Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 93
Текст из файла (страница 93)
13.34 сплошной линией. Если спектр полезного сигнала значительно уже частотного интервала ( — ~,!2, /,/2), то требования к крутизне скатов характеристики могут быть ослаблены (см. штриховую линию на рис. 13.34). ~зл4. аыстаода41стаиа АриФматичаского устгоистаА циФРоаого ФильтРА. шумы ОкРуГления Структурная схема любого цифрового фильтра содержит элементы памяти Т, сумматоры и перемножители. Совокупность этих элементов образует арифметическое устройство фильтра. Л(оммутирующие устройства, необходимые для синхронной записи и считывания двоичных символов в элементах памяти, и другие вспомогательные цепи здесь не рассматриваются.) Элементы памяти Т представляют собой набор двоичных элементов, число которых равно числу разрядов г.
Перемножители, реализующие весовые коэффициенты ам ам ам ... и Ь,, Ь„... работают по принципу поразрядного перемножения всех разрядов входного числа на каждый из разрядов числа, представляющего весовой коэффициент, и последующего суммирования частных произведенпй. Число двоичных разрядов г~ ь, используемых', для представления весового коэффициента, зависит от требуемой точности вычислений. В больших ЭВМ г ь достигает 16 и более разрядов; в цифровых фильтрах часто можно ограничиваться 4 — 6 разрядами. Для полного сохранения информации, содержащейся во входном сигнале а (г), число разрядов произведения должно равняться сумме г + г«, ь. На это число разрядов должны быть рассчитаны все последующие элементы цифрового тракта.
Для сокращения объема аппаратуры обычно идут на округление произведения путем отсекання младших разрядов. Это приводит к ошибке, которую называют шумом округления. Статистические свойства шума округления в основном совпадают с шумом квантования; дисперсия шума округления приравнивается величине Л,"'. ьД2, где б .
ь — перепад уровней, соответствующий отбрасываемому разряду произведения. Одной из важнейших характеристик арифметического устройства Цф является его быстродействие, определяемое числом операций, которое необходимо произвести за время Т, и длительностью одной операции. Последняя не может быть меньше, чем время срабатывания двоичных элементов (триггеров). Быстрое и непрерывное развитие микроэлектронной техники с каждым годом сокращает инерционность электронных приборов, используемых в вычислительной технике.
В современных приборах время срабатывания составляет единицы наносекунд. Определим число операций„которое необходимо совершить за время Т при обработке сигнала по заданному алгоритму В качестве исходного алгоритма возьмем свертку, определяемую выражением (13 7) Из этогз выражения видно, что для определения одной и-й выборки выходного сигнала требуется совершить и операций перемножения и столько же операций сложения. Прн числе выборок в обрабатываемой реализации сигнала /у » 1 общее число операций умножения равно ж(/1//2)/у =- '/эй' (столько же операций сложения). Как уже упоминалось выше, операция умножения осуществляется многократным сложением, причем число элементарных сложений определяется числом разрядов сомножителей.
При длительности одной операции сложения т, и числе разрядов г общая длительность обработки /У выборок Т,в„= (/У'/2)гт,. В тех случаях, когда требуется обработка «в реальйом времени», т. е. по ходу поступления сигнала э (/), Тььр не должно превышать длительности обрабатываемой реализации Т, = //Т. Отсюда получается условие (Р'/2)гт, Т,=-НТ или Т) ~ гт,. Подставляя в это неравенство Т = 1//, приходим к следующей грубой оценке наивысшей допустимой частоты сигнала: ( !//)/гто В частности, при й/ = 1000, г = 10 и т, = 1 нс, / ~ 1/10".10 И-'= 10'Гц. При обработке более коротких сигналов, например с базой И = = 50, частота может быть доведена до 2 МГц.
