Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Ч 3.8). Функ)(ил Л (в!) явля»в!сл сопряженной (по Гильберту) !))рн!и)ии !р (в!), Яак как А (в) есть четная, а !р (в) — нечетная функция, то А!в) ~А( ~ ! 1 ) ОС о 2в! —, йв, А !в) в» -в( ) ~ =~ "(.-'- — '- )""- СЮ = 2 — йо. Р вФ (в) в» -»!', Подставляя эти результаты в предыдущие выражения, приходим к следующим окончательным формулам: 2в! !" А (в) ф(в) = — ~ —.,-с(" и в! — в,( 2 ! вФ !в) А(,)= — ~ — '. й я О'-в( (15.9) (15.10) Наложим условие, что функция 8) (р) не ииееп! пслюссе е при»ой р-полуплссихти.
Тогда по теореме Коши интеграл в левой части (15,8) равен нулю. Приравнивая в(15.8) левую часть нулю и, кроме того, заменяя 8) (ио) по уравнению (15.5), приходим к выраже.- нию (л(„,)+)ф(в„И+ Г + Г 1 О, 1 ° 1 Г А(в)Лв 1 Г Ф(в»В 2 2л*,) в — в! 2п,) в — в! Итак, фазовая характеристика ср(се,) при какой-либо фиксированной частоте со, выражается через логарифмическое затухание А (св), причем последнее интегрируется в пределах от ю = О до се =- со. Аналогичное правило относится и к логарифмическому затухани1о.
Таким образом, для определения одной из характеристик на какой-либо частоте необходимо знать изменение другой ао всем частотном диапазоне. Переходя в выражении (15.9) от А (се) к К (в) по формуле (15.6), получаем искомую зависимость между фазовой и амплитудно- частотной характеристиками: (15.11) ав — ю) Оговоренное ранее условие отсутствия полюсов функции 8 (р) в правой полуплоскости равносильно условию отсутствия полюсов и нулей функции К (р) в этой же полуплоскости (так как в точках плоскости р, где К (р) равно нулю, )п К (са) обращается в — сс), Поэтому можно сформулировать следующее важное положение: однозначное соответствие между амплитудно-часпштной и 4аювой характеристиками имеется толька у четырехполюсников, передаточная фуккяия которих К (р) не имеет нулей в правой полуплоскости р.
Четырехполюсники, соответствующие этому условию, называются м и н и м а л ь н о-фа во в ы м и. К таковым относятся обычные колебательные цепи, фильтры и цепи, в которых отсутствуют перекрестные связи. К н е м и н и м а л ь н о-ф а з о в ы м относятся мостовые и некоторые другие специального вида цепи. Итак, если требуется, чтобы синтезируемый четырехполюсник являлся минимальио-фазовым, передаточная функция К (р) не должна иметь нулей в правой р-полуплоскости. В этом случае оба полинома Р (р) и !',) (р) в выражении (!5.1) должны являться полиномами Гурвица. Остановимся на некоторых свойствах характеристик минимально-фазовых четырехполюсников. Из выражений (15.9), (15.!О) видно, что величины входящих в них интегралов определяются характером изменения А (св) и ср (ю) вблизи частоты мо так как при удалении са от с», абсолютная величина дроби 1/(сва — се!) быстро убывает.
Заметим, что интеграл от этой дроби, меняющей свой знак в точке се = ам взятый в пределах от О до со, равен нулю'. Поэтому, если допустить, что для некоторой физической цепи затухание А (са) = Ае, т. е. является постоянной величиной для всех частот от О до со, то ло ч (се ) ~й ( О йсо п,) юа — се! е 1 Имеется е виду' гласное аиачеаие интеграла с исключением особой точки, Следовательно, равномерное для всего диапазона логарифмическое затухание (а следовательно, и равномерную амплитудно- частотную характеристику) можно получить только для цепи, фазовая характеристика которой равна нулю, т. е. если цепь состоит из чисто омических сопротивлений, С другой стороны, добавление к затуханию А(в) постоянной величины А, не язменяет фазовой характеристики, так что выражение (15.9) можно записать в более общей форме Физически это означает лишь изменение масштаба амплитудно- частотной характеристики с помощью, например, усилителя, имеющего равномерную амплитудно-частотную характеристику, илв с помощью делителя напряжений (потенциометра), составленного нз чисто омических сопротивлений.
