Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Запишем проекционные аналоги условий пепрорывности Е, в Н, на стыке: ) [Н;" — Н",, й„„,~,аз=О, й =-1,2, ..., А', (12.35) 3 [Ег( 1, Нм — Пг»1(ФЬ = О. й = 1, 2, ... М. (12 36) з ° Подчеркнем, что непрерывность Е, имеет место на большем сечении Яз, при этом вне отверстия Я( на перегораживающей части стыка Е,( — О) = Е„+ О) = О, Ноьшонента Н, непрерывна лишь в ооласти меньшего сечения Я(. Внося (12.33), (12.34) в (12.35) и (12.36), учтем соотношение ортонормировки (11.74), в котором надо брать БА =Я(,2 дляе,(,зп ') Нал» И'. С Л веч шо(1~ой (ос 1!~е са!со1211оо о( са»11у тесова(огз.
у Ю. Лрр!. Рзуз.— 1941.— У. 12, К 1.— Р. 82 — 68. Ь„(1 2, (направление оси г остается неизменным). Это приводит к си- стеме линейных алгебраических уравнений относительно коэффи- циентов представлений (12.33), (12.34); запишем ее в форме: (12.37) где см и сг — векторы коэффициентов сумм (12.33) и (12.34); П вЂ” матрица с элементами Ф Пго = Л [е»(1) )22(21 1г(гг 3 (12.38) 11 — сопряженная матрица (элементы которой являются транспонированными и комплексно-совряженными во отношению к (12.38)); и(1 2 — диагональные матрицы с элементами: и(1, 2м сс Я(1, 21(((Л М1, 2) ~ ° (12.39) Наконец, в правой части (12.37) фигурируют векторы со следующими компонентами: (12.40) Смысл решения системы уравнений (12.37) ясен.
Поскольку с„(П и с„(,1 — это комплексные амплитуды расходящихся от стыка волн ври падающей волне единичной амплитуды заданного типа, то это — элементы матрицы рассеянна стыка (и. 11.3.1), а пмен- НО: С„(,1 — — Я~,~„П С„'(21 — — о' ~„. РаэуМЕЕтСя, тОЧПОСтЬ ЭТИХ равенств зависит от ЛХ и Л(.
При правильном выборе соотношения Л1 и Д( (отметим только, что ЛХ ~ Аг) увеличение этих чисел с удовлетворптельной быстротой приводит к довольно точным результатам. 11тобы находить любые элементы матрицы рассеяния, надо еще рассмотреть двфракцию волны, вадающей справа, со стороны второго волновода. Прв этом меняется только ввд правой частя свстемы (12.37), так что вместо (12.40) имеем: Еж = П ю Е22 = — и'21262- (12.41) Решая систему уравнений (12.37) с вравой частью (12.41), полу- М ° 12» с«2 чаем: с„(,1 = Я„и с„м1 — — Е»».
Путь, который мы обсудили, типичен для алгорнтмизацпп задач, показанных на рис. 12.6, и многих аналогичных. Отметим, что построенные выше представления поля (12.33), (12.34) удовлетворяют условию излучения: кроме заданной падающей волны они содержат лишь расходящиеся волны. Аналогично этому в задачах, соответствующих рис.
12.6в, г,в области 2 решение ищется в виде системы расходящихся сферических волн. 432 гл. Гх овщин подход. пгоекционныв методы $12.3. ПРОекционное ИАложение ГРАничных услОВий 433 )Ей Рис. 12.7 Поэтому сохраним представление поля в базисах Трефтца (12.33), (12.34).Однако в данном случае нет оснований брать неодинаковое числа учитываемых в подобластях волн, так что ЛХ = )и'. Поскольку слева и справа волноводы одинаковы, то е,1, = е„,з, = е„ и Ь 11, = = Ь„,з, = Ь . Будет также удобно изменить ортопормировку (11.74) (которой соответствует (11.43)) на следующую: еяеисЬ = бьи.
З1, (12.42) Электромагнитное поле в плоскости диафрагмы (з =-О) должно удовлетворять следующим граничным условиям: Е„( — О) = Е,(+ О) на 8А = 8„+ Яв, (12.43) Е,(0) = 0 на 8„, (12.44) Н,( — О) = Н,(+ О) на Яв. (12.45) Первое из них наложим в проекционной форме: ) (Е, (+ О) — Е, ( — О)) е„'= 0 Б,1, (12.46) (й = 1, 2, ...). Отсюда при подстановке Е~ (О) и Е„(0) получаем: свм) + бь~ = сь11). (12.47) 12.3.3.
