Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Поэтому контур интегрирования можно свести к окружности радиуса г = 1 с обходом полюсов вне круга, подобно тому, как на плоскости р = о + >е> интегрирование ведется по оси >а> с обходом полюсов, лежащих на этой оси, справа. С учетом этого условия, выражения (13.54), (13,55) в дальнейшем будем записывать в одной из двух форм: 1 ! Р 5(г) ги>г — > а>г Т Ы >г »= (13.56) — с бесконечным числом обходов окружности единичного радиуса; е(пТ) = — ~> 8 (г) г'" — '> >(г 1 г 2я! (13.57) ! г>=> — с одним обходом окружности единичного радиуса, Интегрирование по окружности г ) 1 из дальнейшего рассмотрения исключается, поскольку положение поляков функции К (г) вне круга г ) 1 соответствует неограниченно возрастающим вреыеинь>м последовательностям, не имеющим физического смысла.
При применении выражения (13.56) следует учитывать полезное соотношение 1 1 — — е«пыт- и 7'е«т с( г т т гя« Р =! Π— 1 е'"'~йо=б(1) 2п ) (13.58) (см. выражение (3.17)). Приведем в заключение да у от о р о и и е е г-преобразование, получающееся подстановкой е"' в (13.23).' 8(г)= г~ а(йт) г — «+ Ъ„«( — тТ) г'" — а(0)= «е а лю а =Я+ (г) +8 [г) — а(0). (1ч 59) При четной функции з (1) второе слагаемое в правой части (1о.69) можно принести к виду 8 (г)= ~', а( — тлТ) ~"= ~~ а(тп7) г-"= (л«7) ( 1 ) =8 ( 1 ). «=" е Таким образом, при четной функции а (г) выражение (13.59) переходит в 8(г) =8,(г)+3, ( — ') — з(0) = У з(йт) г-'. (13.60) «= — с« В этом выражении 8 к обозначает одностороннее преобразование.
Обратное г-преобразование производится с помощью выражений (И.56), (13.57). 13.10. л-пРБОБРАзОВАние пеРеддточным ФункциЙ диекРетным цепей Применим г-преобразование к передаточной функции дискретной цепи. Подстановка е«т = г в выражение (13.40) лает К(г)=8,„,„(г)18(г)= Х а«г-*/ ~1 — ~ б«г-" (1361) ««« Из этого выражения видно, что передаточная функция дискретного фильтра является дробно-рациональной. По заданному выражению (13.61) легко составить уравнение вида (13,38), определяющее алгоритм преобразования входной импульсной последовательности в выходную. Лля этого каждому из слагаемых вида в ((и — я)Л в уравнении (13.38) достаточно приписать коэффициент а„прн степени г " в числителе, а слагаемым вида в ((и — )))т) коэффициент о„при степени г г в знаменателе выражения (13.61).
Следует, однако, отметить, что не всякая дробно-рациональная функция может быть реализована в виде передаточной функции фильтра. Пусть, например, передаточная функция задана в виде отношения полиномов по положительным степеням аггн+ агг '+-- +ан (13.62) ь„г — ь,гм —...-ьм м м — 1 Разделив числитель и знаменатель на Ь гм, приведем это выражение к виду аг аг и-иаи г н — и 1 г н — и 1 1 + г ь.
ь„"' ь„ Ьг Ьм Ьг г ~о Если Н ~ М, то первое слагаемое в числителе (о положительной степенью г) образует в уравнении (13.38) слагаемое вида (а,)о,)в((п + А)Т), где )) = Н вЂ” М г О, соответствует импульсу з (и + я), опережающему во времени входной импульс в(п), что, конечно, невозможно.
Отсюда следует, что фильтр осуществим прн условии, что степень знаменателя в (13.62) болыие или равна апепени числителя. С учетом этих замечаний запишем передаточную функцию в следующих эквивалентных формах: а,+агг-'+аг г-г+... +ам г К (г)— ) — Ь! г ' — Ьг г-' — .. — Ьаг (13.63) ги — Ь, гл' ' — Ьг ги —... — Ьи К (г) =а„гм-и (г гсг) (г гаг) ' ' ' (г ган) (13.64) (г — га г) (г — гаг).
"(г — гам) В выражении (13,63) коэффициенты а„и Ьь следует подставлять с теми же знаками, с которыми они входят в (! 3.38). В выражении (13.64) ㄄— нули, а г, „— полюса передаточной функции; г,„и г„„могут быть либо действительными, либо комплексными числами В первом случае они расположены на лействительной оси, а во втором образуют комплексно-сопряженные пары. Нули могут быть расположены в любой точке плоскости г, полюса же — только внутри круга единичного радиуса. Это условие вытекает из требовании устойчивости цепи; при рассмотрении поведения передаточной функции на плоскости р условие устойчивости требует расположения полюсов в левой полуплоскости.
