех остальных точках пространства равна нулю.
Нетрудно догадаться, что величину р идеального точечного заряда моя«но выразить при помощи дельта-функции Дирака 6(г — г ). Точнее говоря, при наличии точечного заряда, локализованного в М(г'), распределение заряда в пространстве описывается плотностью (1.4?) р=аб(г — г ). Действительно, согласно (1.40), интеграл от р (1.47) по любому объему, содержащему заряд, будет равен д. Отметим, далее, что роль пробного тела при нсследовапнп поля может играть не только точечный заряд.
В частности, вместо дви>куп1егося заряда для индикации магнптного поля может использоваться /ф> неподвижный контур (замкнутый ниl/ у ток) тока. На плоский замкнутый кон тур Ь с током ? в магнитном поле дейка ствует момент силы К, определяемый следующим образом: К = ?8]чо, В]. (1.48) Здесь О' — площадь, ограниченная контуром Л, чв — орт нормали к плоскости Рес. 1.7 контура, согласованный правовинтовой системой с направлением тока (рпс.
1.7). Происхождение момента К объясняется действием лоренцезой силы на перемещающиеся в контуре заряды. Вывод формулы (1.48) легко произвести в варианте прямоугольного коптура (см. упражнение 1). $1.2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В 1.2. Уравнения Максвелла 1.2гС Уравнения Максвелла в дифференциальной н интегральной формах (А).
В компактной форме операций векторного анализа запишем уравнения, которые заключают в себе основания теории электромагнетизма и являются постулатами теории: дп го1Н= — +], д1 (1.49) дВ го1 Е =- — —, дг ' (1.50) (1.51) (1.52) 61УР= р, ОИУ в = 0. С формальной точки зрения, это дифференциальные уравнения в частных производных относительно компонент векторов поля Е, Н, П, В, а также ] и р. Каждое из первых двух уравнений является, в сущности, сокращенной записью трех скалярных уравнений: они получаются при проецировании левых и правых векторных частей (1.49), (1.50) на оси выбранной системы координат.
Формулы (1.49) — (1.52) выражают уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Если рассматриваются электромагнитные процессы в пустоте, то из (1.49) — (1.52) при помощи соотношений (1.46) можно исключить индукции П, В нли напряженности Е, Н. Любые электромагнитные поля в пустоте описываются решениямп такой системы уравнений. Прн рассмотрении полей в различных средах уравнения Максвелла (1.49) — (1.52) дополняются некоторыми более сложными, чем (1.46), соотношениями между напряженностями и индукциямп; о них будет говориться в з 1.3. Значение уравнений Максвелла как оснований теории электромаг>>етпзма исключительно велико.
К сожалению, невозможно в нескольких словах рассказать, как исторически появились эти уравнения в ходе развития физических идей. Становление электродинамики с разных точек зрения обсуждается в литературе [3.1— 4], которая рекомендуется читателю. Для инженера в первую очередь важно, что уравнения Максвелла, в принципе, дают возможность исследовать любые электромагнитные процессы. Надо лишь уметь правильно ставить соответствующие математические задачи и решать их, привлекая ЭВМ. Прп первом знакомстве с уравнениями Максвелла кажется невероятным, чтобы эти несколько строчек содержали в себе все многообразие явлений электромагнетизма.
Чтобы вполне осмыслить огромную физическую содержательность этих уравнений, надо изучить многие электромагнитные процессы. Впрочем, для уяснения основных черт физического содержания уравнений Максвелла будут достаточны простые рассуждения. 29 9 !.э. уРАВнения млксВеллА (1.53) е 6)увдп = ~ рд. (1.54) (1. 55) (1.56) ~Н61 =7 (1.57) го«Н = 1, Р<гс. 1.8 1Н Ь = ) — ! дл + ) 1 <1 . Р вп , Нй)=())Н<П =Н()! <(1 =.2пгН й г. Ъ Рпс. 1.9 Н = и»02пг, (1,<88) ГЛ. !. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ Н УРАВНЕНИЯ С этой целью перейдем от записи (1.49) — (1.52) к уравнениям Максвелла в интегральной форме; (~)Н61= —,", ~В Ь+7, (~) Е <(1 = — — ~ В е)з, (~В Ь=д, (р В дз =- О.
В Ы В О Д. Чтобы нз (1.49), (1.50) получить (1.53), (1.54), рассмотрим некоторую поверхность о (рнс. 1.8а), «натянутуго» на контур Ь. Взяв для определенности ураввеппе (1.49), проинтегрируем его левую н правую части по Я, образовав поток вектора го1Н (1.17) и равный ему поток вектора дВ/д1+1. При этом имеем Достаточно теперь к левой части применить теорему Стокса (1.34), заменил поток го1Н через О' циркуляцией Н по Ь, вынести операцию дифференцирования дгдг за знак первого интеграла справа и учесть, что второй интеграл справа согласно определению (1.42) есть ток 1, проходящий через поверхность О, чтобы получить (1.53).
