Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 43
Текст из файла (страница 43)
79)ю н ГЛ. Е. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СТРУКТУРАХ (так как У = О), т. е. Г' = т ', П ), ' = Г". Поскольку Г Ф О прп люсях частотах, то н при / ( /»р существует передача энергии (действительно, Р Ф О (6.62), пото! » ° нл ю РУ = И' = ююнюр(à — не чисто мнимая величина). Но в этой области частот велико затухание. Па . Г Яб гной зависимости относительной фаэовой скорости а. 'и, г е е, = ~ие. а рпс. ) б построена кри=юю(Г' п и=ею/К;и и ото — р утствии потерь (штриховал липин) ке)к -» со прсю Рис. 6.8 /- /»е. Заметим, что взятал в этом примере поглощающая среда при /) /,Р пролвллет себя как несовершенный диэлектрик (тхо ~ (), но, если / ~ /», то она становится проводником. ° ир В большинстве случаев при нахождении Г" =Га область /ню ик /„в обходитси и выполнЯетсЯ неРавенство !У )г » (сг ь8 юа.
ПРп этом из (6.75) путем разложения в ряд по малому параметру легко получить следующие приближенные выражения: ,! аг /»Р Г= (6.78у )у-( Мл ((~! /~/КР' й ы видим, что прп ) ) /„в ноэффициент затухания оказывается та- М кпм же, как и при вычислении по формуле (6.74). 6А.З. О скорости движения энергии (Б). Еще в п. 1.5.4 было получено выражение, позволяющее находить скорость движения Н- энергии в электромагнитном поле. Рассткатртгвая быстрые Е- е - и -полны в некоторой продольно-однородной структуре без потерь, установим в этом случае связь скорости двнткепия энергии и групповой скорости.
Отправляясь от формулы (1.117), вместо у, =П/ит введем величину 6 ал, передАча и потВРЛ энергип В структуРАх 22( По смыслу этой записи величину п, надо рассматривать нак скорость движения энергии п„усредненную во времени и во поперечному сечеппю структуры 8„. Можпо сказать, что у, — скорость переноса энергии структурои в целом. Взяв для определенности некоторую Е-волну и раскрывая подынтегральпые выражения в (6.79) при помощи формул (6.25)» получаем: ю р ююаееег Нх н. ~а (а ше е ую н „ Г' вое а +1 Г ' Г' ()пд(гб, при /) /в.
Как было показано выше в п. 6.2.1, интегральное соотношение (6.10) справедливо при Т=»о,. Учитывая это, в круглых скобках последнего выражения имеем уг/Ге+1=)сг/Гг. Дальнейшие преобрааования дают: Р, = УГ/Й = и)'1 — (/„а//) г = и„„, (6.80) где учтено выражение групповой скорости (6.24). Итак, введенная выше скорость переноса энергии к, совпадает с групповой скоростью. Вывод оказывается справедливым и в случае Н-волн.
Все выкладки нетрудно повторить, детализируя подыптегральные выражения в (6,79) при помощи формул (6.28). 6.4Л. Затухание волновых процессов в периодических структурах (Б) . Пусть в некотором поперечном сеченигг ЯА (г) периодической структуры передается мощность Р(г) = —., Ве ) [Е„, Н 1,с(е н„с») (ср.
(6.61)). Вычисляя передаваемую мощность на расстоянии одного периода, воспользуемся теоремой Флоке (6.50): Ту(г + Л) = — Ве ) [Е, Н ~,сЬ вЂ”. Р(г)е — '(т-т*ю. (6,82) Е, <ю+Л> Сравнение результатов (6.81) и (6.82) показывает, что при чисто вещественном ср (когда этот параметр выражает только фазовый ГН В. ЭЛВКГРОМАГНИТНЫВ ВОЛНЪ| В СТРУКТУРАХ 9 7.0. РГШВЕШГ ДВУМВРНОГО УРАВНВНИЯ ГРГЛЬМГОЛЬЦА 223 сдвиг).