Об интегральных уравнениях электродинамики. Выше было показано, что, располагая базисами Трефтца, уже не думают об удовлетворении уравнениям во Внутренних точках рассматриваемых областей: какие бы то ии было операции производятся на их границах. Поэтому задачу электродинамики можно с самого начала привести к такой форме, в которой фигурирует только ата граница. Для определенности будем рассматривать задачу дифракции для волновода с диафрагмой (рис. 12.7а). Подобно предыдущему зто задача дифракции некоторой волны Ем(1)ь Нм1~), падающей слева. Выражая, далее, св1в) как коэффициенты Фурье функции Е,(0) = = д' в базисе (е„), имеем: сь1,) = ~ Яеь1Ь= ~ бевсЬ.
(12.48) В. зе При переходе к последнему интегралу учтено условие (12,44) Ю = 0 на 8 . Остается лишь наложить граничное условие (12.45). Для этого просто приравняем выражения Ньи(0) и Нзт(0), следующие из (12.33), (12.34). При этом входящие в них коэффициенты ськ1П, си11) ПРеДставим, пользУЯсь фоРмУлами (12.48) и (12.47). Это дает: 1т К Е ( ьсь.ь,= Е (( ьсс* ь.1ь.,ь... я..
и=з н е и-ь ь х Полученное равенство легко упростить. При этом также умножим векторно все члены на ес и учтем, что согласно (11.72) (Ьи, е,) = е„ = —. В результате получаем )Уи ' М вЂ” бе„дв е„=- —, (12.49) и 1 ~яь Это интегральное уравнение относительно неизвестной функции е па отверстии 8в в плоскости диафрагмы (см. рпс. 12.7). Перепишем интегральное уравнение в форме 1 У (г, г') 8 (г') сЬ' = ю е (г), ЗВ (12.50) где г, г — координаты в плоскости з = О, причем штрихозапные меняются в процессе интегрирования.
Ядро интегрального уравнения 1'"(г, г ) есть сумма М г"" (г, г') = ~ — ея (г) ° е'„(г'), (12.51) ') Здесь . пвдо попимвть каи своего рода разделительный символ; пусть т — любой вектор, тогда тс, еь = (и е,)еь и е, ° еьи = е,(еь и), где скобки— скалярное произведение. 23 В.
В.кииольссий, Г.И.Писоиьсиья где кружок С' — символ так называемого диадного произведения векторов'). Ядро имеет размерность проводимости, и интегральное уравнение будем называть адмитансным. При некотором фиксированном )у оно формулирует электродинамическую задачу, как мы будем говорить, в )и'-приближении. Если решение 8 найдено, то по 434 Гл. 12. ОБщиЙ пОдхОд. пРОекциОнные методы 9!2.2. пРОекциОннОе ИАложение ГРАничных услОВий 435 где (12. 53) Ем(г, г') = ~~д~ Ит„еи(г) е„(г'). и-т Ядро 2м(г, г') имеет размерность сопротивления, и уравнение (12.52) называется и педапспым.
Нахождение решения т), как ранее поля 8, легко приводит к определению элементов матрицы рассеяния. Как адмитансное, так и импедансное интегральные уравнения могут быть решены методом Бубнова — Галеркина. Запишем (12.50) и (12.52) в форме (12.3): ут,т т,с 1т,с (12.54) 1, Е и = 8', п' = т), 1 = —, 1' = 2е„, а интегральные операторы ж имеют вид Ы'(...) =Х Г™(...)8г', Ы"(...) =,) 2"(...)8г'. (12.55) Их Бм Выорав какоп-то базис на о', или, соответственно, О„, запишем проекционное соотношение типа (12.4): (и гехпг,х 1 г) И„*,1 0 Их,хт (12.56) и представим решение в том И1е базисе: м и ' [ = ~~'., а„,п„.
(12.57) И=1 Подстановка (12.57) в (12.56) приводит к системе линейных алгеб- раических уравнений в двух вариантах: (12.58) рт, гт)т, срт, тнм Рт, и формулам (12.48) и (12.47) сразу определяются коэффициенты представлений (12.33) и (12.34), которые, как и выше в и. 12,3.2, имеют смысл злементов матрицы рассеяния. Прежде чем решать адмитансное интегральное уравнение (12,50), отметим следующее.
