Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Рис. 1З.о. Дискретный фильтр, Рис. 13.4 Днскретиаании импульсной характеристики аналогового фкльтра. ,1 ,уЮ г ч «т При отсчете времени от начала входного сигнала выражение (13.5) принимает вид э,,(пТ)= ~л к((п — й) Т)й(йТ~. (13.5') «-о Верхний предел суммирования следует из условия, что при й) и ь'[(и — 'п)Т) = О, а нижний — из условия, что при г(0 д(() = о. Схема устройства, обладающего требуемой дискретной импульсной характеристикой дг (1), представлена на рис. !3.5.
На этой схеме буквами ам ам аа, ..., ан обозначены не зависягцие от частоты коэффициенты усиления, а Т вЂ” идеальная линия задержки; задержка совпадает с темпом поступления выборок сигнала з (т). Подбором коэффициентов ае = д (О), а, = д (Т), ак = й' (2Т), ... можно, в принципе„осуществить весьма сложные импульсные характеристики йт (6. Очевидно, что импульсная характеристика рассматриваемого устройства должна записываться в форме аг (() = д (0)б (() + й (Т)5 (г — Т) + а (2Т)б (( — 2Т) + ... „, = аеб (Г) + а, б (( — Т) + а, 6 (à — 2Т) + ... (13.7) циентом при дельта-функции 5 (г' — АТ).
При подаче на вход схемы, обведенной на рис. 13.5 штриховой линией, дискретного сигнала зт (() на выходе сумматора Х получается дискретная последовательность импульсов зг, (1), а на выходе синтезирующего фильт. ра — профильтрованный непрерывный сигнал з„, (1). Осуществить дискретный фильтр непосредственно по схеме на рис. 13.5 можно лишь для относительно простых сигналов, обладаю. щих небольшой базой У = 2( Т,. (Т, = УТ вЂ” длительность обрабатываемой реализации сигнала.) Однако алгоритм (13.5) широко используется при моделировании фвльтров с помощью ЭВМ. Основная трудность реализации дискретного фильтра заключается также в осуществлении элемента памяти Т. Эта трудность отпадает при переходе к цифровой фильтрации, когда запоминание сигнала на любое необходимое время осуществляется с помощью двоичных элементов (триггеров).
Важным параметром дискретного фильтра является память Т, Этот параметр оказывает решающее влияние на основные характеристики фильтра — передаточную функцию и импульсную характеристику. 1З.З, ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Для уяснения особенностей дискретной фильтрации важное значение имеет выявление структуры спектра дискретизированного сигнала зг (1). Пусть заданы спектральная плотность 8 (гэ) исходного сигнала а (1) (континуального) и шаг взятия выборок Т.
Рассматривая зг (1) как произведение э(1) уг (1), где Рг (г) определяется выражением (13.1), находим спектральную плотность функции зг (г) по формуле СО 8г (ш) ~ а (1) уг (() е '"' пг'. (13.8) Ю Периодическую последовательность дельта-импульсов можно представить в виде рида Фурье ОО ур (() =: — '~~~ е'"" ', ы, = 2и/Т. (13.9) Коэффициенты этого ряда равны ИТ поскольку спектральная плотность одиночного дельта-импульса равна единице, а период повторения импульсов равен Т (см. формулу (2.55)), Подставив (13.9) в (13.8), получим 8~(ээ) — ( з(1) ~' е' 'е — ' ~г(1= Т ОЭ ,(г)в-к~~-->,ял(„.
— 8'„, т т 2~ ~ т )' л — сю,„ а — ао (13.10) Итак, спектр Вт (со) дискретивированного сигнала представляет собой последовательного спеклтрЫ Ь(ы) исходного сигнала, (/), вдвинутых один опиюситвльно другого на величину 2п/Т. Если шаг взятия выборок отвечает условию Т ( 1/2/м (по теореме отсчетов) и, следовательно, со ~~ и/Т, го отдельные спектры не перекрываются, как это показано иа рис. 13.6, и могут быть разделены с помощью фильтров на выходе устройства. Спектр дисиретизированиого сигнала приобретает периодическую форму.