передаваемая мощность пе изменяется. Затухание имеет место прп комплексном >Г = 'т' 'Ч> (6.8:> ) (>Г«) 0). В этом случае ехр( — му+!Ерл)= ехр( — 2>с"). Поэтому убы.вание передаваемои мощности па рассматриваемом отрезке периодической структуры есть Т> (г) — Р (г + Л) =-.
(1 — е — 22") Р (2). (6.84) В силу закона сохранешш энергии эта Величина равна потерям ЛР, по том жо отрезке: Р(г) — Р(г+ Л) = ЛР„. Отсюда е — 22" = 1 — ЛРп)Р (г), (6.85) а если потери малы, так что ехр( — 2гр" ) = 1 — 2Ч>", то Ч>" = АР„)2Р (6.86) (значения Р прп г и г+ Л весьма близки). Итак, в Виде формул (6.85), (6.86) мы получили энергетическое оп||саине затухания волнового процосса в периодической структуре; вторая пз этих формул напоминает уже известное Выражение (6.60). Параметр >Г" будем называть затуханием на период, а ЛР,— потерями па период. УПРЛЯ(ПЕНЯЯ 1, Привести формулы (5.65) и (5.67) к влду (0.25), (6.28), сделав лужпос преобразование координат и выделив продольные ко>>попепты (2 „Ж,. Лпвлоглчво пр>вставить полл вост направляемых воли, Расслвтривавпп>х- ся в и.
5.3. 2. Раскрыть формулы (6.25), (6.28) в цилиплрическлх координатах г, а, с (сп. табл. 2.2), а также в обобщенно цплиидричсскпх координатах д>, д>, (д, л д — провзвольпыс ортогопальлыс криволинейные коордвлаты, см. и. 2.0.2). 3. Рассматривал существование воли рвэлкчпьы классов, обьлсплть, ка- кой принципиальной особенностью обладает плоский копыл волвовод ирл со- поставл> ллп со всели остальными полыми волповодами. 4. Зависать выражении волповых сопротивлений длл вс> х классов собст- венных воли плоского полого волиовода.
5. Произвести вывод фюрыулы (0.10) для первой и второй краевых задач. 6. В каком смысле волны, направляемые лзоским диэлектрическим волпо- водом, сл> дует рассматривать как ысдлеппыс и в каком — как быстрые? 7. Проверить формулу (6,24). 8. Проверить тол|дсствсппость двух форы прсдстввл>лил Н в (6.25) и Е„, в (6.28). 9. Графически или лри помощи ВВЫ найти несколько кори< и уравпс- плп (0.46), !О. Сспсстлвлв ребристую структуру (п. 0.3.2) в слой влзлслтрикл па иде- ал«по-проводящей плоскости (и.
5,3.4), показа>тч капли образом и рвую струк- туру ложно охарактеризовать лскотсргй! эффективной лиэлслтрлч> ской про- плпаслсстью. Глава 7 ПЛПРЛВЛЯЮ1ЦПЕ СТРУКТУРЫ ч 7.0. Решение двумерного уравнения Гельмголш(а методом разделения переменных (А) 7.0.1. Задачи в декартовых координатах. В этой главе при рассмотрении копкротпых направляющих структур наы придется находить решения двумерного уравнения Гельмгольца (6.5) и решать краевые задачи (6.8), (6.9) .
Будет использоваться метод разделения переменных, уже обсуждавшийся в п. 6.0.1. В декартовых координатах двумерное уравнение Гельмгольца (6.5) имеет следу|ощпй впд: О (7 1) дз дд Применение метода разделения перемепныт начннаетсл с предлоложення, что неизвестное решение Т можно представнсь в виде произведения фупкцпй разных координат: Т(х, у) = Х(х) У(у). Подстановка этого представления в (7.1) дает: дгХ д'У вЂ”, У+ Х вЂ”. + Х2ХУ = О, дхг дкс а после деления всех членов па ХУ получаем уравнение: 1 дХ 1 дзу дхг у ддг (7.2) где слагаемые слева — функции разкых аргументов. Опп, таким об>- разом, независимы (см. аналогичное обсуждение в п.