Если изменить порядок и способ наложения граничных условий (12.44) и (12.45) так, что сначала используется условие (12.45) в проекционной форме, то влтесто (12.50) получается интегральное уравнение относительно плотности тока т) = [ге, Н(+О) — Н( — 0))на диафрагме [ 2~ (г, г') т) (г') с)г' = 2емм (12.52) им где ам — вектор коэффициентов (12.57); матрица Рт ' имеет элементы Р"'и = ') и е„дг, гк,м Рт ' — сопряженная матрица, так что Р"' = (Р„' ); матрица йтт ' — диагональная, причем 7)г,и И;-1 )4т (12.60) Наконец, вектор правой части имеет компоненты Р ' = ) 1 ' и 1(з.
Зх,м (12. 61) ') В. Л. Фек. 1'есиредеиеиие токов, возбуждаемых плоской волной иа пееерхиести проводника у ЖЭТФ.— 1945.— Т. 15, Л 12.— С. 893 (см. (Г. 7)). 28е Оказывается, полученные интегральные уравнения почти не усложняются при переходе от диафрагмы (см. рис. 12.7а) к серии родственных задач (см. рис. 12,7б, в, г, и т.
и.) Все сводится к тому, что в ядрах уравнений (12.51) и (12.53) происходит следующее изменение: 2Итм ' -~ 2е1п + 2„11) (см., например, [И.11), п. 1.3.4, и. 2.1.2). Импедансы 2„111 и 7„12, находятся непосредственно из базисов Трефтца для подобластей. Например, в случае полого резонатора (рис. 12.7в) с плоским проводником на границе раздела сред 2 11, = 1И~,111 1И Г 11,11 и 2„12, = 1И'„12118 Г„12,12 (Г„,1 2, и И'„11 2, — постоянные распространения и волновые сопротивления собственных волн для левого и правого волноводов).
В дашюй задаче правая часть в (12.50) илн (12.52), а следовательно, и в (12.58) равна нулю. При решении однородной системы ('12.58) ее определитель приравнивается нулю, что дает уравнение относительно собственных частот анализируемой структуры. Аналогично исследуются полосковые, щелевые и другие линии передачи [И.11, и. 2.2.2) планарного типа. Приведенные выше в 3 7.5 результаты получены этим методом.
Интегральные уравнения пмпедансного и адмитансного типов можно получить и для многих других задач, например, в случае ряда внешних задач (см. рнс. 12.6г и т. и.). Мы рассмотрели только один путь получения интегральных уравнений, связанный с существованием бааисов Трефтца. Интегральные уравнения электродинамики весьма разнообразны и существуют разные способы их вывода.
Наиболее типично использование различных функций Грина, которые в случае внешних задач электродинамики известны в замкнутой форме. Воооще прн решении внешних задач получение интегральных уравнений наиболее распространено [Г.5, И.4, 51. Запишем одно известное') интегральное ГЛ. 13. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ 1 13.!. ДИСКРЕТИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 437 у равнение: 1 Ж 2 т((г) — 4 ) '[)г — г'(' + [г — г'()[то [Ч(г'), гэт))е ' ' (3'= = [то Но(г)) (12.62) (ср.
подынтегральное выражение в (9.17) ). Оно относится к задаче дифракции волны Ес, Нс на идеально прово(гала) и ","а дящем теле $' с поверхностью 8 (рис. 12.8). Если в результате решения этого уравнения найдена плотность поверхностного тока Ч на 8, то поле дифракции определяется при помощи формулы (ОЛ7) с заменой объемных величин на поверхностные (как в (9.59) ) . Рзс. 12.8 Уравнение (12.62) широко используется в численных исследованиях (см., например, [И.5]).
Глава 13 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ й 13Л. Дискретизационные методы 13ЛЛ. Коллокации. Рассматривая некоторую задачу, сформулированну1о в виде (12.3), выделим в области существования решения систему точек, как это схематически показано на рис. 13.1а. Сохра- ( о[ — ~ '— х а Рзс. 13.1 няя представление решения (12.5), вместо проекционной формы (12.6) просто потребуем выполнения равенства .'Уи'"(г,) = 1(г;) (13.1) (1 = 1, 2, ..., 13"), что приводит к системе 13' алгебраических уравнений относительно Х неизвестных коэффициентов представления (12.5): Х Я".2'и ( ) =-1( 1). (13.2) и 1 Это лоллолационный метод нахождения приближенного решения задачи (12.3), сводящий ее к алгебраической задаче (13.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
