Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В качестве базиса разложений (12.17) использовалось девятнадцать собственных функций, которые отвечают полям пустого резонатора Е11о, ..., Е(зо, 'Еюо,, Егзо' Ез1«,, Ез4о; Е«(о..., Е«4«,' Еыо (потенциальные собственные функции отсутствуют, так как поле не имеет нормальной компоненты на границе раздела сред). По оси ординат на рис. 12.4а отложено низ»( »( I з( шее собственное число й(1) = (о(,) ') зо)(о = 2и/г(1), вычисленное в условных единицах обратной длины (для пустого резонатора й((, составляет 0,7721429...); по оси абсцисс — относительное заполнение р.
График показывает изменение вещественной имннмойчастсй 1411) в зависимости от степени заполнения объема диэлектриком. На 1» рис. 12.4б показаны зависимости изменения коэффициентов Ь„ в (12.17) от р (взяты только первые пять величин). Видно, что при малом (р < 0,1), а также при большом заполнении (р ~ 0,9) заметное значение имеет только одна низшая гармоника Е)(о. Резкое возстакие вклада высших гармоник при р > 0,15 (б) соответствует бы- 426 гл.
<2. ОБщиЙ пОдхОд. проекционные методы я!2,2. пРОекциОннОе ИАложение РРАничных услОВий 427 строму уменьшению Ве)с<г> (а). Какова же точность метода на этом слон<ном участкеу На рис. 12.4в для р 0,3 приведены значения относительной (условной) ошибки величины й<п (<о<п) с изменением )<г. Н 1 !Э Н!/ <Э. Это величина б<о = (<о<п — <о<п)/<о<0. за точное принимается значение ю<<!. Как видно, при Л< ) 13 решение быстро стабилизируется (в алгоритме уменьшалось )т' так, что гармоники отбрасывались в порядке: 250, 150, 510, 440, 340, 430, 420, 410, 240, 140, 330, 320, 310, 230, 130, 220, 210, 120, 110). Прежде чем двигаться дальше, подчеркнем, что во всех случаях использовалось представление поля типа (12.2), где Е„, Н„ не удовлетворяют уравнениям Максвелла для рассматриваемой задачи ни в „дм и 1 Р,б Р,б 1б 17 Р 4 П 17 1б 7П77 б П,7 П,«б,б П,П 177 Рис.
12.4 одной точке. Тот факт, что взятые нами Е„, Н„(если говорить о соленоидальных функциях) описывают собственные колебания некоторого полого резонатора, ничего не меняет: Е., ̈́— решения других уравнений Максвелла, в которые вместо <о входят соответствующие собственные частоты ю„, а е и )< — константы.
Что же было существенно при выборе именно этих систем функций? В первую очередь то, что по этим системам могут быть разложены любые векторные функции в Е и в том числе неизвестное решение задачи Е, Н. Несколько упрощая, припишем это свойство, т. е. полноту систем, тому факту, что принадлежащие им функции образуют бесконечные наборы кратных гармоник вдоль каждой из осей декартовой системы координат.
Другое существенное обстоятельство заключается в том, что на внешней оболочке функции Е„, Н„удовлетворяют тем я<с граничным условиям, что и неизвестное решение Е, Н, э 12.3. Проекционное наложение граничных условий. Сведение задачи к рассмотрению границы 12.3.1. Проекционное наложение граничных условий: процесс Трефтца. Метод Бубнова — Галеркина весьма универсален. Представление поля типа (12.2) можно строить, не располагая какими- либо решениями уравнений задачи. Выбор систем (Е„) и (Н ), таким образом, не определяется свойствами среды в той области, где ищем поле. За эту универсальность, как говорится, «надо платитьэ; ниже мы вернемся к этому вопросу.
Если же среда обладает относительно простыми свойствами, например, однородна, то обычно можно построить таку<о систему (Е<о Н„), где каждая пара функций связана уравнениями Максвелла решаемой задачи. При этом неизвестное решение задачи ищем в форме (12.1); коэффициенты разложений Е и Н по (Е„) и (Н„), соответственно, здесь принципиально одинаковы. Такая сумма удовлетворяет уравнениям задачи при любых коэффициентах с„. Чтобы получить решение некоторой рассматриваемой электродинампческой задачи, остается наложить на представление (12.1) необходимые граничные условия, что приведет к определению коэффициентов с„. При конечном Лг это, вообще говоря, можно сделать лишь с некоторой точностью.
Процесс наложения граничных условий можно произвести в проекционной форме, т. е. аналогично тому, как в методе Бубнова— Валеркина удовлетворяются уравнения. Такой подход называют л<етодом, плп процессом Трефтца, Введенную выше систему решений уравнений Максвелла (Е„, Н„) будем называть базиео<! Т(7ефтца, если (Е„) п (Н„) пригодны для разложения произвольного тапгепцпальцого поля па той поверхности, где требуется удовлетворить граппчным условиям. Пример 1.
Поясним применение метода Трефтца нз простом примере. В случае возбуждения волноводного резонатора через отверстие Яв в его торце (основании цилиндра, рис. 12.5а) нетрудно построить базис Трефтпз лз стоячих волн волловода с узлом поперечного электрического поля Е! прп х = П Каждое из базисных полей получается при наложении двух протзвоположимх волн (11.71). Оказывается, что такое поле Е„Н удовлетворяет пе только уравнениям Максвелла, но и граничным условиям везде зз исключением торца х = О.
