Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 75

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 75)

Например, понятие импеданса употребляется уже без всякой связи с исходным представлением о цепи. Однако с развитием радиоэлектроники появляется все больше проблем, подход к которым должен быть строго электродинамнческпм. Отвлечься от существования электромагнитного поля невозможно при проектировании антенн и анализе распространения радиоволн как в природных условиях, так и в аппаратуре. По мере того, как в практику входили дециметровые, сантиметровые и еще более короткие волны, принципы построения радиоаппаратуры заметно менялись.

Элементы аппаратуры СВЧ существенно неквазистационарны и могут напоминать акустические или оптические устройства в болыпей степени, чем электротехнические. Особого подхода требуют современные интегральные схемы СВЧ или, например, устройства оптоэлектроники. Но дело не только в принципах построения, а также и в проектировании, которое либо остается в значительной мере эмпирическим, либо должно опираться на неупрощенные математические модели электродинамики. Подчеркнем, что неидеализированные задачи электродинамики, отвечающие объектам радиоэлектроники, почти всегда являются задачами дифракцпп.

На приемную антенну падает некоторая волна, и нужно знать ее реакцию. В случае передающей антенны только дри упрощении рассматривается излучение заданных псточииков, а в действительности распределение токов надо еще найти, н эго— локальная задача дифракцни. В частности, к антенне может подходить волповод или другая надравлнющая структура, и должна рассл1атриваться дифракцин соответствующей падающей волны. Любое устройство СВЧ, волноводное или достроенное в виде интегральной схемы, соединяется с другими посредством каких-либо направляющих структур (например, полых волноводов илп коаксиальных кабелей).

Опять-таки речь должна идти о дифракции соответствующих направляемых воли. Разумеется, при построении математических моделей электродинамики приходится решать различные промежуточные задачи. К ннм относятся задачи о собственных волнах направляющих структур и о собственных колебаниях резонаторов. Реальным объектам отвечают граничные задачи электродинамики: решения уравнений Максвелла должны удовлетворять известным условиям на границах раздела сред пли некоторых додобластей. Простейшие граничные задачи в этой книге не раз рассматривались (сх1. гл. 7, гл. 8 и пр.).

При этом каждый раз использовался метод разделения Переменных, а система координат соотзет- 414 гл. 12. ОБщиЙ пОдхОд пРОекциоиные методы ствовала конфигурации области пространства, в которой ищем решение. Так, например, было получено решение задачи о собственных волнах прямоугольного волновода; система координат в этом случае — декартова, гран1ща области описывается как совокупность нескольких координатных поверхностей (линий).

Казалось бы, в задаче о полом волноводе Н-образного поперечного сечения выполняются подобные условия, но здесь уже не удается получить решение задачи в явном виде. Метод разделения переменных, не имеющий альтернативы как средство нахождения таких решений, отказывает. Следует также иметь в виду, что существует немного систем координат, в которых этот метод может быть применен. Важнейшие из них: декартова, цилиндрическая, сферическая, эллиптическая и эллипсопдальная. При этом переход к новой системе требует введония аппарата специальных функций.

Построение, исследование н, наконец, табулирование различных специальных функций составило целую эпоху в развитии математической физики. Достигнутые при этом успехи важны и сейчас. Однако этот путь не давал надежды приблизиться при постановке граничных задач к условиям практики, если не говорить о редких исключениях.

12.1.3. Вычислительная электродинамика. Перейдом к краткому обсуждению методов, которые стали мощным орудием благодаря современной вычислительной технике и в настоящее время позволяют строить математические модели электродинамики, все более отвечающие нуждам практики. Методы этн различны и зародились давно, однако пх значение связано именно с такими возможностями реализации, которые дают современные ЭВМ.

В последние годы все чаще употребляется словосочетание «вычислительная физика» для обозначения того направления в физике, которое опирается на вычислительные методы, реализуемые на ЭВМ. Не менее правомерно говорить о «вычислительной электродннамике». Ведь в электро- динамике такое направление стало традиционным. Вычислительные методы в электродпнамике — тема этой и следующей глав. Разумеется, вопрос не удастся рассмотреть во всей полноте. но мы обсудим ряд ключевых положений и результативных подходов.

