Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 77
Текст из файла (страница 77)
У з При подстановке в (12Л9) представлений (12Л7) или (12.18) (в последнем случае предварительно делается аамена Е =(еое) -16» и Н =(роСС)-1В ) получается некоторая алгебраическая форма. Однако такая подстановка должна делаться осмысленно; ее правомерность для той или иной граничной аадачи должна быть обоснована. 12.2.3. Применение метода Бубнова — Галеркина к некоторым классам электродинамических задач. Рассмотрим построение проекционной модели полого резонатора, содержащего некоторое тело, характеризуемое заданными проницаемостями; в объеме Сс проницаемости е и Сс — функции координат (если требуется, тензоры).
Структура показана на рис. 12.1; колебания могут быть вынужденными и собственными, в последнем случае отверстие отсутствует. Будем считать, что собственные колебания при отсутствнп вносимо- го тела, нарушающего однородность среды, заранее изучены. Прн этом известны системы функций (Е„) и (Н„) прн )со = )с. Это усло- вие, в частности, выполнено в случае прямоугольного резонатора (рис.
12.1б); функции Е, Н„выписаны в и. 11.0.4. В варианте вынужденных колебаний на отверстпп 81 в оболочот ке резонатора задано Е = Е, а внутри — сторонний ток с плот- ностью )~. Внося в (12.19) представления Е", Н" (12.17) получа- ем следующую систему алгебраических уравнений: ойа — аЬ" = С~Р, (12.20) — ссаи + соМЬ = ссс", где матрицы Э и М имеют элементы Эо„= е ) еЕ„Кос(а, Мс,„= р ~ Ссн„н~сЬ. и 'У Матрица Н вЂ” диагональная и составлена нз собственных частот: 1)ь, = 61 со„(напомним, что для потенциальных функций эти 2 !2.2.
ЦРОекциовные методы 422 ГЛ !2. ОБЩИЙ ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 422 величины равны нулю); векторы !Э' и !',1" имеют компоненты (!а= ~ )т'Е1,ЙР А!2= [ [Е Нь]!(3 (12 22) У Зх (при получении (12.20) учитывались соотношения ортонормировки (11.47), в которых з = 1 и р = 1). В варианте собственных колебаний полагаем 1и = 0 и Е =О, так что правая часть в (12.20) обращается в нуль.
Частота и оказывается неизвестной величиной. Поскольку получаемые методом Бубнова — Галеркива собственные частоты зависят от Л!, обозначим частоту и". Система уравнений (12,20) принимает вид и"Эа — йЬ" = О, — йа" + и "МЬ" = О. (12.23) Собственные частоты находим при обращении в нуль определителя этой системы. При анализе собственных колебаний может иметь преимущество использование представлений индукций (12.18). Дело в том, что при отсутствии источников в разложениях индукций (12.18) остаются лишь соленоидальные функции Е„, Н„и, соответственно этому, нет нулевых и . Все и — собственные частотырассматриваемого резонатора без заполнения. Алгебраическая форма при этом такова: и"а" — 12МЬ = О, ЙЭа" — и"д" = О, (12.24) где элементы новых матриц выражаются следующим образом: Э„„= зз) е 'Е„Еддг, Мз„— — р') )! 'Н„Н„1/г.
(12.25) Диагональная матрица Й в данном случае имеет обратную (это мат— ы рица 12 ', составленная из диагональных элементов и„!. Заметим, что как из (12.23), так и из (12.24) можно получать иные формулировки, исключая какой-то один вектор; тогда получаются системы /у уравнений. Возвращаясь к началу наших рассуждений, отметим, что действия, которые производились еще в и. 11.1.3 при анализе возбуждения полого резонатора, в сущности, также базировались на проекционной схеме.
Действительно, соотношения (11.56) — это не что иное, как проекционная форма (12.16). Однако в и. 11.1.3 не было необходимости решать системы алгебраических уравнений высокого порядка, чтобы точно выразить коэффициенты представлений поля (11.53). Можно сказать, что в и. 11.1.3 бесконечная система распалась на независимые пары уравнений (11.60). Сопоставляя задачн о возбуждении резонатора, одна из которых решалась в и. 11.1.3, а другая рассматривалась сейчас, можно дать полученным результатам определенную физическую интерпретацию. Соотношение ортонормировки (11.47) означает, в частности, что собственные коле- бания резонатора не взаимодействуют, а величины Э„„и М„„(12.21) при /2 чь и истолковываются как взаимные энергии, электрическая и магнитная, появляющиеся при внесении в полость тела, которое нарушает однородность среды.
При е = сопз2 и 12 = сопз1, как следует из (11.47), интегралы Э„„и, соответственно, М,„для Ь зь и равны нулю. Это возвращает нас к задаче из и. 11.1.3. Среди различных полых резонаторов, которые можно анализировать на основании полученных результатов, выделим волноводные, т. е. образованные отрезками регулярных волноводов (рис. 12.2а, б) с продольно-однородным заполнением (на расстоянии Ь располагаются идеально проводящие перегородки, рис. 12.2б).
