Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(10.15 ! 1;!! с! = а, 6 — размер отверстпя. Мы получплп крптерпй дпфраьцв1~ срраун1о~! с!ж. Пзлученяе пз отверстия в правое полупространство удобно охарактеризовать прп помощн функции г(О а) =- тттП(О, а)/~ П»»ах. которая уже неоднократно пспользовалась нами в гл. 0 в качестве нормнрованноп характеристики пзлученпя. ОпределяяП =БР.П при воск щп выра'ьсппй Е~ (10.10) п Н,„(!0.1!). отмечаем, что П„;„- = = !!(О, ), т. е. излучсппс макспмально з направления осп ", п Р (Оч а) = — ',, ~ — ~ ~ — ~, (10.16) где и =()си/2!) з!и О соз а п г = ()1612) ь(п О зш а. Первый множптель в ( (0.16), зазпсящпй только от О, есть не что ппое, как характерпс!ока каправлсошостн элемента Гюйгеяса (0.60).
Множители впда г (-)= )з!и в!В! (Е = и, и) отображают эффект паложення лскальных волн, создаваемых всехш элементами Гк!йгенса на отверстии Я; овп называются интерферен!!ио!сноьви м!сосссителязси. При а » Л (6 » Л) соответствующий пнтерференционный множитель изменяется в завнснмостп от О гораздо быстрее, чем соз О, н фактпческн определяет характеристику направленности в ооластп малых О. Будем рассматривать излучение пз отверстпя в завпспмостп от О прн а = О, еыш, как говорят, в Е-плоскости, н прп а = 00'— в Н-плоскости. Харагстернстпка г'(О) а) (10.16) в этих случаях прпнпмает вид: „„, Сс =(/си/2)зй! О и Ен =-()с612!)ч!в 11- 1 !0.2.
ОтвеРстпе В экРАне. дпФРАкцня ФРАунгоФеРА 351 На рнс. 10,5 (свеРхУ) покааан гРафик функппп 'с(ь)= )з!ив~»! Как впдно, ври $ = 0 функция имеет главный макспмум, соответствующнй максимуму излучения прп О = О, т. е. в направлении з. ' Е!е! 90' рис. 10.5. (ОВ51) Поскольку в (10.17) прп малых О можно пренебречь влиянием множителя (1+ сов О)12, то об угловой ппсрппе зоны наибольшего нзлучсппя мо!Кно судить ио характеру пятсрферепцноипого множите- !! .. »о с м *, ° - л»»я пп!пипа»лу»!и» кз!! зоны, огрзпн- 552 ГЛ.
10, ДНФРАКЦПЯ В СВОВОДНОЫ ПРОСТРАНСТВŠ— згп Лоо — я, ЬЬ . и ченной ближайшими к главному максимуму нулями, которые получаются при выполнении условий — зап Лоо = л, Ьа . е (10Н8) Ь 10.3. ОтВе1'стие В зкРАне. ДПФ1'АКЦНЯ ФР!онег!Я 555 а для паправлеш1я максимального излучения 0 = О рассматрпвае- Ь'Л'О1Ь 1 Пго ах — и Злйг г мого о11ярстпп имеем. (10.22) Р— Н где Лоо' п ЛОΠ— угловые расстояния от главного максимума до ближайшего направления нулевого излучения в Е- п Н-плоскости соответственно.
Ширина луча есть прп этом 2ЛО, п 2ЛО~О. Ввиду малости этой величины можно аамеппть синусы в (10.18) пх аргументами, поэтому 2ЛОР ж 2)я'а, 2ЛО~ 2АЬд. (10.19) Весьма примечательно, что угловая ширина луча ооратно пропорциональна размеру отверстия. В пределе прп а1г, -, д(й — угловая ширина зоны прямого (О = 0) излучения стремится к нулю: зона становптся нераспгпряющейся, что п ожидается в пределе геометрической оптики.
На рИС. 10.ОИ В трЕХ Варнантат ПОСтрОЕНа днатраМпа НаПраВЛЕН- носп1 отверстия, получаемая по формулам (10.17); прк этом 2ЛОо = = 30', !2 и 4. Таите диаграммы называют игольчатыми. Отметим, что в первом варианте отверстие еще недостаточно велико в сравнении с длиной волны для вполне уверенного применения приближения Кирхгофа, которым мы пользовались. 10.2.3. Идеальная поверхностная антенна (Б).
