Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Рассмотрим подробнее выражение (14АЗ). С одинаковым основанием его можно трактовать либо как /з-й коэффициент разложения функции $„(/) по ортонорыированной системе функций Ч (/), либо как и-й коэффициент разложения Ч!з (/) по системе функ- Аргументы тригонометрических функций в/ приведены к аиду = — /=2пПо —, = 2п)»6, р=/7о. (14.47) 'т, На рнс, 14.27 изображен рельеф модуля взаимного спектра (четных) функций Уолша при з/ = 64 н синусоидальных функций. Видно, что рельеф взаимного спектра В (/, р) характеризуется хорошо выраженной симметрией.
Максимумы ! В (/, р) ( находятся вблизи плоскости / = р. Дополнительные плоскости симметрии, связывающие боковые максимумы, перпендикулярны основной плоскости н пересекают ее с нптерваламп 2' в точках / = р = 2", /=0,1,2, ... мы. цискицтные Функ«!ни уолшл Для цифровых методов спектрального анализа наибольший интерес представляют дискретные функции Уолша. Эти функции являются отсчетами непрерывных функций Уолша. Для перехода к дискретному варианту функций предсгавим аргумент О ( 6 ч. 1 в двоичной системе счисления 6= ~ 6»2 '=(О Ою Ом --)».
»=! (!4.48) где 6„ = 0; 1, й 1, 2, 3, ... При изменении 6 в пределах от нуля до единицы й-й разряд 6» попеременно принимает значения 0 или 1, причем интервал между двумя соседними переменами знаков равен '/,». Таким образом, при /) =- 1 разряд 6, равен нулю на интервале 0~ 0 '/, и равен единице на интервале '/ ~ 6 с 1. При а= 2 6,=0 на интервалах(0, '/ ), (»/„"/,) н 6, = ! на интервалах ('/„Ч,), (»/„1) н т. д. Поэтому выражение (14.26) для л-й функции Радемахера можно ваписать в форме «» (6) =с"" =( !)'».
(14.49) Подставив это выражение в (14.30), получим следующую запись функций Уолша (в упорядочении Уолша): » Х и" -»т»®" »~ "» Фа! (ш, 6) — г) !е~а»1~л-»+та~»-» ( — 1)» »=! (14.50) Результат не изменится, если аргумент 0 6 1 заменить целочисленной переменной х = О, 1, ..., Л/ — 1, являющейся но- мером отсчета и записанной в двоичной системе пчисления х=;)"„ха2" "=(х!хе-.«,А е ! (14.51) где«„= 0;1,й 1,2,3,„„В =2, Тогда выражение !14.50) йринимает еледущощий виш .Перечисленные в $14 4 свойства непрерывных функций Уолша записываются для дискретных функций следующим образом. Оршогональносшь  — ! Е!~Е прн 1 1, "!, 'сча! (1.
х) уча!(Е, х)=( ' (14.54) 10 при 1~1. ![(Еускретные функции Уолша не нормированы; норма равна ЕУ независимо от номера функции. А(ульепилликаепивнорпз ,а[ (1 х) ч!а[ (1, «] = ша! (1 ев 1, х). (!4.55) Пусть сигнал з (1) (вещественная функция) представлен аовокупностью своих эквидиетантных отачетов а(Ее)! й = О, 1, 2! ..м Еу — 1. Тогда преобразования Ф ! Б(1) — ~'~ з(й) а! (1, е), е е э-! з(ь),.
~э, 3Ц) ва[(Е, Ее) (14.55) (14.57) Х ""и-е+~!зее-е! "з ча! (ш, х) =( — 1)' ', (14 52) Первые две и последняя (АŠ— 1)-я дискретные функции Уолша, определяемые выражением (14.52), показаны па рио. 14.28 (для ЕУ = 15). Каждый отсчет расположен в еередине связанного с ним элемен- эп((![х[ та непрерывной функции. Длитель- Л Е Е Л г а ЕЕ Еэ х ность элемента равна !ЕЕ!Е от интер- ваЩх! ! вала [О, 1). ! 7 С учетом (14.32) и (14.34) диссе ретные функции Уолша в упорядо.
чении Пали и Адамара запишутся ' в виде Ы(4х[ ! !, ! ! !!!!$!!!!$Х е л;ее-е+! 'а ра! (р., х) ( — 1)е ' 4« (Е' е Рис, 1426. Пероне апе а по. Х "е"е слеаепе а!пскретнме фувкпие [!а![(й х) ( 1)е-! 114 53) Уолше озе !у з2 16 (а упозеаоеение Уоа!пе), образуют пару дискретных преобразований Уолша (ДПУ). Выражения (14.56), (14.57) аналогичны паре дискретных преобразований Фурье (ДПФ)в базисе гармонических функций (см. (13Л 3'), (13.14)1. Как и ДПФ (см.
", 13.3), ДПУ обладают свойством периодичности: о (п) 8 (л + т)у); ь (л) = х (л + пну), (14.53) где и — целое число. Имеются, однако, и существенные особенности ДПУ. Это от. носится к теореме запаздывания. Напомним, что в случае спектрального анализа з базисе гармонических функций умножение Д1!Ф ю т" дт 5т (пвт) на базисную функцию е ~ зквнвалентно сдвигу во врем~ ни последовательности з (й), з = О, !. 2, ..., Ф вЂ” 1, на т интервалов (см.