Центральным является способ представления решения задачи, т. е. электромагнитного поля. Применяя вштод разделения переменных (например, в упоминавшейся уже задаче о прямоугольном волноводе), мы получаем некоторые формульвые выражения векторных функций, которые точно удовлетворяют уравнениям Максвелла и граничным услови. ям.

В таких случаях иногда говорят, что решение получено в замкнутой форме. Хотя в большинстве технически интересных задач зто недостижимо, метод разделения переменных оказывается полезным кае средство построения систем функций, служащпх для представления полей в разлнчпь1Х случаях. 4 12А, постАиовкА 3АдАч, пРедстАБленяе пОлей 415 Пусть, например, методом разделенил переменных получена система решений уравнений Максвелла (Е„, Н ) (и = 1, 2, ...); каждая пара удовлетворяет граничным условиям на некоторой простой границе.

В ряде случаев, пользуясь этой системой, можно построить представление решения вида: Е = ~~ с„Е„Н = ~з, с„Н„ (12. 1) '(с„— пока неизвестные коэффициенты). Взяв область со сложной границей, можно тем или иным способом (например, в системе точен) подчинить Е" и Н" требуемым граничным условиям, что при правильном подходе приведет к системе У линейных алгебраических уравнений относительно Ю коэфф1щиентов с„. Чем выше У, тем лучше удается удовлетворить граничным условиям, если система (Е„, Н„) обладает нужными свойствами. Иногда в распоряжении имеются системы функций (Е„) и (Н,), не связанных уравнениями Максвелла, но удовлетворяющих требуемым граничным условиям. Решение представляется в виде: и е Е = ~ а„Е„, Нл=,~~ 5„Н«.

(12.2) «=1 Я Если системы (Е ) и (Н ) обладают некоторыми свойствами (частично обсуждавшимися в п. 11.0.3), удается приблизить пару Е", Н" к решению уравнений Максвелла. Это опять-таки сводит задачу к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов а„и Ь„в суммах (12.2).

С ростом У качество получаемого решения граничной задачи оказывается выше. Сущность того ичи иного метода состоит в том, каким путем граничная задача сводится к системе алгебраических уравнений. Ниже в этой главе будут рассмотрены так называемые нроееционные методы. Представления полей подчиняются в этом случае системам интегральных соотношений. Производимые операции можно назвать вроецированиев в том смысле, который обсуждался в п. 1 1.0.3. Другой важный класс составляют дисеретивационные методы.

Область, в которой ищут решение, при этом подвергается дискретизации, разбиению. Можно, например, рассматривать решение только на некотором множестве точек, выделенных в области. Образуя разности соседних значений, формируют аналоги производных, так что двфферепцпальный оператор задачи (например, оператор Лапласа) приближенво заменяется разностным оператором. Такой подход, называемый равноетным методом, также сводит задачу к системе линейных алгебраических уравнений.

Существуют другие дискретизационные методы, базирующиеся на выделении системы подобластей, а пе точек; обычно опи имеют черты проекционных. В гл. 13 мы обратимся к этой теме. з 12.2. пгоекционные методы 417 ГЛ. 12 ОБЩИН ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ Ъ[ЕТОДЫ 41 При построении мател[атичсских моделей электродинамики те или иные вычислительные методы нередко применяются не к граничным задачам для уравнений Максвелла, а к эквивалентным интегральным уравнениям. И, наконец, следующее. Налицо быстрый прогресс вычислительной техники; так в настоящее время болыпие надожды связаны с предстоящим появчением следующего поколения ЭВМ. Однако реальные технические объекты очень сложны.

Поэтому не только сейчас, но и в будущем для большого количества реальных задач прямая алгоритмнзация окажется невозможной (или будет требовать неправомерно большого расхода машинного времени), как бы ни был эффективен применяемый проекционный или дискретизациояный методы. Выход из положения дает принцип декомпозиции (см. гл. 13): сложный (протяженный) объект можно расчленить на относительно простые (малые) части. Математические модели строятся для этих частей, причем предусматриваются все мыслимые режимы их взаимодействия. Затем математическая модель исходного сложного об.ьекта получается посредством рекомпозиции, т, е. восстановленяя пз частей при наложении конкретных связей.

Характеристики

Список файлов книги