(Б первом случае А, нужно брать со знаком плюс, во втором — со знаком минус.) Можно также показать, что если вблизи рассматриваемой частоты в, функция А (в) изменяется слабо, то определяемая выражением (15.9) фазовая характеристика изменяется лнпейно; участкам же диапазона с относительно быстрым изменением А(в) соответствует нелинейное изменение Ч (в).
Иными словами, участкам, с равномерной амплитудно-частотной характеристикой соответствует лннейная фазочастотная характеристика. Кроме того, при прохождении К (в) через максимум, т. е. в полосе прозрачности цепи, наклон фазовой характеристики отрица) )ч(в) гелен ~ „~ 01. Соответственно при прохождении через минимум (в полосе непрозрачности) наклон фазовой характеристики ГйГ (в) положителен ~ — ) 0~. Эти положения хорошо иллюстрируются, Й~ в частности, амплитудно-частотными н фазовыми характеристиками колебательных цепей, рассматривавшихся в 9 5.7 (например, резонансная и фазовая характеристики на рис. 5.18). 154.
НРедстлвление четьяРехпОлюсникА ОБИ(еГО ВидА ИАскддным соединением элемеитАРных четыпехполюсникОВ При заданных нулях и полюсах передаточную функцию К(р) целесообразно представлять в виде произведения множителей, каждый из которых может являться передаточной функцией простейшего, элементарного четырехполюсника. Пусть, например, передаточная функция сннтезируемого четырехполюсника К(р)- " (15.12) (Р— Рм) (Р я~в) (Р Риз) обладает нулем в точке р = О и тремя полюсами, из которых один вещественный н точке Р,„.. Ои два комплексных: р, и Р„, = Р з. Учитывая равенство (Р Р~Й(Р Рпд) Р 2 ие(Раз)Р + !Риз) ° (15'18) записываем (15.12) в форме К (Р) —— % Р 1 ьв (Р— Рш) Ф-зйе (Риз) р+1Р з й (Р) Кз (Р).
(15.14) /ь Передаточная функция К, (Р) реализуется звеном первого порядка (/сС-цепь или Н.-цепь). Действительно, для /(С-цепи (рис, 6.6, а) при съеме напряжения с резистора передаточная функ- ция Р р А+ ./С +1//1С (15.15) откуда следует Р„, = — 1%С, РС = — 1./Р м При использовании И,-цепи (рис. 6.7, а) К (Р)= К+ СР Р+ й/Е (15.15') откуда Р„, = — Я/Х., Функция Кз (Р) реализуется звеном второго порядка. Этот вопрсю подробно рассматривается в следующем параграфе.
При синтезе неминимальио-фазового четырехполюсника разбиение его передаточной функции на простые множители имеет некоторые особенности. Поясним их на примере функции К(Р) =Д (15.16) Р Риь где Рм — вещественнаЯ положительнаЯ величина, з Р „— вещественная, но отрицательная величина (рис. 15.2), Умножим числитель и знаменатель в (15.16) иа р + рее 'Тогда К(Р)=Д '+'и .'='" =К„,„(Р) К„,(Р), (15.17) Р— Ры Р+Рм где К, (Р) — В— Р-Рт (15.18) Р— Рм Р+ Рм (1 5.19) обозначает передаточную функцию минимально-фазового четырех- полюсника (посколькУ нУль Расноложеи в точке Р = — Рен т, е.
в левой полуплоскости), з — передаточную функцию четырехполюсннка неминимально-фазового типа. Правая часть выражения (15.17) соответствует передаточной функции двух каскадно-соединенных четырехполюсников. Следовательно, рассматриваемый четырехполюсник с передаточной функцией К (р), определяемой выражением (15.!6), можно заменить эквивалентным каскадным соединением двух четырехполюсников К„(р) и Кн (р) (рис. 15.3). ! Ияф ИНФ 1 Рнс. !5.2. Расположенне нуля н полю.