Как видим, применение цифровых фильтров, работающих в рсжиме последовательного анализа, ограничивается в настоящее время относительно низкочастотными сигналами. При переходе к параллельному анализу с ш мощью нескольких каналов ценой усложнения и удорожания аппаратурыбыстродействие можно сугцествепно повысить. В принципе, быстродействис можно довести до величины„близкой к т„т, е. / ( 1/т,. Главной особенностью цифрового фильтра является то, что его характеристики — амплитудно-частотная и фазочастотная — опРеделяются всего лишь весовыми коэффициентами в прямых и обРатных связях и шагом дискретизации Т.
Это позволяет строить фильтры схарактеристиками, реализация которых с помощью обычных фильтров на индуктивностях и емкостях весьма затруднительна или даже вовсе невозможна. Применением кварцовапных источников колебания тактовой частоты можно обеспечить очень высокую стабильностЪ.частотных характеристик. цифровые фильтры надежны в работе, не требуют Глава 14 14л.
ВВЕДЕНИЕ В $2.2 отмечалось, что в тех случаях, когда требуется аппроксимировать заданную функцию Г (х) с помощью ограниченного числа членов ряда, применяются различные ортогональные системы специальных, ие гармоничсских функций. Условия ортонормированности этих функций на заданном интервале (а, Ь) записываются в форме ф„(х) ср (х) р (х) пх = ( О при и~т, ~ 1 при п=пг. (14.1) От определения (2.3) это выражение отличается множителем р (х) под знаком интеграла, называемым в е со во й фу н к цн е й или фу н к ци е й веса.
Говорят, что функции <р„(х) и ~р„(х) ортогональны с весом р (х). Это означает, что ортогональны не эти функции, а функции )л р (х) лр„(х). При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье, аппроксимирующего функцию Г (х), следует исходить из формулы, аналогичной (2.9), но с учетогл весовой функции р (х): с,=,, ( ~(х) ~р„(х)р(х)дх, (14.2) "4.Ур !!' ..' где /~ср„ )лр !! = ~ Чг' (х) р (х) 0х а — квадрат нормы функции ~, (х))лр(х). (14.3) подстройил и нечувствительны к температурным и иным условиям эксплуатации. Простота осуществления устройств памяти при использовании цифровых сигналов делает цифровые фильтры незаменимыми при обработке, требующей задержку сигнала во времени.
Наконец, следует отметить удобство сопрягкения цифровых фильтров с ЭВМ. Благодаря всем этим преимуществам цифровые фильтры, несмотряя на сложность построения их схемы и необходимость сия хронизацнн управления электронными ключами, находят все ббльшее распросгранение в практике. Для представления непрерывных сигналов наиболее употребигельны ортогональные полиномы н функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и т.
д., которым посвящены т 14.2, 14,3. Дли представления дискретных сигналов широком распространение получилн кусочно-постоянные функции Хаара, Радемахера и Уолша. Функции Уолша, хорошо сочетающиеся с требованиями вычислительной техники, а также микроэлектроники, приобрели особо важное вначение. Рассмотрению свойств непрерывных функций Уолша посвящены $ 14.4 — 14.6, а дискретных функций Уолша — й !4.7. 14 В. ОИТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛ ИНОМЪ1 И ФУНКЦИИ НЕЙРЕУЫВНОГО ТИПА Перечислим некоторые из наиболее часто применяемых полиномов и кратко рассмотрим их свойства.
1. Полиноаии Лежандра (первого рода), определяемые 4юрмулой Р и (х) = — — (х' — ! )", 1 ии (14Л) 2" о! ортагональны е весом р (х) ! на интервале — 1 < х ( 1. При целых и ~ О полиномы Р„(х) содержат конечное число членов. Полииомы Лежандра низших степеней, графически представленные на рис. 14.1, определяются выражениями Р„(х) =1, Рг(х) х, Ра(х)~ дг 1/(3 а Р, (х) =- !/2(бха — Зх1, да Р, 1х) = Ча(35х' — ЗОха + 3). (14.5) ди Квадрат нормы функции Р» Р„(х) в соответствии е формулой (14.4) равен !15, 161 1 -г (Р (х)((а Р1(х!»(х=— то ! 1 Рис.