~ 13.3). В случае ДПУ умножение обеих чаотей равенства (14 56) на бааисную функцию за! (а, т) приводит к выражению ча!(и, т)5(п)= — ~ з(й) ча! 1п, й)эа!(и. гл), (14.59) ! которое на основании свойства мультипликативности функций Уолша !см. (14.36) и (14.37)) можно записать в форме ! з сча! (п, т) Б (и] — '~~Г з (й) арча! (л, й 9 т) = Г о я ! — ь(й Ю т) уча!(п, 4). 1 у 2~ (1 4.60) Переход от х (/г) к з (А Щ и) означает диадный здвиг последо вательносги отсчетов з (й), А О, 1, 2, ...,  — 1, на и интервалов.
Аналогично можно показать, что диадному здвигу спектразь. ных компонентов 8 (и) на л~ интервалов соответствует умножение отсчетов и (й) на тча! (л, ж). Поясним смысл термина диздный сдвиг. ( понятием сдвига функ. ции приходится иметь дело, например, при определении корреля ционной функции, при рассмотрении теоремы запаздывания, при определении свертки двух функций. В обычном смысле сдвиг рас сматривается как параллельный перенос сдвигаемых значений колебания вдоль оси времени. Такой сдвиг можно назвать арифметическим, так как он выражается обычным арифметическим сложением нли вычитанием.
Прн арифметическом сдвиге, например, на т = 3 интервала Ьй отсчет х(5) переместится и станет х (5 + 3) = х (3). При достаточно большом т отсчет х (л) выйдет за пределы исходной совокупности отсчетов. При диадном сдвиге тот же отсчет л (5), сдвинутый на т = 3, займет положение х (5Я 3) = к (6), так как 5 =(101) 3=(011)з (110),=6 Днадный сдвиг обладает так называемым г р у и и о в ы м а в о й с т в о м: сдвиг отсчетов х (й) (где А = О, 1, 2, ..., Ж вЂ” 1) на величину т~ И вЂ” 1 соответствует такой перестановке этих отсчетов знутрп нх исходной совокупности, что результат поразрядного сложения по модулю 2, т. е. в Щ т, всегда не превышает число 1У вЂ” 1 при любом гл = О, !, 2, ..., И вЂ” ! .
При этом имеется в виду, что И = 2", где и — целое положительное число. Сделанное утверждение легко проверить перебором всевозможных днадных сдвигов всех отсчетов х (л) при заданном И. Например, при у =- 8 получается следующая квадратная матрица значений й=й®т: Из этой матрицы видно, что диадный сдвиг не выводит вдвинутые отсчеты за пределы исходной совокупности И отсчетов, а лишь проиаводит их перестановку внутри этой аовонупности. Диадный сдвиг придает существенное своеобразие как апектральному анализу в базисе функций Уолша, так и предвтавленню сигналов во временной области. В частновти, диадная свертка двух временных последовательностей х (л) и р (л) записываетая в форме Основное преимущество ДПУ перед ДПФ заключается в том, что отсчеты сигнала умножаются на функции Уолша, которые принимают значения ~1 1см.
(14.66), (14.57)). По существу, операция умножения исключается и выражения (14.56), (14.57) сводятся н ауммированию отсчетов а еоответатвующими знаками. В случае ь~ — '„~й же ДПФ требуетгя умножение на комплеканые чнала вида е причем действительная и мнимая чаати этих чиаел требуют прщ- 0123 0 0123 1 1032 2 2301 3 3210 4 4567 5 5476 6 6745 7 7654 4567 4567 5476 6745 7654 0123 1032 2301 32! 0 ставления достаточно большим числом разрядов (для снижения уровня ошибки округления).
Эффективность цифровых методов спектрального анализа можно значительно повысить, применяя специальные алгоритмы преобразования, получившие название б ы н т р о е и р ео б р а во в ание Фурье (БПФ), быстрое преобразование У о л ш а (БПУ) и т. д. Эти алгоритмы основаны иа устранении избыточности н описании матрицы дискретного ортогонального преобразования. Глана 15 ЭЛЕМЕИГЫ СИ1ГГЕЗА ЛИИЕИ11ЫХ РАДИОЦЕЙЕР1 !5 Е ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Классическая теория синтеза пассивных линейных электрических ценен с сосредоточенными параметрами предусматривает два этапа: — отыскание или подбор подходящей рациональной функции, которая могла бы являться характеристикой физически осуществимой цепи и вместе с тем быть достаточно близкой к заданной характеристике; — отыскание структуры и элементов цепи, реализующей выбранную функцию.
Первый этап называется аппроксимацией заданной характеристики, второй — реализацией цепи. Аппроксимация, основанная иа применении различных ортогональных функций, не вызывает принципиальных трудностей. Значительно сложнее задача отыскания оптимальной структуры цепи по заданной (физически осуществимой) ее характеристике. Эта задача не имеет однозначного решения. Одну и ту же характеристику цепи можно реализовать множеством способов, различающихся по схеме, по числу входящих в нее элементов и сложности подбора параметров этих элементов, по чувствительности характеристик цепи к нестабильности параметров и т.
д. Различают синтез цепей в частотной области и во времеинбй. В первом случае задается передаточная функция К (йо), а во втором — импульсная характеристика д (1). Поскольку эти две функции связаны между собой парой преобразований Фурье, синтез цепи во временнбй области можно свести к синтезу и частотной и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