Существует понятно поверхностной антенпы; имеется в виду, что излучение таьой аптсппы может быть истолковано как действие источников, распределенных на некоторой поверхности. В теории антенн к поверхностнып относят, в частности, зеркальные п рупорпые антенны. В больш1шстве случаев поверхностные антенны аналпвпру1от с позиций принципа Гюйгенса. Рассмотренное нами отверстие, пзлуча1ощее в полупространство в режиме дифракцпн, анализировалось вьппе как объект с равномернылг по амплитуде сппфазпып распределением поверхностных источников. Это так называемая идеальнол новерхностпая антенна.
Вычислим коэффициент направленности действия Р„„, (см. и. 9.2.3) в направлении максимального излучения 6 = О. Для этого ОПРЕДЕЛИМ МОщНОСтЬ ИЗЛУЧЕНИЯ РИ1 (10.2о) 2а'г' ' Плотность среднего потока энергии По при равномерном излучении такой мощности во всех направлениях есть Г ! о Р Л а Ь (10.2 !) 4лг" Зл1г г (па оспосапнп (Ю.10), (10.1!)). Поэтому Пи.. = Н„ /!!о = 4погг ' ((о. 3) где О = ад. Эта формула имеет важное значение в теории аптепк. Опа применяется и для оценки реальных антенн; тогда под 8 понимается некоторая эффективная поверхность антенны.
й 10.3. Отверстие в экране. Дпфракция Френеля (Л) 10.3.1. Изменение условий наблюдения. Рассматривая прсжн1ою задачу дифракцпп плоской однородной волны на прямоугольном отверстии в экране, поставим целью приблизить точку наблюдения. Условие (10.15) прн этом уже Вс будет выполняться; будут учтены квадратичные члены в разложении величины !г — г ~, формирующей показатель экспоненты под интегралом (10.12). Исследуемый Рвс.
10.6 волновой процесс. Еоторьш предстанет теперь в пном виде, называется дифран11ией Ф!гене.оя, Будем использовать интегралы Фрепеля — специальные функции, представляемые как следующие определенные интегралы; И И ГЕ С(и~::.— 1,' =) созгог!О 8(и) = )' = ! э!В!ой. (!024) н о о Эти фунгщии табулпрованы (см., например, !К.
1!) и ниже в п. 10.3.2 будут рассмотрены подробнее. Нусп, .1очнн ноблюдсппя Р(г) лсншт в некоторой плоскости :, — сопз1 (рпс. !0.6а). Ноле дпфрокцоя Е-, П, которое мы получпм 3 В. С ПИ'ОИОООИ11, Т П ПИ~ ОЯ~О~ ~Я 354 ГЛ. 10. ЛПФРАКЦИЯ В СВОВОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ % !0.3. ОТВЕРСТИЕ В ЭКРАНЕ, ДПФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ 355 при невыполнении условия (10.15), выражается через иптегральг Френеля: Е„(х, у, з) =- —, Е„',(х) [С(и) — 18(и)] ~ ' [С(о) — 18(а)] ~,', Н,, (х, у, 2) = — Н",„(з) [С (и) — г8 (и)) / ' [С (о) — 15 (а)] ~ ', где 111,2 2 2 ( -Ь ) и1,2 1~ [У ~ 3 ) (10.
26) (верхний знак соответствует индексу 1, нижний — индексу 2). ВЫВОД. Возвращаясь к выражению Е (10.12), представим расстояние ]г — г [ под интегралом в виде 2 (х — ') с(у — у') 2 ] г — г' ] = [(х — х')' + (у — у')2 + 22) Н' = з + (10.27) (удержаны квадраты координат х' и у' точки ()). Кроме того. ограничиваясь областью относительно малых 6, не будем различать т н 2, примем сов 6 за единицу и учтем, что ()Эсозп — азз(пи=хо (рис.
