Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Роль математического аппарата (А). В теории электромагнитного поля применяется неноторый традиционный математический аппарат, который, можно сказать, формирует язык предмета. Беэ него было бы невозможно построить ясное и обозримое изложение. Надо также иметь в виду, что только математика способна сделать физическую теорию орудием расчета в технике. В наше время, отмеченное широким распространением ЭВМ, возможности расчетов резко возросли и, соответственно, повысилась роль теории. Едва ли не в первую очередь это относится к теории электромагнитного поля и ее значению для радиоэлектроники. К числу математических средств, которые понадобятся с самого начала курса, относятся представления векторной алгебры и векторного анализа, Зти разделы математики знакомы читателю, поэтому будет дана лишь краткая сводка необходимых средств с комментарием.
Попутно вводится используемая в книге система символов. 1.0.2. Векторы и действия над ними (А). Понятие сектора как величины, характеризуемой — в отличие от скаляри — не только числом, но и направлением в пространстве, соответствует многим явлениям физической реальности. Как известно, в физике в качестве векторов рассматриваются сила, скорость и т. д. Применение векторов позволяет отображать физические закономерности в зкоиомной и универсальной форме, которая при необходимости конкретизируется в разных системах координат.
Составление математических выражений, содержащих векторы, оказывается возможным потому, что подобно системе арифметических действий над числами существует исчисление векторов. Векторы А, В можно представить как А = АзА и В = ВзВ, где Ае, Вз — единичные векторы (называемые так>не ортами), а числа А,  — абсолютные значения векторов А, В. Орты, соответствующие направлениям осей х, у, з декартовой системы координат, будут обозначаться хэ,, уе, зз. Любой вектор А 42 (1А) В = тА, (1.7а) "о уо ро .4х .4у Ах Вх Ву В, (А, В) = А Х В =- У«АВ з1п и = (1.4) хх ху хх ~рх ~ру рх Ш о«хх ху тх о« (1.9) Ах Ау А, Ву д (1.5) А(В,С) = 1= О 4 Оо (1.10) ГЛ, П ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ мон'но представить в виде разложения А = хоА*+ у«А, + еоА*, где А~ А„, А, являются его проекциями на оси декартовой системы координат; они назызаютсн также компонентами (составляющими) вектора А.
Иногда будут использоваться векторные составляющие А„= хоА„и т. д. Сложение векторов сводится к слон«ению их компонент: А+ В = хо (А*+ В )+ уо(А, + В„)+ ео(А. + В*) (1 2) Скалярное произведение векторов А и В определено как (А, В) = АВ = АВ соз и = А„В, + А„В„+ А,В,. (1.3) Здесь и далее знаком тождества объединяются два эквивалентных обозначения; и — угол между направленинми векторов.
Величина (А, В) есть скаляр (число). Как видно, (А, В) мон«ет составлнть нуль и при не равных нулю А и В. Тогда зги векторы называются ортогональными: они направлены под прямым углом. Векторное произведение векторов А и В есть Здесь уо — орт, направленный по нормали к плоскости векторов А и В, причем так, что кратчайшее угловое расстояние между их направлениями, обозначенное и, соответствует движению от А к В по часовой стрелке, если смотреть вдоль уо Раскрывая определитель, находим, например, что (А, В]„= А„В, — А,В„и т.
д. Изменение порядка сомножителей приводит и изменению знака векторного произведения: (В, А) = — (А, В). Для трех векторов А, В, С определено произведение А[В, С1 = [А, В1С = [С, А1В, называемое векторно-скалярным, или смешанным; один из векто- ров составляет скалярное произведение с векторным произведени- ем двух оставшихсн.
Очевидно, что При составлении смешанного произведения должен быть сохранен циклический порядок следования векторов: А, В, С, А, В, ... Нам придется испольаовать и двойное векторное произведение трех векторов А, В, С. Оно раскрывается по формуле [А, [В, СД = В(А, С) — С (А, В), (1.6) О со.
используемые мАтемАтические пОнятия и символы 43 где скалярные произведения, обозначенные посредством круглых скобок входит каи числа. 1.0.3. Линейное преобразование (А). Под умножением вектора А на скаляр (число) т понимается получение такого вектора В, абсолютное значение которого есть В = тА, а орт не меняется. Запишем (1.7) что равносильно трен скалярным равенствам В„= тА„, В„= тА„, В.
= тА,. Если >и — положитольное число, то векторы А и В а р В пап авлепы одинаково, а при тр « , и и отрицательном оп — противоположно (параллельнеа ны. Мы имено и аптипараллельпо); говорят, что А и В коллинеарны. ы имеем здесь дело с частпым видом линейного преобразования набора наборы ны такное можем называть векторами, отождествляя их с векторани-столбцами линейной алгебры. В общем случае под однородным линейным преобразованием рассматриваемых векторов понимают сопоставл пу ение вектоп А такого вектора В, компоненты которого определяются по формулам В,=т А„+т„4„+т А„ В„=т А„+т А„+т„А„ (1.8) В,=т 4 +т,„А„+т„А„ т т,.