При этом производится замена символов д(д1- <1(<11, так как интеграл уже ~е является функцией координат. Соверпгопно так же (1.;>4) получается нэ (1,50). Чтобы вывести (1.55) иэ (1.51), левую и правую части (1.51) проинтегрируем по неноторому объему »г, ограниченному поверхностью Я: По смыслу определения (1.41) объемный интеграл от р дает полный заряд <7, содержащийся в »г. Что касается левого объемного интеграла, то он на основании теоремы Остроградского — Гаусса (1.33) преобразуется в поток В через замкнутую поверхность 8 (рис. 1.8б). Уравнение (1.55) получено. Уравнение (1.56) получается тем же путем нэ (1,52).
° 1.2.2. Первое уравнение Максвелла: полный ток и магнитное поле (А). Обсудим первое из уравнений Максвелла, привлекая и дифференциальную форму (1.49), и соответствугощий интегральный аналог (1.53), Поскольку ротор составляется ~з пространственных производных компонент вектора, то, как видно нз (1.49), изменение в пространстве магнитного поля (вектор Н слева) связано с изменением электрического поля во времени (вектор Г) справа). Пусть сначала изменений во времени нет: процесс стациог<арен. Тогда первое уравнение Максвелла принпмает впд и оппсывает связь магнитного поля с постоянным током. Нельзя себе представить ток без магнитного поля, поскольку прп 1 Ф 0 (учь0) обязательно го1НФО (нлп отлнчва от пуля циркуляция Н), а следовательно, НФ О. П р и м е р 1.
Рассмотрпм бесконечный пркмолппеппый постопкпый ток, магппткое поле которого, как пзвестпо кз курса обшей фпзпкк, в каждой поперечной плоскости оппсыаа< топ прп помощп коцц<птрпч<скпх круговых векторных лккпп. На ркс. 1.9 показана одна аз такпх ланей а виде окружпостп радиуса г. Возьмем циркуляцию вектора Н вдоль атой линии; (а сплу спмметрпп системы )( пмеет одно и то же зпачеппе па расстопппк г от оск тока ао всех папраалепкпх). Согласно (1.57) аычпслепкал цпркулкцпк раппа Д отсюда !( = 02лг, что.мы за<пппем а векторной форме: где ໠— орт касательной к окружпостк, указыеаюшпй папраал< кпе гектора Н, Мы получили формулу, аырюкаа<щу<о напра'кеппость магпптпого поля постопапого пптеепдкого тока как фупкп<по прострапспп ппоп коорпп<аты г.
° З 1.2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА (1.59) 1»,Е возрастает 2», Е убюоам т Ряс. 1.11 йт( — +1) =О. (1.60) ГЛ. 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ Продолжим обсуждение первого уравнения Максвелла. Рассмотрим случай, когда ток проводимости отсутствует (Х=О), но процесс уже не стациопарен (происходят изменения во времени). Из (1.53) видно, что циркуляция Н, которая в случае постоянного тока была равна 1, теперь оказывается равной величине которая называется током смещения.
Соответственно этому функция дР/дг рассматривается как плотность тока смещения. Ток смещения — одно из важных понятий теории электромагнетизма. Во-первых, существенно, что по отношению к магнитному полю ток смещения как бы копирует роль обычного тока проводимости. Это видно из первого уравнения Максвелла, в котором ток проводимости и ток смещения (или их плотности) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что физическая сущность тока смещения в вакууме никак не связана с движением зарядов. Будем говорить, что вся правая часть первого уравнения Максвелла в интегральной форме (1.53) представляет собой обобщенный ток 1'"+1, а величина дР/дг+1 в (1.49) — плотность обобщенного тока. В отсутствие магнитного полн (Н=О) равен нулю и обобщенный ток.
Если обобщенный ток существует, то обязательно присутствует магнитное поле. Привлечем для дальнейшего анализа тождество (1.23). Составляя дивергенцию от левой и правой частей уравнения (1.49), по- лучаем Отсюда следует, что вектор плотности обобщенного тока дР/д1+1 не имеет источников (стоков).
Его векторные линии, следовательно, замкнуты пли уходят из бесконечности в бесконечность (ср. рис. 13в, г). Применяя к (1.60) теорему Остроградского— см 1 Гаусса (1.33), т. е. интегрируя по некотот~~ рому объему )т и переходя к его границе о, записываем интегральный аналог этого равенства; Рвс. 1.10 Как видно, обобщенный ток через любую замкнутую поверхность о' равен нулю. П р яме р 2. На ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