Рнс. !5.3. Схема аамепгення четырсхсв на р-плоскости лля немнннчально- полюсннка с нулем в правов р-полу- фааового четырехполюсвака. плоскости. Рассмотрим подробнее второй четырехполюсник Кае. Переходя от р к ио, записываем эту функцию в виде (15.20) К, (!от)= Гю+Ряк Так как р„— действительное число, то модуль этой функции равен единице на всех частотах от от = О до оо. Аргумеггт же гР (со) =- агй (йо — Рот) — агй (!от + Р,) = — агс!и Рея ю ю — агс!и — = — 2агс(д— Рю Рит Таким образом, передаточная функция К (!отт е-гя ага~я мта„ нэ( )= (15.2!) Итак, четырехпопюспик с передаточной функцией вида (15.20) должен пропускать (равномерно) все частоты от О до о, Такие четырехполюсникн, позволяющие осуществлять коррекцию фазочастотной характеристики при неизменной амплитудно-частотной, называются фазокоррсктирующими контурами.
Реализация таких цепей рассматривается в э !5.5. Трактовка выражения (15.14) как передаточной функции каскадного соединения взаимно независимых четырехяолюсников К, (р) и К, (р) позволяет задачу синтеза сложного четырехполюсйика свести к синтезу простых звеньев. Увеличение числа нулей и полюсов в передаточной функции приводит лишь к соответствующему увеличению числа звеньев. Естественно, такой подход нмеет смысл и допустим лишь при достаточной развязке элементарных четырех- полюгников.
Применение эмиттерпых повторителей и некоторых других устройств соврем~иной лп1кроэлектронной техники обеспечивает выполнение этого требования. В тех случаях, когда нельзя пренебрегать взаимным влиянием элементарных четырехполюоников, приходится прибегать к более сложным методам синтеза, излагаемым в специальной литературе (7 — 9).
1З.З. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИНОВОГО ЗВЕНА ВТОРОГО ПОРЯДКА Передаточную функцию элементарного четырехполюспика в соответствии с (15.14) зададим в форме К (р) и ае, (15.22) Ре — 2не (Ра) Р+(Ра (з Рз+отР+Ье где постоянные коэффициенты Ь, = — 2 )4е (р„), Ье = (ра ('. Рассмотрим сначала реализацию функции К (р) с помощью цепи, содержащей катушку индуктивности 1., конденсатор С и резистор )е (рис. 15.4).
Сопротивление резистора, являкицегося нагрузкой . четырехполюсника, считаем заданным. Один из зи аа ™г элементов цепи Язв, Яз должен быть Ь= Зхе индуктивным, а другой — емкостным. Под источником тока, возбуждающим цепь, можно подразумевать, наприРис. !5.4. Реализация типового звена второго поряииа„ мер, коллекторную цепь транзистор- ного усилителя, работающего по схеме ОЭ (см. 2 5.4, рис. 5.12, б), Внутренней проводимостью источника тока пренебрегаем. Величина тока 1, равна 5Ви где В. --напряжение база — эмиттер. Напряжение на элементе Лез можно определить выражеиием Уее (Ее+ АЧ ЯЕе Д|т+ 2з+ Л а напряжение на резисторе )7 выражением Ве = и Я Хте (Ее+ Л) ()та= — ГАВР Ю+Хв (Н+ЖИ (хм+хе+к) Следовательно, К(р) = 'е =Я '" .
(15.23) тте+ та+ о Из сопоставления этого выражения с (15.22) очевидно, что для получения вещественного числителя следует задать Ятз = 1(Ср и Яе = йр. При этом получим К (р) ~1~ ' "' ' (15.24) Ср'( — + ар+д~ ~рв+ — р+ — ) Сравнение (15.24) с (15.22) приводит к равенствам ЯД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