— некоторые числа (однородность есть Гдв т т, ..., тхи то ы А и В, свойство, в силу которого В = О, если А = О). Векторы и компоненты которых связаны соотношениями ( . ), у (1.8), же не коллинеарны; следовательно, записанное преобразование определяет не только Изменение абсолютного значения вектора («растяжение» или «сжатие»), но и его поворот. С точки зрения линейной алгебры таблица чисел образует матрицу, а равенства (1.8) определяют операцию умножения матрицы 1т1 на вектор-столбец (А„, А„, А,), приводящую к получению вектора-столбца (В., В„, В.) (запись в строку использована для зкономии места). В частном случае (1.7) отличны от нуля только диагональные компоненты матрицы, р 1т1, и ичем т =т,=т„= т. Введя единичную матрицу Рас, 1.1 (1.12) Ряс. 1.2 ч = хоп + уоо„+ гоп, ГЛ.
1, ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ мы определим матрицу 1»п1 в варианте (1.7 ) . а) как яс/. Вместо символа матрицы 1т1 будем использова венств ( . ) в сокращенной форме: (1.8 уд о зовать и и запишем систему ра- В ° тА. (1.11) 1 0.4. Пол денни и и обо ж я и операции векторного анализа (А). В В р у денни понятия пуля уже отмечалось что Ао . ыше во вено поля определяются за данием в каясдой точке рассматрива мой о ласти пространства некоторой скалярной или векторн й ны: скалярные и векто ные и л . орион величися специальные опе а ии и рные полн.
В векторном анализе производятр ц д фференцирования и интегрирования по отношению к соответств ю вующим функциям пространственных Скалярное поле, характеризуемое функцией зу(х,, г) можно р ощи семеиства поверхностей уровня х, у, г)= „где Сс — копстапты; на рнс. 1Ла показан н пример сечения такого семейства плоскостью черте " .
В Я сд, называемыи градиентом зр, который направлен з сто о максимального возрастания с)с и ра е в равен скорости изменения " в этом направлении. Очевидно, что йгас) зр = чо —, где ч — линия, ортогональная к поверхностям уровня, а ч, есть касательный к ней орт. Смысл форм лы (1Л2) сматривая часток в улы ( . ) легко понять, расивая участок двух близких поверхностей уровня (рис. 1Лб).
!о ягас) ср )очодср/дч соз адср/д»; эта величина становится максимальной, ногда )о совпадает с во (сова 1). Обозначая рассмат иваемую проекцию ягас), ср, имеем также ига с)1 ср дсг (1ЛЗ) 1 1.0. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И СИМВОЛЫ 1» Определяя по атой формуле проекции градиента зр в декартовой системе координат (ягас). «р, ягаб„ср и ягас),з)с), получаем атаб з)с — = суср = х,— + у, д + ио д .
дс» дс» дй (1.14) Здесь употреблено также другое обозначение градиента, испольаующее символ Ч («набла») (см. (1.30)). Мы видим, что скалярное поле зр порождает векторное поле г" = угас) з)с. Такое векторное поле называется потенциальным, а скалярная функция ср — потенциалом. Поверхности уровня, на которых ср =сопз$, являются, как говорят, внвипотенциальными поверхностями. Для наглядного отображения векторных полей обычно строят картины так называемых векторных, или силовых, линий. Это линни, касательные к которым з каждой точке указывают направление вектора. Густота силовых линий может соответствовать интенсивности поля.
При этом количество векторных линий, проходящих через ортогональную площадку (если она мала, то может считаться плоской), должно быть пропорционально абсолютному значению вектора, практически постоянному в пределах площадки. Введем понятие векторного дифференциала длины вдоль некоторой липни й Это вектор, направленный по касательной и по абсолютному значению равный скалярному дифференциалу д( (рис. 1.2а); он может быть представлен в декартовых координатах (рис.
1.2б): с)! = тос)1 ходх+ уос(у+ еос)г. (1Л5) Пусть задано векторное поле ч(х, у, г), которое надо описать посредством векторных линий. Выразим ч в декартовых коор- динатах 16 Рис. 1.4 Рис. 1.3 Ф=) Г!1в, (1 17) а»УУГ=- Пш — !)ЭГ з. 1 =АУ „А 'У У 'У (1.18) !) ! У Г = ! пп Л Ф! ЛГ = с(Ф7 Л'. ГЛ. !. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ и потребуем, чтобы выполнялось условие пропорциональности «(1= йт (7« — любая константа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
