Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 95
Текст из файла (страница 95)
14.12. Сопоставление этих функций с функциями Радемахера (рис. 14.1!) позволяет составить очевидные, по крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения ша! (О, О) = ге~ (О)га (О) = 1, тва! (1, О) = г, (О) гэ (О) = в, (О), ша! (2, О) = г, (О) г, (О), ууа! (3, О) =- г7 (О) г, (О) = в, (О). м1(46 па 1(Ю ай 1й св1др! Ю е!Х ур Ряс. 14 12 Первые весемь фуяяпв» Уолша в вх яуыерапвя прв разаввных спо- собах упсряппчеввя. Нетрудно также проверить правильность оотношений: ча! (4, О) = г1 (8) га (9) г„(0) = га (8) га (8), эа! (5, 8) = =г, (8) г, (0)г, (О), ага! (6, О) = г, (8) г3 (8) г, (8) = г, (8) г, (О), в*а! (7, О) = = «1 (О) .", (9) ., (9) = г, (8).
Итак, каждая функция Уолша ч(а! (в, О), входящая в систему нз !и' = 2" функций, является произведением степеней первых л функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих степеней поясняется табл. !4.1 на примере (к' = 2' = 0 1аел ица ра! г((В) к гг(В) к, а(В) ака(ьВ) ГГВ(В) к ГГВ(В) . ГВ(В) " яа!(ВВ) гг(В) гхВ(В) гзВ(В) = еа!(4В) гг(В) ги(В) к г~а(В))Г ма!О,В) гг(В) и гав) и /д(В) ака(йд г(В(В) к гг(В) к +й " еаЩВ) ггг(В) и гг(В) гг(В) = хн!ЖВ) ГГ(В) и ГГ(В) и Гк(В) = аЧЩВ) гг(В) кг. (В) «г~~(В) Яа!(гВ) В этой таблице использованы следующие обозначения! в— номер функции в системе; в,„— ат й разряд представления числа в в двоичной системе счисления, т. е.
в=(в,ва в ...в„)„=в,2"'-!-в,2" а+...+в,„2и- -1- к 2о ~ н, 2а-~ ~~ в щ+ 2~-ак и=1 ы=1 в =О;1,в„=О; (14.28) ГΠ— символ поразрядного суммирования по модулю 2 по правилам 1 Ю 1 =0 (О 0=0, 1 ~ 0=0 (О 1=1 (14 29) Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого »у 2 в виде следующего соотношения: ь ща1(в, О)= П[гь(9)! -ьые"' -ь. (14.30) ь=! Поясним применение (14.30) на примере шестой функции Уолша (в = 6), входящей в систему размером Ф =- 2а = 8.
Произведение в (1430) состоит из трех множителей (при е = 1, 2 и 3) вида [г, (О)]ь*в"'*, [г, (9)[" е" и [га (9))""ф"*. Подстановкой в лезУю часть (14.28) в = 6 и и = 3 получаем I гх см~~б т т а=ь 6 = в 2' [- в 2' + в У' аг ! 1 т в ни[с угту а г откуда следуют равенства — -в=г в, = 1, ва = 1;в„=О. а[а!г.-ГД4 гд ! Таким образом, (г.тг'-5 Р=Ф .Ещ=ОЕ1=1, ,Е =!э!=0. 1Ртт в Вв„=1(90=1 Рнс. [4л3. четнссть номеров кесннусонлаль- н по фоРмУле (14.30) ных н некетность номеров сннусонлальных, ° О .О. ь ° ° функций. х ., (9) - ., (О) ., (9). Из рис.
14.12 видно, что четным относительно середины интервала определения (О = 0,5) функциям ва! (в, 9) соответствуют четные номера в, а нечетным функциям — нечетные номера. Такое взаимно однозначное соответствие между четностью функций ва! (в, О) и четностыо их номеров в аналогично свойствам тригонометрических функций соз!1с — 1~ и з!п[гс — г' (см. рис. !4.13». ту'[,т Поэтому иногда применяются обозначения са (1, 9) для четных и за! (1, 9) для нечетных функций Уолша.
