Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Рассмотрим, например, задачу о собственных колебаниях полого резонатора, содержащего некоторое тело с проницаемостями е и р (см. п. 12.2.3). Представление решения берется в форме (12.17), где (Е ) и (Н„) — прежние базисы; граничные условия на оболочке резонатора ими удовлетворяются. Внося (12.17) в уравнения Максвелла, потребуем, как и в (13.2), выполнения равенств на множестве точек: л ~~.", Ь„го( Нп (гΠ— (ю~е е(г1) а„Еп (г1) = О, и 1 '~', а~ го1 Е„(г1) + ио~рс(1 (г1) ЬКНп (г;) = О (13.3) п=1 (неизвестная собственная частота, которая может быть найдена только приближенно, обозначена 1зп, как и в п.
12.2.3). Б учетом (11.48) пишем: я Х ОЗ„ЗЗН„(г1) а„— ОЗ )гор (г1) Нп (г1) Ьп = О, п=1 ~ оэ е„е(г1) Еп(г1) ап — О3„р Еп(г;) Ь„= О. я и и (13.4) Если взять М точек (1= 1, 2, ..., М) и каждое из равенств спроецировать на оси декартовой системы координат, то количество уравнений будет 6М. В принципе мол1но взять 51 = 3М и получнть в (13.4) квадратную матрицу. Если оказывается желательным при фиксированном 13' в (12.17) усилить дискретизацию (увеличить М), то система уравнений (13.4) окажется переопределенной, однако и в этом случае может быть получено решение (см., например, [И.6)). Коллокацпонньш подход применим и к интегральным уравнениям.
Базис, как и выше, может строиться в виде наоора гармоник (см. схематическое изображение на рис. 13.1а), но в данном случае его можно взять как набор констант, каждая из которых задана только на своем носителе Л, (рис. 13.1б). Применение такого базиса есть, по существу, реализация простейшего способа приближен-' ного интегрирования.
Вместо проекционного наложения граничных условий (метод Трефтца) возможно коллокационное; система точен при этом выбирается на нужной границе. В результате получается система уравнений относительно граничных значений компонент поля. Коллокационные методы, будучи очень простыми по замыслу, применяются относительно редко: во-первых, оптимальный выбор коллокационных точек в каждом отдельном случае требует исследования; во-вторых, они, вообще говоря, менее выгодны по сравпени1о 9 13.1. дискРетизациоппые метОды ГЛ. 13. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ДЕКОМПОЗПЦИЯ 439 с проекционными, которые в ряде случаев приводят к удовлетворительным решениям при малых порядках системы алгебраических уравнений. 13Л.2.
Раэностные схемы. Как видно из предыдущего, для дискретизационного подхода характерно выделение в области задачи множества точек (рис. 13ЛИ), или, как говорят, сетки, Заметим, что поэтому дискретизационные методы в ряде случаев называют сеточными.
На рис. 13.2а показана равномерная координатная сетка в д ° . д уде хд-г уд,х ха+1~уз гд. Уд ~д Уд — 1 Ряс, !3.2 плоскости ИОу с шагом Ь. Приближенный метод решения краевой задачи можно построить так, чтобы решение рассматривалось только в узлах сетки, т. е. в точках с координатами г, у„. Для этого все производные в формулировке задачи надо заменить пх конечноразностными аналогами. Исходная задача сводится таким путем к спстеме линейных алгебраических уравнений посредством так называемой разносгной схемы.
К настоящему времени теория разностных схем основательно разработана (см., например [И.7]). Рассмотрим кратко суть вопроса. Пусть нужно построить разностный аналог частной производной по г функции и(х, у) в точке лн у, (рис. 13.2б); значения и(х, у„) будем кратко обозначать и., Возможны, например, правыи аналог 1„и левый !а: иъ,д — идд ди ~ и,д — и,,„ди ! — — — — ..(13.5) А дх !хй,ид' Д дх )хд,ий' ' Если теперь требуется построить вторую частную производную, то пишут: д и Совершенно аналогично строится производпая дги/дуг. Поэтому ИМЕЕМ СЛЕДУЮЩИЙ РаЗНОСтНЫН аНаЛОГ ДВУМЕРНОГО ЛаПЛаСИаиа тгп,у: уг 1 ид+йд+ ид йд+идд~г+ иди 1 — 4ид д Поэтому, если, например, решается граничная задача !7~ ли =1 в Я, и = 0 яа А, (13.8) где фигурирует уравнение Пуассона, то для некоторого узла сетки с номером (Ь, Ь) согласно (13.7) имеем: — их+1 й — ий 1~1+ 4ий,й ий-й,й ий й-1 — Ь ~~ й, (13.0) что дает систему линейных алгебраических уравнений, матрица которой будет очень разреженной: для всех внутренних точек — независимо от числа узлов — количество отличных от нуля элементов матрицы в строке равно пяти.
Разностные схемы — распространенный метод алгоритмизации краевых задач. Поскольку аппроксимации подвергается дифференциальный оператор задачи, число узлов оказывается большим. Порядки систем линейных уравнений весьма высоки, по сравнению, например, с проекционными методами. Но разреженность матриц помогает в ряде х 2А случаев преодолевать эту трудность. Для электродинамических задач разностные схемы применялись относительно мало, что связано с рядом специфических трудностей.
