Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Все же синтез по заданной импульсной характеристике имеет свои особенности, играющие большую роль в импульсной технике при формировании импульсов с определенными требованиями к их параметрам (крутизне фронта, выбросу, форме вершины и т. д.). В данной главе рассматривается синтез чгтырехполюсников в частотной области. Следует указать, что по синтезу линейных электрнческих цепей в настоящее время существует обширная литература, а изучение общей теории синтеза не входит в задачу курса <Радиотехнические пгпн и сигналы». Здесь рассматриваются лишь некоторые частные вопросы синтеза четырехполюсников, отображающие особенности современных радиоэлектронных цепей. К таким особенностям в первую очередь относятся: — применение активных четырехполюсников; — тенденция к исключению индуктивностей иэ избирателы;ых пепей (в микроэлектронном исполнении); — возникновение и быстрое развнтие техники дискретных (цифровых) цепей.
Известно, что передаточная функция четырехполюсника К((в) однозначноопределяется своими нулями и полюсами на р-плоскости. Поэтому выра>кение «синтез по заданной передаточной функцпи» эквивалентно выражению «синтез по заданным нулям и полюсам передаточной функции». Существующая теория сннтеза четырехполюсннков рассматривает цепи, передаточная функция которых обладает конечным числом нулей и полюсов, иными словами, цепи, состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными параметрами Из этого вытекаег вывод о неприменимости классических методов синтеза цепей к фильтрам, согласованным о заданным сигналом.
Действительно, входящий в передаточную функцию подобного Фильтра множитель е †'"" (см. (12.16)1 не реализуется конечным числом звеньев е сосредоточенными параметрами. Излагаемый в данной главе материал ориентирован на четырехполюсники с неболыпим числом звеньев, Такие четырехполюсники характерны для фильтров нижних частот, верхних частот, заградительных фильтров и т. д., широко применяемых в радиоэлектронных устройствах. Предварительно. в ч 15.2 — 15.4 приводятся основные сведения о передаточных функциях четырехполюсников, необходимые для уяснения методов их синтеза, 1З.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕЛАТОЧНОН ФУНКЦИИ ЧЕТЫРЕХПЮЛЮСНИКА Из теория линейных электрачеокнх цепей известно, что передаточную функцию физического четырехполювникз э сосредоточенными параметрами можно представить в виде рациональной дроби— отношения двух нолиномов а целыми атепенями р и е вещественными коэффициентами гч р"+а1Р" ~+..+<» Р(Р) (15 1) Э„Р '+ь Р '+ ° ° +ь О(Р1 при ряде ограничений, на положение корней полиномов Р (р) н ч (р) нз р-плоскости, а также на соотношение степеней и и и, Общим требованием к передаточной функции К(р) любого четырехполюсника.
вытекающим из условия устойчивости, является отсутствие полюсов в правой р-полуплоскоати (см. ) 5.10), Для этого необходимо, чтобы корни полинома () (Р) в знаменателе выражения (15.!) были расположены только в левой Р-полуплоскости. Такие полиномы называются п о л и н о м а м и Г у р в и ц а. Далее, для того чтобы рациональная дробь (15.1) являлась передаточной функцией физического четырехполюсника, степень числителя и не должна превосходить степени знаменателя т. Дополнительные сведения о числе нулей и полюсов функции К(Р), а также об их расположении на р-плоскости можно получить из представления выражения (15.1) в форме ~о !Р— Рт) (Р— Рмй - (Р— Рои! К 00=- ~'э ~Р— Р и (Р— Рпа)..
° ~Р— Рюп! .„ ["! (, †,„,! (15. 2) ь„П (л-г,ь) й.-3 где раь — нули фуикпии К(р! [корни уравнения Р[р) = 01, а р,~ — полюса 1корни уравнения (3 (р) = 0). Если и = т, то функция К(р) имеет п нулей и и полюсов при значениях р, равных корням соответственно уравнений Р (Р) = 0 и (;) (р) = О. Если п( т, то функшгя К(р) имеет и нулей в точках р-плоскости, соответствующих и корням уравнения Р (р) = О и, кроме того, т — и нулей при р оо.
Действительно, при р — со выражение (15.2) обращается з !пп К(р)=11гп —" р"- =1~гп '~ — =О, а, ! о о-~м Ь, ..ь,,р т. е. точка р = со является нулем с кратностью (т — и). Суммарное чнсло нулей (коиечных и бесконечных) равно т, Таким образом„с учетом нулей, расположенных в бесконечности, рациональная функция К (и) имеет равное число нулей и полюсов. Нули и полюса могут быть вещественными или комплексными, В последнем случае образуются комплексно-сопряженные пары нулей или полюсов. Выражение (15.2) (в отсутствие вещественных нулей и полюсов) можно записать в форме а !Р— Рм)(Р— Раз)(Р Род(Р Рпэ).