Рвс. 12.2 Определив собственную частоту такого резонатора, мы заранее зна- ем, какой постоянной распространения (одной пз собственных волн волновода) она соответствует. Пусть, например, рассматривается тпп колебаний, для которого р = 1 (и. 8.1.1), что учитывается при формировании базисоз (Е„) и (Н„) (для компонент всех векторных функций продольная зависимость берется в виде сов(пз/Е) и з!П(яз/5)). Тогда согласно (8.32) Т = Л/2 и Г = я/5. Поэтому, за- даваясь некоторой длиной резонатора 7 и определяя и~, мы получа- ем точку кривой Г(и). Можно поступать и по-другому, а именно фиксировать требуемую частоту и в (12.23) или (12.24) (вместо неизвестной и"). Определению подлежит при этом длина ! (рис. 12.2б), один из пределов интегрирования при вычислении мат- ричных элементов (12.21) и (12.25).
Последние сводятся к интег- ралам по поперечному сечению 82 волновода, например, Ф б Э!з, = ез [ БЕз( ( ) Еь(! ) !(з —, к 1 з,!, где символ (-!-) означает, что векторная функция уже не зависит от 2. Величина 5 = я/Г (можно писать О" = я/Г" ввиду зависимости результата от Л') определяется из характеристического уравнения, получаемого при обращении в нуль определителя системы (12.23) или (12.24). 425 424 ГЛ.
12. ОБЩИЙ ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 2 12.2. пРоекционные метОды Итак, рассмотрен способ построения проекционной модели полого волновода с продольно-однородным заполнением. При анизотропии среды постоянная распространения волны может зависеть от направления (по г или против г), и вся схема нуждается в некоторой модификации. Не входя в подробности, отметим, что при этом достаточно использовать базисные функции Е„, Н„, удовлетворяющие условиям повторяемости на концах выделенного отрезка волновода [И.З]. Обратимся теперь к задачам дифракции, обсуждавшимся выше в и. И.3.1. Оказывается, и в этом случае можно воспользоваться полученными результатами применения метода Бубнова — Галер- кина.
Покажем это на примере волновода, содержащего некоторое тело А, характеризуемое заданными проницаемостями е и )4 (см. рис. И,14а). Вместо исходной задачи (рис. 12.3а) достаточно решить две серии задач о возбуждении полого резонатора через отверстие. Они Рис. (2.3 получаются, когда одно из отсчетных поперечных сечений волнозода Я( или Яз заменяется идеально проводящей перегородкой, а па другом (которое играет роль отверстия) задается некоторое стороннее электрическое поле. Эти ключевые задачи (рис. 12.3б, в) ставятся путвм наложения следующих условий: е (,) на Я„~О на Я„ ОнаЯ;, (е()наЯ, (12.26) (яз = 1, 2,...), где имеются в вцду функции е <„„использовавшиеся в и.
И.З.2. Постановка задач поясняется на рис. 12.36,'в. Оба поперечных сечения одинаковы, но направления осей г) и 22 противоположны. Поэтому берется: е„(п =е (2, =е и Ь (1, = — Ь,(2~ = Ь„, где е„, ܄— собственные функции волновода (см. и. И.2.2). Чтобы найти поле вынужденных колебаний резонатора, надо рест ст шить систему уравнений (12.20), взяв ~ = 0 и Е~= е в (12.22); Я* = Я) или Яз = Яз.
При этом внутреннее поле определяется при помощи формул (12Л7). Можно сказать, что таким путем находятся поля в различных режимах короткого замыкания исходной структуры (рис. 12.3а), которые задаются условиями (12.26) . Знание поля в каждом из режимов (12.26) позволяет вычислить один из элементов матрицы проводимости У для поставленной задачи дифракции (см. рис. ИЛ4а; рис. 12.3а). Далее посредством (ИЛ07) матрица проводимости У пересчитывается в матрицу рассеяния Я.
Действительно, пусть, например, задан какой-то режим короткого замыкания согласно первому столбцу (12.26). В соответствии с (ИЛ02) это оаначает, что Ен е,(, и ЕМ=О, т. е. для всех и за исключением и = нз равны нулю все коэффициенты а„(1, и а„(2), а а,(, = 1. Поэтому, как следует из (ИЛОЗ), 11 21 Ь„„, = У„„, Ь„(„= У„ (12.27) (вектор а имеет единственную ненулевую компоненту а ((, 1). Если же задать один из режимов согласно второму столбцу (12.26), то, аналогичным образом, легко убедиться, что ы 1.
т«2 Ьи(1) — .1 »пи Ьо(2) Уищ (12.28) Таким ооразом, для нахождения любого из элементов матрицы проводимости У надо уметь вычислять коэффициенты Ь ( 1 из (И.102). В качестве Н,„(а = 1, 2) берется поле Н" (на Я( и Яз), представ»( ляемое суммой (12Л7), где коэффициенты Ьо вычисляются в результате решения системы уравнений (12.20) с правой частью, которая соответствует требуемому режиму (12.26).
Первые проекционные модели полых резонаторов и волноводов с включениями, нарушающими однородность, а также изотропию внутренней среды, были построены более четверти века назад; онн оылп реализованы на ЭВМ первого поколения «Стрела» [И.З, гл. 7). В частносп«, рассматривался полый резонатор с диэлектрическим включением (рис. 12.4а), постепенно заполняющим объем (взято е = 10 — 1 ° 10 з). Анализировался низший тип собственных колебаний, для которого вектор Е параллелен границе диэлектрика (ось г); структура однородна по г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