14д. Грвйии иоиииомов Лежаи« 1 ирв. (14.6) Выражение (2.9) для коэффициентов и„принимает при атом форму 1 с„= о, ~ 7(х) Р„(х) дх, а, (14.7) в — ! 1ряд (2.8) 7 (х) с,Р„ (х) + и,Р, (х) + .- + С Р (х) + . (14.8) 2. Полиномы Чебышева (первого рода) определяются как Тв (т) = ! 1 — х' — (У1 — хв) (14.9) (2п)! Елп Полиномы Чебышева низших степеней Т,(х) =1,Т,(х) =х,Т,(х) =2х' — 1, Т, (х) = 4хв — Зх, Т, (х) = 8х' — 8х'+ 1, Т, (х) = 16х' — 20х' + бх.
На рис. 14.2 представлены графики полнномов Т„(х) на интервале — 1 ( х 1, а на рис. 14.3 одного из них, в частности четвертого порядка, при О( ! х ! < 5/4. При ~ х)) 1 Т„(х) стремится к бесконечности как 2"-' х". Рис, !4.2. Графини полииомов Чееывевв, Важной особенностью полиномов Чебышева является то, что из всех многочленов степени и со старшим коэффициентом, равным единице, они наименее уклонлютсл от нуля на отрезке — 1 < х ( 1.
Влагодаря зтому свойству полиномы Чебышева обеспечивают нанменьшую максимальную ошибку равномерной аппроксимации на интервале — ! - х( 1. Полиномы Чебышева не ортогональны, но после умножения на 1/У 1 — х' они образуют ортогональную в интервале — 1 ( х ( 1 систему функций (!/Рг( — хх'в) Т„(х). Иными словами, полиномы Т„(х) ортогональны с весом р (х) = 14' 1 — хв: 0 при т~т„ ~ Т„(х) Т,„(х) = „(14.10) ~/1-лв —" при и =т. — 1 й Кроме того, при и = и = 0 ! ! еа (' ггз Т„(х) Т (х) — = ( — =и.
(14,10') Таким образом, норма ))Те Ур 1(=Мп и 11 Т„Ч(lр !1 =Уз~~2. При разложении функции 1" (х) по полиномам Чебышева (с уче. том Тз (х) = 1) коэффициенты ряда ~(х)=се+ ~э~ о„Т„(х), — 1 «х«-1, должны определяться в соответствии с (14.2) и (14.10), ()4.10') следуюшигии выражениями: ! ! "е= ~ ' цх, с„= — ~ " г)х. (14 11) 1 Г Па! г р 1 (х) г„ (х) Ъ'! — зз " )гТ:хт — ! ! Поведение полиномов Чебышева в интервале — 1 = х е 1 в сочетании с неограниченным возрастанием ( Т„(х) ~ при ! х ( ~ 1 делает эти полиномы очень эффективными для аппроксимации амплитудно-частотных характеристик га различных фильтров. Этот вопрос рассматривается в гл.
15. 3. Оолиномы Лагерра опреде. лаются формулой ) „(х)= — (х" е-"), х) О. а! ег» (14.12) Первые четыре полинома: х.' -4-1 Х ! е (х) = 1, 1.г (х) = — х + 1, Я Ез (х) = хам — 2х + 1, Е,з (х) = Рис. !4.а. Графики поиииомов Че- бмпгева четвертого поряика. хз/б + з/ехз 3х + 1 Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси 0< х С оо с ве. сом р (х) = е Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при х — !.
оо функций, удобнее пользоваться функ!(па~и Лагсрра 1„(х) =)гр(х) 1.„(х)=е " Ев(х). (14 13) При этом функции Лагерра 1„(х) ортогональны с единичным весом. На рис. 14.4 приведены функции Лагерра при п = 1, 2, ..., 5, Норма функции ! (х) поэтому при разложении функции ~ (х) по функциям Лагерра коэффициенты ряда ~(х) = У с„1„(х) (14.14) должны определяться по формуле с„=~ 1(х) 1„(х) ~)х. о (14. 15) Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что в значителыюй степени обьясняегся простотой их генерирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