10.6б). Таким образом, вместо (10.12) получаем: а)й Ый ()>еа (0) а 122 ! [ Г . (х — х')2 — ' (у — у') '> 1 — а)2 — Ь>й (10.28) Записанный двукратный интеграл есть произведение двух одинаковых по форме однократных. Рассмотрим первый пз ппх. При подстановке й(х — х')2)22 = (2 имеем: а)2 Уй)2>(х — а)2) ехр~ — й ' ~ ()х' =- — [>> — ) е аа(!(. (10.20) -а)2 Уй)йх(хгьа,'г) Представляя ехр( — 112) как соз(2 — )гйп 12, используем символы интегралов Френеля (10.24) н обозначения пределов интегрировании (10.26); в результате: а)2 ехр[ — й (, ' ~ ()х' .— — ]>> — „[С (и) — 18 (и)] ]„й. (!О 30) -аи Аналогично Ь)2 ехр~ — й ~, ™ ~()у' —.— — ~т: [С(а) — (у(г)] ],.'. (!() 3!) в 1 ' л 21 — й)2 Подставлнн в (10.28) произведение результатов (10.30) и (!0.3!). а также принимая во внимание, что хаЛ ехр( — йз) = = Еаа(2), ИРпхоДпм к выРажению Е в пеРвой стРоке (10.25).
Оовершекпо так же можно вь)вести выражение Н . ° 10.3.2. Анализ дифракции Френеля. Введем в рассмотрение веЛи П)ПУ >Х = ([)'у) з, (10.32) где (] = а, [> — один пз размеров отверстия. Будем называть (7 диф)>акг(ионным параметром. Порядок (7 существенным образом опредолнет характер наблюдаемого процесса. Напомним, что в случае дифракц)ш Фраупгофера в силу (!0.15) (7 « 1; прн атом а » )и й » ).. Исследуя дифракцню Френеля, рассмотрим сначала поле Е, Н- в некоторой точке наблюдения Р(0, О, 2), лежащей против средней точки отверстия С)(0, О, 0).
Пусть тх»1. Тогда, как видно из (!0.26), иосьма велики по аГ>солютпому значению и.л(0) = ~ —,=, п,л(0) = ~ —,' =, (10.33) 2 [>>)„-' Обратимся н графину интегралов Френеля на рпс. 10.7. Прн больших значениях аргумента они Г>лизки к 1/2; учтем также, что зто 5. С О !О 20 ЗО 40 50 50 70 Рис. 10.7. (ЭВМ) почем>ыо функции. Полагая С(ий) = — С(и)) = О(ай) =- — О(и>) = = — !)2, имеем: [С(и) — 18 (и)] $„' [С(а) — 18(и)] $;- = 4 ~ — — „+ — „.
) =- — 12. ! П этом приолижепии Е,„(О, О, и) =- Е'„'„(2), П,„(0, О, 2) - И" (2), (10.34) 356 ГЛ. 10. ДИФРАКЦИЯ В СВОБОДНОЫ ПРОСТРАНСТВЕ 0 10.3. ОтВГРстив В зкРАНВ. ДиФРАкпия ФРВнвлн 357 т. е. поле дифракции Е, Н в средней точке набл1одеппя не отличается от поля падающем во:шы Е', Нн. Последняя как бы пе испытывает влияния экрана. Прп этом П (О, О, з) = в0.1')2)г'.
Сохраняя условие 11 Л 1, исследуем изменение поля дифраьцпп в плоскости з =- соней Точнее говоря, будем рассматривать функцию Г (10 3') Ф~й ЛЪ П3 Согласно (!0.25) Г(х, у)= 1)1Ф(х)Ф(у), (10.361 где Ф(х) = )С(ин) — 18(пт) — !С(и1) — 18(и1))), Ф(у) = )С(пн) — Й(ин) — (С(п1) — 18(о1Я. (10.37) Чтобы найти Ф(х) или Ф(у), надо вычислить модуль разности двух значений комплексной функции С(и) — 1О(и). Наглядность этим действинм придает диаграмма, па которой нужные комплексные числа представляютсн в виде радиус-векторов. Ото так называемая спираль Корню (рис. 10.8): по осявг декартовой системы координат отложены С(и) и — О'(и), а кривая соедшгяет точки, отвеча1ощие равным аргументам и этих функций; значения и нанесены па самой кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