Легко проверить, что функцяи са! (1, О) и за! ([, 9) связаны а функциями ьуа[ (и, О) следующими соотношениями: са! О', 9) =- тна! (21, О); за[ ([, 9) = уха[ (21 — 1, О). Эти обозначения указаны на рис. 14 12. Способ нумерации функций в системе называется у п о р я д оч е н и е м. Функции Уолша, сформированные посредством выражения (14.30), упорядочены по Уолшу. Т в б л н в в 14.2 Часто применяются функции Уолша, упорядоченные по Пали (ра1 (Р, 8)1 н по Адамару [Ьад ()1, 0)Р. Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие систему из И = 2' функций, всегда можно представить в виде произведения степеней первых и функций Радемахера.
Принцип же нахождения показателей этих степеней индивидуален для каждого упорядочения. Так, для упорядочения Пэли принцип нахождения этих степеней поясняется табл. 14.2 на примере А1 = 2' = 8. В этой таблице по аналогии с (14.28) номер р функции ра! (р. 8) имеет двоичное представление Р=(РвРв-. Рт."-Рп)е = ~ Рь-т+~ 2'" '. (14.28') п=1 Очевидно, что аналитическая запись функций Уолша в упорядочении Пали имеет следующий вид: ра! (Р, 8) = П !га(6))ла "+в.
(14.31) а-1 ' Обозначении рв! (Р 6) и над (д 6) обрввованы ив начальных букв Фамилий ра(еу и Набвсвагб соответственно. мьь Сравнивая способы образования показателей степеней функций Радемахера на примерах табл. 14.1 и 14.2, легко приходим к выводу,, что двоичные разряды номеров функций Уолша, упорядоченных и"- Пэли, связаны с двоичными разрядами номеров функций Уолша, упорядоченных по Уолшу, следующим соотношением: (14.32) Рт = шип — г Ю шш. Итак, переход от упорядочения по Уолшу к упорядочению этих функций по Пали выражается и перестановке этих функций в системе по закону (14.32). Функции Над (6, О) можно сформировать с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара Н„порядка й = 2' называется квадратная матрица размера !у х !у с элементами !- 1, такая, что Нв х Ни =И!, где 1 — единичная матрица, а т — знак транспонирования.
Нормированную матрицу Адамара порядка В можно построить рекурсивио, т. е. Ни= 1 Нм/э ~Ьг2 при Н,=!. ~Няд — Ни~х1 (14.3Я Так, например, Н, — Н, 1 1 1, '! ! 1 — 1 1 — 1 ~0, Н,~ и т. д, 1 1~ — 1 — 1 1 — ! ! — 1 1 Функция Уолша, упорядоченная по Адамару, т. е. Ьад (Ь, О) с номером й, является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам элементов й-й строки матрицы Адамара.
Под длительностью импульсов подразумевается (1/Н)-я доля интервала 1О, 1). Лля иллюстрации связи между функцией Над (й, О) и матрицей Адамара, а также для определения места этих функций в системе приведем матрицу Адамара для !У = 8 =- 2а, заменяя 1 и — 1 зна- ками соответственно плюс и минус: + +1+ + + — ~ + ! 1 1 + + ! + 3 + + + ' + ! ! ! — + ~ Ач й А, йз а, б ~в й, Взаимосвязь между упорядочением по Адамару и Пали определяется соотношением Ах = Р,-х+ (14,34) где а = !оп, !у.
Нумерация первых восьми функций Уолша при различных спо- собах упорядочения дана в табл. на рис. 14.!2. Следует указать, что введенные выше упорядочения вытекают из свойства симметричности матрицы Адамара, заключающегося в том, что транспонированная матрица совпадает с исходной: 11а =- Пл~. Как видно из предыдущего, введенные упорядочения отвечают симметричности соответствующих им матриц. Не следует полагать, что упорядочениями Уолша, Пэли и Ада- мара исчерпываются все возможные упорядочения.. Независимо от способа упорядочения функции Уолша в дальней- шем будут обозначаться символом ва! (1, О).