Выражение (13,10) полезно для установления связи между Б (со) и Яг (со), однако в общем случае, при произвольном соотношении между Т и Ь (со), когда возможно перекрытие спектров, применение фор- 'У мулы (13.10) становится затруд- $- нительным. Кроме того, желательно иметь формулу, позво- ~ '1 / лающую находить Яг (ы) непосредственно по заданным времен- и у ~. о,= —.- нйм выборкам в (нТ), без обращения к спектру я (со) исход- Рис. 13.6. Спектр днскрстнаироианионого континуального сигнала.
го сигнала. Такую формулу легко получить, если преобразование Фурье применить к выражению(13.2). При отсчете времени от первой выборки в (О) получим Зт(со) =~ вт (1) е — ™ сУ = ~е-'"! ~ а(АТ) 6(( — АТ),Х)= о о л-о О~ ОО Ю з (ЙТ) ~ е — им 6 (/ — АТ) й( = ~а в (АТ) е — амг. (13.11) Реальный сигнал аппроксимируется с помощью конечного числа отсчетов, При числе отсчетов й) выражение (13.! 1) принимает вид (ьТ) —.
аг (13.12) Прн использовании ЭВМ требуется дискретизация сигнала как во временнбй, так и в частотной области. В последнем случае частотный спектр Ят (со) определяется совокупностью своих значений Бг (пы,) на дискретных частотах ы = нсоо В ~ 2.15 было установлено, что число степеней свободы сигнала одинаково как по времени, так и по частоте. Частотный интервал лую~ а "а "Р Р,-2 Лу. ' п 1 ,,~ „, к, и и а сами оригиналы а (0 и и (/) (см.
сноску на с. 476). 2« — ! — «« И вЂ” ! и — ! Ьт(по!!)«« ' 2(АТ)е-'""'т= ~ з(йТ)е «=о «=а и =О, ~ 1, ~ 2, ..., ~ (Л! — 1)/2. (13. 13) Соотношение (13.13) называется дискретноьи преобрг«эовапиел Фурье (ДПФ), При увеличении ! и[ свыше (Л! — 1)72 функция Ьг (п«о,) повторяется периодически. Поэтому 8г ( — «О!) можно приравнять Зг [(Л! — 1)ао!), соответственно 82 ( — 2О22) = Яг [(Ф вЂ” 2)О2!) и т.
д. Это позволяет записать выражение (13.13) в несколько измененной форме, удобной для вычисления на ЗВМ: 82(пао!) = ~«в(йТ)е л, п=0,1,2, ...,Л! — 1. (13,13') «=а Нумерация отсчетов при нечетном и четном значениях Л! поясняется рис. 13.7, 13.8 при Л! = 7 и 8. Функция з (!) в этих примерах предполагается вещественной, поэтому частотные выборки, расположенные симметрично относительно точки п =- 0 (О! = 0), должны образовывать комплексно-сопрюкенные пары. Для выполнения этого условия выборки Ьг (поо,) должны располагаться в середине соответствующих частотных интервалов (на рис. 13.7, 13.8 заштрихованных).
В нижних частях этих рисунков в скобках обозначены номера отсчетов, соответствующих отрицательным значеяиям -и, после сдвига отсчетов вправо на Ф частотных интервалов. Как при четном, так и нечетном Ж полная ширина спектра 2О2 = Л/Оо«, Можно ввести и понятие обратного дискретного преобразования Фурье, По аналогии с парой преобразований Фурье (2.48), (2.49) дискретное обратное преобразование можно определить как и — ! ! л« з (АТ) = С '~ 82 (па!!) е и, 72 = О, 1, 2, ..., Л! — 1, «=о Для определения постоянного коэффициента С подставим в это выражение Бг(п«о ) из (13.13'): и — ! !'и — ! 2(йт) = С ~ч.