Как отмечалось выше„левая полуплоскость р отображается внутрь единичного круга на плоскости г. Для перехода от функции К (г) к функции Кт (дод) следует, как зто вытекает из (13.46), приравнять г = е' дт (о = 0). Таким образом, ао+ аде !тот+ аде !дат+ ° ..-1-аи е-диет Кт(дод) — о ~ '" ™ 1 Ь е — оот З е — мат ам дмет (е' — где) (е! — год ° .. (е"'т — гои) оо (е!" — г,а) (е!" — гаг)... (е!" — го» ) (13.65) йо! иоо --. Йои Кт(од)= ао йадяа" лом (13.66) удобную для графических вычислений. Вычисления особенно упрощаются при построении АЧХ в логарифмическом масштабе: и м Кт(од)аз=20 1Д ао + 2'„1ййое ~я~~ (йй е ° (13 67) о=! о=! Если заданы нули и полюса передаточной функции, то коэффициенты а„и (де легко определяются с помощью известных из алгебры соотношений. Значительно более сложной (при М ) 2) задачей является определение нулей и полюсов по заданным ноэффициентам ао и Ь„, Передаточная функция К (г) н импульсная характеристика дт (О связаны между собой парой з-преобразований, вытекающих непосредственно из выражений (13.48) и (13.56), (13.57) при замене в первом из них з (7г7) на дт (АТ), а в (13.56), (13.57) 3 (г) на К(г): К(г)= я д(й7)г-', о — --о а.
(1) — ! ! Г~1К(З) гдгтт- Пддг Т 2а! а (13.68) (13.69) Для определения амплитудно-частотной характеристики цепи в диапазоне (О, 2яlТ) следует вычислить модуль выражения (13.65) при изменении одТ от О до 2п, т. е. при одном обходе окружности единичного радиуса на г-плоскости. При последующих обходах окружности АЧХ периодически повторяется. Модули разностей е'"'т — гя и е"т — г „являются расстояниями от точки на окружности, соответствующей углу доТ, до нуля г„„или полюса за е. Обозначив зти расстояния через )7,е и Й„е, получаем для АЧХ формулу — бесконечное число обходов контура интегрирования, оа (п7') — Я г( (л) лгп — 11 огл 2п1 3 — один обход контура интегрирования.
(13.70) 13.11. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА л-ПРЕОВРАЗОВАНИЯ 1. Нерекурсивиый фильтр второго порядка В соответствии с выражением (13.30) при Н = 2 передаточная функция фильтра, представленного на рис. 13.21, о, преобразуется в функцию н К(л) = ч' ,а„г — '=ос+а, л '+ото '"= в=о гь + — г+— ги ае о =а ге Эта функция имеет нули в точках (13.71) 1 а / 1 /аг1т а 2 аь йг 4 '1 ос) ао л1тт' Рис. 13.21.
11ифровой фильтр второго порилкв (а) и полоиеиие пулей ив л-плоскости (б). Двукратный полюс, расположенный в точке гп = О, не оказывает влияния на поведение передаточной функции. Особый интерес представляют случаи о = а, = 1 и ~ а,! ( 2, когда л„,, = — о,/2 ~ гУ1 — о,74.
Модуль этого выражения равен единице, так что комплексно- сопряженные нули л, и г в лежат на окружности единичного радиу- са. В частности, при а, = — 2 двукратный нуль расположен в точке г = 1 (рис. 13.21, б). Зтот случай соответствует широко распространенному в практике режекториому фильтру второго порядка с бесконечно большимзатуханием на частоте !о = 0(еньг = 1).
Амплитудно-частотную характеристику такого фильтра легко определить из выражения (13.71) при подстановке а, = а = 1, г — ' = е — "'г и домножении правой 1 части на ( ехьт ( = 1: ~ К (а) ( — !К (епьг) ( — ( 1 2е пят+ + е — !2иг/ (сыт 2+с — яьт(~ = 2(сох охТ вЂ” 1 ~ = 4 э(пх — . 2 (13. 72) !! д' и" ю' я!! — ь Гт График этой функции представлен 4 х Рис !3.22 (сплоца[аи линиЯ). рнс. 1з.оэ, Амплнтудно-частотная Сопоставление (13.72) с выраже- характеристика фильтра (рнс.
нием (13.35) показывает, что рас- !321,а) прн пь=! на!= — !. сматриваемый фильтр второго порядка эквивалентен каскадному соединению двухфильтров первого порядка с коэффициентами а, = 1 и а = — 1. Изменением коэффициента а, можно перемещать нули гмл по окружности единичного радиуса, что равносильно перемещению нуля А Ч Х по осп частот.
В частности, при а,=- — 'и' 2, гоь х — — (1/~ 2) (1 -5 ~ !)=е"!тмг, !о,Т=45' (рис, 13.21, б). Соответствующая АЧХ изображена на рис. 13.22 (штоиховая линия). К (з) = 1 + Ь! 3 + Ь1 а + ... и применив к каждому слагаемому выражение (13.69), получим 1 пг(Г) ! ! (1) зь!(г — !!на 1 "! ~ си!тг-я!ба+ т 2п! ~! т Ы !: !=! !г ! =5(1) +Ь, 5 (1 — Т) (-Ь! 5(( — 2Т)+ ... = = ',«„Ьь 5 (à — йТ)' й (ЬТ) Ь». я=о (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