Функции Уолша ор- пшнормиросаны на интервале О = О ( 1: ~ ша1 (А, 8) чга! (1, 8) с(8 = ~ !1 при й=(, (14.35) О при А.ф(. о Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т. е. перемножение двух функций Уопша дает другую функцию Уол- ша, причем юа! (А, 8) ва! (1, 8) = чи! (й Щ 1, 8). (14.36) Функции Уолша аа) (1, 8) обладают свойством симметриии, проявляющегося в том, что все выводы относительно 1 справедливы также и относительно О. Так, например, свойство мультипликативности (14.36) о учетом свойства симметрии запишется в виде уча! (1, 8,) ва) (Е, 9,) = тча((1, О~ Э Ох).
(14.37) Умножение любой функпии Уолша самой на себя дает функцию нулевого порядка ша! (О, 8), так как в результате получаются только произведения вида (+ 1) (+1) и ( — 1) ( — 1). Таким образом, ша! (ю', 8) па! (ю', О) = тча! (О, 8). Очевидно также, что умножение тча( (1, 0) на тча! (О, 9) не изменяет функцию ьча! (!, О), Функции Уолша иногда определяют на интервале — '/, ~ 0 ( =. т/в. ПеРвые восемь фУнкций на Указанном интеРвале пРедставлены на рис. 14.14.
Функции Уолша могут служить базисом спектрального (негармонического) преднм(йд ставления сигналов. Любую интегрируемую на интервале 0 ~ 0 «. ! функцию / (О) ., !(А,д можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша ре еаЩе/ / (О) = А (О) + А (1)уча! (1, 0) (ь ибС4,4 + А(2)уча! (2, О)+ ...+ + А (1) тча! (1, О) + ... (14.38) ьни4Ю/ с коэффициентами ввь!7Ф х л А (е) = ~ / (О) ~ча! (1, 0) с!О, О = !/Т. в (14.39) Рис. !4.14. Первые васень функций Уолшв нв интерввле — Од(0(05. Вне интервала (О, 1) ряд (14.38) описывает периодическую функцию / (О + /е), где й — любое целое число.
На рис. 14.15 изображены первые 16 функций Уолша. Некоторые особенности разложения непрерывных функций по системе Уолша иллюстрируются в 3 14.5 на примерах. Как уже ранее отмечалось, функции Уолша хорошо сочетаются с современной микроэлектроникой и могут быть легко сформированы с помощью ключевых схем. Один из возможных вариантов схемы генератора первых восьми функций представлен на рис.
14.16. Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе основан на выражении (14.30), т. е. нв перемножении степеней трех функций Радемахера: г, (0), гв (О) и г, (0). Функция г, (0) получается непосредственно от генератора меандрового колебания. Вторая функция г, (9) получаетсяи з г, (0) удлинением периода этого колебания в два раза. Это достигается с помощью триггера, запускаемого положительными импульсами (с выхода дифференцирующей ИС-цепи и диода), возникающими в начале каждого периода входного меандра. Аналогичным способом из г, (О) получается функция г, (9). Полученные функции г, (О), ге (9) и г, (О) поступают либо непосредственно на выход генератора, либо на перемножители У.
Каждый перемножитель представляет собой устройство совпадения, обладающее следующей таблицей истинности: Вызеа о 1 о 1 устройство запускается импульсом, который одновременно устанавливает' все триггеры в состояние «1». Ю 45 у Рис.
14.1Б, Нумерации фуииций Уолша при различных способах упорилочеиии, Размер аазиез В 1б. ха!(й Р/ паЧ1 р/ м ма/йг/ апЩву ев!(ЕР/ ма/Ер/ пай/747 Рнс 14.!б. Генератор первых восьми функпиа Уовша. Риэ. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕИИЯ ФУНКЦИЙ УОЛША Ен 1. Определение спектра синусоиды а (/) еип — / (рис. 14.!7, а) в базисе функций Уолша.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