~ ч.", в(тТ) е л=а и=а 2« И-! и — ! С ~ч~ з(тТ) ~', е лы ! — «« 2л е л!«-«!! т=а Так как Оо = и(Т, то О2! = 2п7УТ. Это соотношение согласуется с определением Ьсо = 2п/Т, в Э 2.!5, поскольку произведение Л7Т имеет смысл длительности Т, исходного (континуального) сигнала. Подставив в выражение (!3;12) ОО = пОо„получим формулу для определения чпвтотнык выборок г Г б а ар унр и июма~ Рис. 13.7. Днскретное преобразование Фурье, Нумерация отсчетов ири нечет- ном Ф. -4 -у -Р -у д у с Ю 4 а а 7 а а д т г,т а Х а 7 еууп Г-а~ М ~-~~ ~-у1 ~~~ Рис. И.Ь. Нумерацвв отсчетов прн четном УУ. При и! ч1 й йНУтренная сумма обращается в Ж, а при любом другомм знайений пт' — ". в нуль (как сумма векторов, концы которых делят окружйость единичного радиуса на равные дуги).
Следовательно, в правой части остается одно слагаемое С з (йТ)зз!, из чего вытекает равенство С = 1/Ж. Таким образом, обратное дискретное преобразование Фурье, принимает следующую форму: и ! 2д ! ! — ы з(йТ) = — ~ Ьт (позДе и, А=О, 1, 2, ..., )з! — 1. (13.14) Как и при прямом ДПФ, вие интервала О» й» 7з! — 1 функция з (АТ) продолжается периодически.
Некоторые из свойств непрерывных преобразований Фурье, рассмотренных в 3 2.7, нетрудно сформулировать также и для ДПФ, 1. Линейность преобразования: спектр суммы (разности) дискретных сигналов равен сумме (разности) их спектров. 2. Сдвиг дискретного сигнала во времени. Повторяя рассуждения, приведшие к выражению (2.57), нетрудно показать, что если сигналу з (Г), представленному совокупностью отсчетов з (йТ), й = = О, 1, 2, ..., зз! — 1, соответствует ДПФ Ьт (позД, то сигналу з-р.ав з(! + тТ), где пз — целое число, соответствует ДПФ е " Ьт(пыД.
Ииьзми словами, сдвиг последовательности отсчетов на я!интервалов приводитлишь к изменению фазочастотной характеристики 2я ДПФ на величину — шп (теорема запаздывания). рт 3. Теорема свертки. Если ДПФ Эт (позД соответствует дискретзт — ! ному сигналу зт (1) = ~, з(йТ)6 (1 — АТ), а ДПФ Ст(позД вЂ” сито=-о м — ! налу ут (О = Х я (АТ)6 (1 — АТ), то произведению 8! (позДбт (поз,) о=о соответствует сигнал у(тТ)= '~' з)(т — А) Т)п(йТ). Вывод зтого выражения аналогичен выводу (2.64) [см. также (13,7)). В предыдущих главах отмечалось, что ограничение сигнала одновременно по длительности и по ширине спектра неосуществимо. Представление сигнала конечным числом импульсов )Ч и конечным числом частотных выборок У неизбежно сопровождается некоторыми искажениями формы сигнала.
Однако эти искажения проявляются не при переходе от з (йТ) к Ят (тиоД или при обратном переходе от Ят (позД к з (АТ) с помощью преобразований И3.13), (13Л4), а при переходе от дискретного представления к континуальному. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе, 1ЗЛ. ПОГРПШГ!ОСТЬ Днсдрстйздц11И СИГПАЛОВ коивчиои длиткльиости В 2 2.14 отмечалась противоречивость требования ограничить сигнал одновременно по длительности и по спектру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
