Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 91
Текст из файла (страница 91)
74) 2. Рекурсивный фильтр первого порядка (рис. 13.15) Передаточная функция (13.42) преобразуется к виду К (г) =-1/(1 — Ь! з ') =з((г — Ь!). (13.73) Эта функция имеет нуль в точке гя = О и полюс в точке г =- Ь,. Определим импульсную характеристику фильтра с помощью формулы (13.69). Представив К (г) в форме геометрической прогрес- сии Из данного примера видно преимущество рекурсивного фильтра перед нерекурсивным.
Для получения приведенной выше импульсной характеристики требуется всего лишь один элемент памяти Т, а в случае нерекурсивного — большое число (теоретически бесконечное). В рекурсивном фильтре это преимущество достигается благодаряя циркуляции импульса по кольцу обратной связи с задержкой Т. Представив Ь, в форме Ь, = е ~г, запишем выражение (13.74) в виде йг(/)= ',"', е — ""гб(/ — Ь7) =е — ' ~Р 6(/ — ЙТ), (13.75) а=о е-а из которого следует, что дискретная импульсная характеристика рассматриваемой цепи совпадает с последовательностью выборок импульсной характеристики непрерывной /тС-цепи, постоянная времени которой отвечает условию Ь =е — г=е — г/лс или ВС=Т/)п(1/Ь,). При этом, однако, амплитудно-частотные характеристики двух цепей существенно различны, Для дискретной цепи АЧХ определяется формулой (13.43), а для аналоговой цепи выражением На рис.
13.23 сравниваются АЧХ /( „,„р дискретной цепи (нормированной по максимальному значению) при Ь, = 0,2 с АЧХ Кяс (при г(С = Т /!п(1/Ь,)). Деформация АЧХ дискретной цепи обусловлена гребенчатой структурой передаточной функции (см. 2 13.5) и наложением хвостов АЧХ соседних частотных интервалов. 3. Рекурсивный фильтр второго порядка (рис. 13.24) Передаточную функцию запишем сначала в форме К (з) = 1/(1 — Ь~ з г — Ьр 3 ~) = 8 /(2 — Ьд 3 — Ьз) = = гт/(г — г„,) (г — г„), (13.76) соответствующей случаю а, == 1, а, = О, а, = О, когда нули передаточной функции (в данном случае двукратный нули) имеются только в точке г = О, т.
е. в центре окружности единичного радиуса. Корни уравнения г' — Ь,г — Ь, = 0 (полюса) ззт а = Ь ~/2 ~ )/Ь(/4 -(- Ьм (13.77) При 1гэ ~ 0 и, кроме того, ! Ь, ~ ~ Ь,'/4 полюса г, и г . — комплексно-сопряженные числа: г г=йх/2+(ЦЬа~ — Ь174„. г,=г,',г. В этом случае (г — г„,) (г — г,) = г' — 217е (г„л) г + ~ г, откуда вьпекают следующие соотношения между коэффициентами полинома в (13.76) и полюсами г„л: Ьх = 2гсе (г, „); Ь,= — ) г„Да. ю г/г л ак — ~ ~л' Рис. 13.24.
Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка, Рис. И.23. Амплитудио-частотвая карактеристика цифрового фильтра (сплошиая линия) и аиалоговой ггб-цепи (штриховая) при эквивалентлости их импульсиых характеристик. Представив г„,ш в форме е гмчт +М г =~г х х~е " =ге (13.78) где г = ~ г,, ~ — расстояние полюса от начала координат, а гр, = = ш Т вЂ” азймут полюса (рис. 13.26), получим Ь, = 2г соз ш,Т; Ь, = — гэ. (13,79) Для определения АЧХ рассматриваемой пепи подставим в (13.76) г = е'"г и возьмем модуль ~К(е'мг) ~=Кг(ш)= 171 (егмт гегмв ) (егмг ге мп ) ~. (13.80) При заданном положении полюсов (т. е.
при заданных г и ш 7) построение АЧХ удобно производить по формуле (13.66), измеряя Йпх и К по чертежу. В данном случае с целью упрощения вычислений используем формулу (13.80) для частного случая ш„Т = 90; При этом выражение (13.80) легко приводится к виду Кг (ш 7 ) = 17 )У 1 + 2гх соь 2ш Т + га.
(13.81) Графики функции Кг (те7) гу для г = 0,75, 0,875 я 0,9375 Е представлены на рис. 13.26. 1" - 3' адат С приближением г к единице рассматриваемая цепь приближается к резонатору о 1 весьма высокой добротностью. 11! г 1 При этом, однако, возникает 111 р ) опасность потери устойчи- !11 и к ности.
1 Рассмотрим теперь передаточную функцию второго х, порядка более общего вида, 111 11 ! -! г соответствующую схеме на р ~ рис. 13.24: а„+ а! г '+ а! г "г 1 — Ь! г-' — Ьт г (г — гас) (г-гьг) . Рнс 13да. Положение полатев овФро. (г — г„!) (г — а„г) а; го фнльтра второго порядка на г-ало!кт (г) скости.