Заметим, что в электродинами- ° гч ке разностные схемы иногда получают ') го на основе уравнений Максвелла в инте- 2А гральной форме. Поясним это на примере объемной равномерной координатной сетки (рис. 13.3). Точка г)Х(х, у, г), для которой составляются разностные соотно- Рис. 13.3 шення, лежит в средней точке куба с ребром 2Ь. Применяя уравнение (1.54) в рамках метода комплексных амплитуд (дгд! — 1ш) и заменяя В на Н, возьмем в качестве 8 заштрихованное сечение куба плоскостью х = сонэ!; направление обхода его контура Т показано стрелкой.
При достаточно малом Ь из (1.54) приближенно следует — 1ог4йг!дои(г, у, г)Н „(х, у, г) = — 2ЬН „(х, у, г+ Ь)+ + 2ЬЕ,(х, у+ Ь, г)+ 2ЬЕ г(х, у, г — Ь) — 2М,(г, у — й, г), илн — !О32Ь!йо!йН . = — Н „(г+ Ь)+ Й„,(у + Ь)+ + хз „(г — й) — Н,(у — Ь). (13.10) Аналогично из (1.53) получаем йо2йе ЕЕ„х + 2Ь11,~ Нгау (г + Ь) + Нпм (пп + й) + Нту (г Ь) Нгах (у Ь) (13.1 1) ') См., например, М.
А!Ьапг, Р. Вегпагда А вишсг!са! шс!Ъоб Ъаасб оа !Ъо Йгасгс!Ыа!!ов о! Махис11 ечиа11овз 1в !О!алга! 1огш У" 1ЕЕЕ Тгава.— !974.— дг. МТТ вЂ” 22, Х 4.— Р. 446 — 449. ГЛ. !3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ 440 2 12.2. ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЯ ПРИНЦИП Чтобы достроить систему разностных соотношений, нужно еще выполнить подобные н!е операции в плоскостях у = сопз$ и 2 = сопзс, проходящих через точку М(х, у, 2).
В этом кратком изложении мы совершенно не затрагиваем хорошо разработанные вопросы устойчивости и сходимости разностных схем. 13.1.3. Конечные элементы. В процессе дискретизации можно строить представление решения в некоторых малых областях, называемых конечными элементами. В и. 13.1.1 уже рассматривался пример (рис. 13.(б), позволяющий говорить о применении простейших конечных элементов в виде носителей констант Л;; речь шла об алгоритмизации интегрального уравнения. Обычно под методом конечных элементов, который называется такнсе проекционно-сеточным, понимают процесс Бубнова — Галеркина для некоторой краевой задачи, в котором базис формируется из функций, определенных не во всей области задачи, а на специально построенной системе носителей в ней.
В сравнении с разностными схемами метод моя!но считать попым: его детальная разработка была произведена 10 — 15 лет назад; наиболее удачно, на наш взгляд, метод изложен з монографиях [И.8 — 9). Обсудим сущность метода конечных элементов. На рпс. 13.4а показаны функции в виде констант на своих носителях (ср. рпс. 13.1б). По таким функциям и„можно было бы построитьпредставление решения задачи и" (12.5), если оператор 2' — интегральный; выражение Ыи„прн этом имеет смысл.
Гслп же выполняется ) операцяя однократного дифференцирования, то нужно, чтобы ! П П е ел т и -е Р . 1З.4 базисные функции и„были непрерывными. При этом конечно-элементное представление и" (12.5) строится из функций-крышек (рис. 13.4б), носители которых пересекаются. Что дает метод конечных элементов в сравнении с обычным процессом Бубнова — Галер- кина, когда базисные функции и„определены во всей области задачи? Главное — это разреженность матрицы Ь в (12.8).
Действительно, будут отличны от нуля только те из элементов й,„=(2'и„, и,), которые образованы функциями-крышками и„соседних (пересекающихся) носителей, ') Обычно после преебрезевелпп (х'и, и!) внтегрпрованпем по частям. Существуют разные способы построения конечных элементов на поверхности и в объеме. Часто используется треугольная сетка, удобная, в частности, в случае криволинейной границы (рис. 13.4в). При этом базисные функции можно строить в виде и„ = а„ + Ь„х + с„у, (13.12) где константы а, Ь и с„однозначно связаны со аначениями и„ в узлах (вершинах треугольника).
Совокупность всех узловых значений образует неизвестный вектор решения. Весьма существенно, что представление и" (12.5) в этом случае непрерывно. Представления типа (13.12) образуют линейные конечные элементы; можно построить квадратичные элементы и элементы более высокой степени. При алгорнтмпзации электродинамической задачи Е„и Н„в (12.17) или (12.18) строятся так, что их координатные составляющие (Е„„, Е„„и т.
д.) имеют конечно-элементное представление. В отличие от базисов (Е„) и (Н„), нспользовавгпихся в и. 12.2.3, в данном случае существует возможность получить Е„и Н„, удовлетворяющие требуемым условиям на внутренних границах раздела сред. Дальнейшее развитие дрискретнзационных методов связано с декомпозиционным принципом, который обсуя'дается ниже. 4 13.2. Декомпозпционный принцип.
Математическое моделирование сложных структур 13.2Л. Декомпозиция сложной структуры и рекомпозиция ее математической модели. Всякой электродинамической структуре можно сопоставить некоторую краевую задачу для уравнений Максвелла, затем в результате алгоритмизации (посредством применения одного из обсуждавшихся выше методов) мыслимо получить математнческую модель, реализуемую на ЭВМ. Однако конфигурационная сложность, а также протяженность реальных технических объектов очень быстро ставят предел такому прямому подходу: не только существующие ЭВМ, но и те, которые ожидаются в обозримом будущем, оказываются недостаточно мощными. Но и относительно простым объектам часто невыгодно сопоставлять краевую задачу, формулируемую для структуры как единого целого. Это ведет к слишком большому расходу машинного времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