При этом Е„, = е, Мв Г,(х — Ь); положив в = О, получаем полную ортогональную систему (о полноте (е„) говорилось в и. 11.2.2), пригодную для разложения любого поля Ео заданного нэ этом торце резонзторз. Характеризуя это поле, зэпишем: Е,(О) = Ех нз Ю, 0 нз Я ох. (12.29) Надо стремиться и выполнению равенства Е (0) = Е! (0), где Е" — представя ление поля в базисе Трефтцз (12.1). Наложить это условие в проекционном н смысле — значит, обратить в нуль лоэффициептм Фурье фупкции Е! (0)— — Е«(0) в коком-нибудь бэаисе нэ бх. Ввиду (11.74). запишем следующую , О О 4 Рис. 12.3 зе (12. 32) д Рис. 12.6 428 Гл. 1Х ОБЩИЙ ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ проекционную форму: 1 ] Е (О) — Е (О), Ь,*,] дз = 0 й = 1, 2, ...
(12.30) вл (здесь остаются только поперечные компоненты полей, поэтому индекс 1 опу щен). Внося представление Ел (123) в (12.30) и учитывая (12.29), получаем ~ св ]Ев (О), Ьз]вдз = ] (Е~, Ь1,] дз, (12.31) а=1 вв причем слева в качестве Е~(0) подставляются функции Е ~(0) = — е зш Р Е Привлекая (11Л4), видим, что в сумме сохраняется только один к-й член. В результате находим: В данном случае найденные коэффициенты с„представления (123) не зависят от Х Для рассмотренной нами простой задачи применение метода Трефтца свелось к разложению функции Е,(0) (12.29) в ряд Фурье по (е ), ° Напомним (см.
и. 12,2.3), что в и. 11 1.3 при решении задачи о возбуждении резонатора, в сущности, использовался метод Бубнова — Галеркипа. Чтобы наглядно продемонстрировать различия процессов Трефтца и Бубнова — Галеркина, построены некоторые схематические изображения. На рис. 12.5б длн п~рвых трех функций базиса Трефтца показаны возможные продольные распределения компонент Е„„соответствутощие закону зтп Г (з — Ь); третья волна (а значит, и все следующие) имеет уже мнимую постоянную распространения Г„, и синус становится гиперболическим.
Это стоячие волны в волповоде, «закорочеппом» при 2 =.б; пх поперечные распределения е„несколько условно представлены па рис. 12.5в. 9 12 3 проекционное ИАложение ГРАничных условий 429 По этим кратным гармоникам можно разложить произвольную функцию на Ях при з = О (где задано стороннее поле).
Что касается продольных распределений (рис. 12.56), то они отнюдь не образуют полной системы функций, по которой может быть разложена произвольная зависимость 1(з). Но базис Трефтца и не должен обладать свойством полноты для объема резонатора. Требуется лишь полнота по отношению к той части границы, на которой должны быть удовлетворены граничные условия; это Ях при з = О.
Если бы задача решалась методом Бубнова — Галеркина, проекционная форма записывалась бы для объема: базисы (Е„) и (Н„) должны содержать наборы гармоник по всем направлениям и, в частности, по г. Для каждого из поперечных распределений (рис. 12.5в) надо было бы предусмотреть ряд гармоник по з, как это показано на рис. 1 .5г. 195 При той же степени аппроксимации поля количество базисных функций в процессе Бубнова — Галеркина окажется значительно больше. Представление поля (12.2) при 1Ч вЂ” способно сойтись к решению задачи Е, Н в среднем по объему Р'.
Но, например, при я з = О для любых Ж будет получаться Е1 = О, и поле воспроизвести не удастся. Этим свойством обладают разложения (11.53), которые пе воспроизводят Е, на отверстиях и медленно сходятся вдали от резонансных частот ю„. 12.3.2. Процесс Трефтца кик метод частичных областей.
На рис. 12.6 схематически представлено несколько электродинамических задач, для которых естественно применение метода Трефтца. Все они характерны тем, что область существования поля разделяется па несколько подобластей, в каждой из 1'оторых базис Трефтца может быть найден методом разделения переменных, Базисы "1'рефтца 430 ГЛ. 12. ОБЩИЙ ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ $1хз. проекционное ИАложение ГРАничных услОВий 481 должны обладать свойством полноты на смежных границах подобластей, где производится проекционное наложение граничных условий непрерывности тангенциальныхкомпонентЕ" и Н», или, как иногда говорят «проекционное сшивание» представлений поля типа (12 1).
Такой подход называют г(етодом частичных областей; он был впервые применен к задачам электродинамики около полувека назад '), но, разумеется, в сколько-нибудь сложных случаях может быть реализован только с применением ЭВМ. На рис. 12.6 воказаны: Н-образный волновод (в поперечном сечении) (а); волновод (резонатор) с диэлектрическим включением (б); сферический резонатор, излучающий через отверстие в свободное пространство (в); сферическое зеркало, на которое падает волна (г); два варианта сочленения направляющих структур (д, е). Число таких примеров легко увеличить.
Отметим, что в случаях (в) и (г) подобласти одинаковы — шаровая и дополнительная к ней. Для определенности рассмотрим задачу о скачкообразном сочленении волноводов (д, е). Пусть решается задача дпфракции некоторой волны е„,(,1, и'(и вервого волновода (падающей слева) на стыке со вторым (г = 0). Построим представление поля в обеих полубесконечных подобластях: г » (О, (12,33) (12,34) где в каждом пз волноводов поле дифракции представляет собой пало;некие собстве;шых волн (11.71), расходящихся от плоскости стыка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