° (Р Рве«д )(Р Рзм и) К(р) =- (я — д д(Р Р з)(Р— л 0(Р я з) ° .(л л~ » ь)(л Р'< р) (15.3) В отличие от полюсов нули передаточной функпии могут быть расположены как в левой, так и в правой Р-полуплоскосги. Четырехполюсники с нулями передаточной функции в правой полу- плоскости обладают существенными особенностями, рассматриваемыми в следующем параграфе.
!бб. СВЯЗЬ МЕ)КДУ АМПЛИТУЦНО-ЧАСТОТНОИ И ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЧНТЫРЕХПОЛЮСНИКА Анализ прохождения колебания через линейную цепь осяован на использовании указанных в заголовке характеристик. Возникает следующий вопрос: можно ли управлять одной из характеристик не изменяя другую илн же между ними имеется однозначное соответствие? Этот вопрос представляет для радиоэлектроники большой практический и научный интерес, особенно при сиктезе пеней по заданным амплитудно-частотным и фазочастотным характеристикам. Вопрос сводится к устаноглению связи между модулем и аргументом комплексной функции К (р), обладающей следующими свойствами: а) число полюсов конечно; б) полюса в правой полуплоскости р отсутствуют. Этот вопрос приводит к олкой из наиболее сложных проблем теории функций комплексного переменного.
Значительно более простой задачей является выражение действительной части передаточной функшби через мнимую или мкимой через действительную. Позтому целесообразно вместо фуикпни К (р) рассматривать функцию О (р), связанную с К (р) соотношением 9(р) = !и К(р).
(15А) На оси частот зта новая функпия принимает вид 8(10э) !пК(ш) = !п!А(в) е'чх"у! =1 = !и К(со) + ЬР(м) = А(м) + !И~о). (15. 5) действительная часть втой фуи кпии А (в) = !и К !в) (15.6) называется логарифмическим затуханием четырехполюсника. Учитывая, что ?((га) е 1 ии комплексную передаточную функцию можно представить в форме К (йн) = ев""~=е« ' еФ«ч.
(15.7) Определяемая выражением (15.5) комплексная функцня 9 ((ы) характеризующая логарифмическое затухание, а также изменение фазы в четырехполюсиике, может быть названа п о с т о я н н о й п е р е д а ч и четырехполюсника по аналогии с термином, применяемым в теории длинных линий. После перехода от функции К ((м) к функции 9 (йо) задача сводится к установлению связи между 4 (в) и ср (ы), т. е.
между действительной и мнимой чаагями комплексной функции с! ((ы), Воспользуемся для ~того следуккдим равенством, доказываемым ' в теории функций комплексного переменного: с-г аю ; СО 2гс Р - гсп 2 2иг,) ап — Ггс| ~~(й М 1 1 ~' н (1гс) л (ис) с ш ЮЮ где гп, — произвольная фиксированная величина, Путь интегрирования в левой части этого выраження совпадает с осью /гп (с — 0) при обходе точки /гп, справа. Первое слагаемое в правой части представляет собой половину вычета в точке /гсь Рис. !5,1, Контур интегрирсиииии ии коиплекснса пло- скости, т. е. интеграл по полуокружности бесконечно малого радиуса Действительно, на этой окружности функция й (р) с точиостьк ао бесконечно малых высшего порядка равна 8 [1, сп,), знаменатель р — (ы, = гг'Е, где ф — аргумент вектора, проведенного из точки йп, к точке, лежащей на окружности радиуса г, так что с(р = (г е"г Й~.
Поэтому интеграл по полуокружности радиуса г равен гни+и и — — "'"-) — с(р = — ( — ~ (гегэ сэр= 2л' и — скв япг .1 ге ех ~ Юа с = — 6 (/гоп) /п = —, Й (йп,). 1 1 Второе слагаемое в правой части (15.8) — это интеграл по мнимой оси с исключением особой точки /в, (главное значение интеграла). Следует иметь в виду, что с увелйчением р (по модулю) и при условии, что гсе (р) ) О, функция 8 (р) стремится к нулю.
Поэтому интеграл от функции й (р) / (р — (сс,) по дуге бесконечно большого радиуса /с, лежащей в правой полуплоскости, равен нулю. Это дает основание заменить интеграл, стоящий в левой части равенства (15.8), интегралом по замкнутому контуру, показанному на рис. 15,1. Приравнивая нулю действительные и мнимые части этого выражения, получаем следующие два равенства! А(в!)=- — ~ Ф (в) !1в, и " в-в! СФ ф(в!) = — ~ — ~» ! Р А !в) л О! — в! Мы пришли к преобразованням Гильберта (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