(! 3.82) рг (г) Как указывалось в 3 13.6 (см. формулу (13.40) и пояснение к ней) фильтр с передаточной функцией (13.82) можно трактовать как каскадное соединение иерекурсивного фильтра 1о передаточной функцией сгт (з)) и рекурсивного [с передаточной функцией 1/()т (г)). Такое сочетание можно использовать, в частности, в режекторном фильтре, рассмотренном в примере 1 и дополненном обратными связями для выравнивания 7яЧХ в полосе прозрачности фильтра, Рнс. 13.36. Амплатудно.частотные характеристики рекурснано!о !ральтра ато рого порядка (см. рнс. 13.2я а 13.331, 1У и' Рис 13.27. Амплитудно-частотные карактеристики рекурсивного звена с прямыми связями (!), авена с обратными связнми (П) и пнфрового фильтра в пе. лом. На рис.
13.27 показан график функции ( аг (се) (, перенесенный срис. 1З.лл(при ае = и, = 1, ат = — 2), и график Функции( 14т (ш)! при коэффициентах Ь, =0,21875 и Ьв = 0,4375, а также результирующая АЧХ 13.12. НРВОВРАЗОВАНИЕ АНАЛОà — ЦИФРА. ШУМЫ КВАНТОВАНИЯ В предыдущих параграфах при изучении дискретных фильтров вопрос о неизбежной погрешности преобразования входного сигнала из аналоговой формы в цифровую не рассматривался. Погрешность возникает при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней. Чтобы выявить лг ллл' ЦА3 характер этой погрешности вернемся к структурной схеме циф- Ф' ровой обработки сигнала, представленной на рис.
13 1, и выделим из нее два устройства: преобразователь аналог — циф- р ра (АЦП) и обратный преобразователь цифра — аналог (ЦАП). Рассмотрим сначала совместную работу этих устройств без учета цифрового фильтра л ~Р Л1 (рис. 13.1) при подаче на вход ф АЦП постоянного напряжения различного уровня ит , лг (рис. 13.28, а). Основным пара- лу метром А ЦП является число Рнс. 13.23. Преобразование Л)Н и разрядов, используемых для ко- г(1л (и), характеристика квантования днрования входного напряже- (б) и ошибка квантования (в). ния.
При двоичном коде число разрядов определяется числом двоичных элементов (например, триггеров), каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: с нулевым или ненулевым напряжением на выходе. Одному из этих состояний условно приписывается нуль, а другому — единица. При числе двоичных элементов г на выходе АЦП получается комбинация (кодовое слово) из г символов, каждый из которых может принимать одно из двух значений (нуль или единица).
Как указывалось в 9 13.1 число возможных различных комбинаций /. = 2' и определяет число дискретных уровней, на которое может быть разбит диапазон изменения входного напряжения и,. В ЦА// осуществляется обратное преобразование. Каждой комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, соответствует определенный дискретный уровень выходного напряжения. В результате при равномерном шаге квантования Л зависимость и от и, приобретает вид ломаной ливии, показанной на рис. 13.28, б.
Устройство, представленное на рис. 13.28, а и обладакхцее подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное, а разность и, — и, = д — как ошибка, погрешность квантования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолюгной величине не превышающая Л/2, с возрастанием и, остается неизменной (рис. 13.28, в). Продолжим это рассмотрение для гармонического входного колебания з (/). Колебание з,„, (/) приобретает ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания з (/) (на рис. 13.29, б показанного тонкой линией), а ошибка квантования принимает вид функции П(/) = з..(/) — з(/), (13.83) представленной иа рис.
13.29, в. При изменении в широких пределах амплитуды и частоты гармонического колебания з(/) изменяется только частота следования зубцов; форма их остается близкой к треугольной при неизменной амплитуде Л/2. Функцию д (/) можно назвать помехой или ш у м о м к в а н то в а н и я. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума квантования. При допущении треугольной формы зубцов (рис. 13.29, в) с амплитудой Л/2 средняя за длительностьодного зубца мощность равна '/,(Л/2)' = Лз/12, Так как эта величина не зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя мощность шума квантования (И.84) Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный.
Отличие лишь в том, что функция д (/) будет случайным процессом из-за случайного характера длительности зубцов. Нетрудно вычислить и отношение сигнал — помеха при квантовании, При высоте ступени Л и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦ//, равном /., амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины ЕЛ/2, а сред- няя мощность сигнала величины г~,(ЕЛ72)е (во избежание ограничения сигнала)..
Следовательно, отношение сигнал-помеха при квантовании гармонического колебания Р,!Ре (~ Зйе)2. (13.85) Так как число уровней Е связано с числом двоичных разрядов г соотношением 5 = 2', то выражение (13.85) можно представить в форме Ра(Ре — — (3!2)2". (13.86) Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения Р,.7Ре 3 2м/К„'е (13.87) где К,в — пик-фактор сигнала, т.
е, отношение максимального зна- чения к среднеквадратическому. Рнс. 1З.хз. Сигнал иа входе (а) и выходе (В) ннннгуюшего устройстве; поме- хе ннентоевннн (в). При гармоническом колебании К в — — ) 2, что и приводит н выражению (13.86); при случайном сигйале с нормальным законом распределения К, может быть принят 2,5 — 3 (см. у 4.2, и, 4); в атом случае Р,7Ре ж 2е"73, а среднеквадратическое напряжение сигнала не должно превышать г.Ж6. Физический смысл выражения (13.87) очевиден: с увеличением числа разрядов г очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон изменения я (г), и, следовательно, снижается перепад Л двух соседних уровней. При грубой оценке превышения сигнала над шумом квантования исходят из соотношения Р,!Ро ян 2Я' или в децибелах Ояв = (Р)Ре)дв = 101д 2" = 10.2г1д 2 6 г, (13.88) В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