6.0.1), а следовательно, каждоо слагаемое равно коистанте; обозначив этп коп- 2 2 стае|ты — )(„ее — 7>>, получаем вместо (7.2) следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения !2Х !2У вЂ”, + Т.'.Х = О, —, + 70',Г.— О, (7.8? которые эквивалентны уравнению (7.2) при )(2+ АУ = Х ° (7.4? 1!. Почсиу формулы (0.02) явля>огсл строгими лишь Ло и ь пор, пола про водник паправл>нощей структуры (папрписр, оболочка волповода) вдсаллзиРустсл (о о2) > !2. Явля> тся лл формула (6.64) всегда достаточно точной! 13. Ооълспвть, почему в рассиотрспвоп примере (рис.
6.80) прп ы-«О оказывастсл г> —.— !Ог. !4. Вывсстл йюрлулу (0.80) в случас П-воли. Гл. 7. ИАПРАВля10щие стРуктуРы В 7.0. Решвпие ДВУмеРнОГО УРАВнений ГвльмГОльЦА 226 Оощпе решения уравнений (7Л), как известно, можно выразить в тригонометрической и экспонепциальпой форме. Запишем: 1совухх+ Вяшухх, 1Ссояу„у+ Вв>пуму, Здесь введен ряд неопределенных констант; неопределепнымп являютея так>не ух н у>.
Поставки первук> краеву>о задачу (6.8) для пряиоугольпой об,тастп, показанной иа рис. 7.1. Граничное условие Т = 0 на Б озУА пачает следующие требования: А Т=О (7.6) при х= О, у = 0; х= а, у = Ь. Взяв тригонометрическое представление ре>пения Т(х, у)=(А соя)(х+Вв>п)( х)Х Рвс. 7А Х(С сов у„у+ В я>о 7(„у), (7.7) согласно (7.6) мы должны иметь, в частности, Т(0, у)=-О. Подста- вив в (7.7) х = О, видим, что это возможно только при А = О.
По- требовав далее выли>лпепия равенства Т(х, 0) = О, точно так же убеждаемся, что С' = О, т. е. Т (х, у) = Х я1В у„х я>п у>у, (7.8) где Х вЂ” неопределенная константа, появившаяся как произведение ВВ. Остается наложить па (7.8) условия Т(а, у) = 0 и Т(х, Ь) = О. Ояп выли>ляян>тся нрп упа =- тя (т = — О, '1, 2, ...) и у>Ь = — пл (п = О, 1, 2, ...), т.
е. у„ = тл/а, ух = пя/Ь, (7.9) где т =- 1, 2, ... п и = 1, 2, ... (нулевые значения т н и исключа- ем, так как ирп этом Т =-- 0). Итак, мы получплп систему решений первой краевой задачи для двумерного уравнения Гельмгольца (6.8) в случае прямоугольш>й ооластп. Зто еобстеепные функции 7, которьп> со(пветствук>т (1) собетееняые значения У' . Согласно (7.8), (7.9) и (7.4) Ттп (х у) = Хтгг в>п (тлх/а) в1В (пяу/Ь)г и) (1) т = — 1, 2, ..., и = 1, 2, )(тп = (тя/а)' + (пя/Ь)'-, (7.10) ( (1) Х „— иеопределгнп>зе константы).
В случае второй краевой задачи (6.9) па решение (7.7) следует наложить условие дТ/ду =- 0 па Б,ы что означает; зт — =0 пря х:=О, х --а, Ог (7.11) О7' — -0 пря у (), у Ь, гу Дифференцируя Т(х, у) (7.7) по х, а затем по у и требуя обращения в нуль соответствующи«производных при х = 0 и у = О, находим, что В = 0 и .0 = О, т. е. Т (х, у) = Х сов у х соя уху, где Х вЂ” неопределенная константа. Налагая теперь условие обращения в пуль тех же производных при х = а и у = Ь соответственно, приходим к прежним выражениям (7.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
