Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 102
Текст из файла (страница 102)
При атом аппроксимация АЧХ в полосе пропускания лучше у Чебышевского фильтра: наибольшее отклонение от единицы не превышает «'/2 = = 0,1 (вместо 0,3 у фильтра Баттерворта). Определим полюса передаточной функции фильтра Чебышева (нижних частот). Как и в предыдущем параграфе, записываем выражение (15.63) в форме ~ка ~~-кр>к~ — ~( = —,- — ~, иьбь ! (+тяте(х) В(-рт) р м после чего находим корни уравнения а'Т„" (х) + 1 = О; 7', (х) = ~ !/в. (16.67) Опустив промежуточные выкладки (см. [6, 71), приведем окончательные выражения пь —— т(п Ф, ай Ф, + / соз Ф, ай Фм где Ф, я Ф определяются формулами Ф,=(2д+ !) — ", А=(Х 1 ° 2...
(2~-1), та Ф, — агсзп ~ — 1/. г1т я (15.69) Для полюсов, расположенных в левой р-полуплоскости, полу. чается следующее выражение: р„= — з1п~(2й-1- 1) — "1зй Ф,+! соз 1(2Й+ 1) — "1сй Ф, ~а 1 й О. 1, 2, ..., (и — 1). (15.70) Для сравнения чебышевской аппроксимации прямоугольной АЧХ с аппроксимапяей по Баттерворту найдем ослабление АЧХ при х = 3 для фильтра четвертого порядка л = 4, а' = 1/5. По формуле, приведенной в $ !4.2 (или ив таблицы полиномов Чебышева), определяем 7 (3) =Ьх' — 8х'-+ 1 = 8 ° У вЂ” 8 ° 3" +1=574. По найденным полюсам составляется выражение для передаточной функции К (р), аналогичное (15.59)." К (р) — „ р'*+э>р"-'+э.р"-'+ ..4ь„,р-)-Ь (15.71) (р — р>) (р — рэ) (р- р„) Б отличие от фильтра Баттерворта козфф>щиент Ь„ие равен единице (поскольку полюса передаточной функции располо>кены не на окружности единичного радиуса, а на эллин е).
Поэтому в числитель вводится коэффициент Ь„для нормирования АЧХ к единице при с> = 0 (и соответственно р = 0). Численные значения коэффициентов Ь„Ь„, ..., Ь„, а так>хе полюсов дп рм ... р„в зависимости от степени л и коэффициента иераа номерности ЛЧХ з приводятся в литературе по расчету фильтров (7, 8. !2!. Для илльострации синтеза фильтра Чебышева определим схему и параметры фильтра при следующих требованиях: неравномерность в полосе прозрачности не более 3 дБ, затухание при х=а>/а>, 4 не менее 30 дБ. Прн заданной неравномерности, приравнивая в выражении (15.64) А/( величине 1/2, получаем в =1.
Применяя далев формулу (15,65), находим требуемую величину ! Т„(х)! = ! Т„(4) ! ) 1/1 К (!4) !. Ослаблению на 30 дБ соответствует уменьшение АЧХ в и' 0()0 яг ж 32 раза. Прн максимальном значении АЧХ, равном единице, получаем следующее условие для определения порядка полииома Чебышева: Т„(4) ) 1/32, Перебором первых трех полииомов низших степеней (см. 2 14.2) убе>икаемся, что полипом второй степени прил = 4, равный Т,(4) = 2х' — 1 31, обеспечивает требуемуЮ скорость убывания ЛЧХ в зоне задерживаиия. Применяя формулы (15.69), (15.70), находим ц>, = — агсзВ !1 — ) = — агсз)> 1 = 0,44; р 1е) 2 р,= — з1п ! — 1з)>0,44+!сов ! — 1с)>0,44= — 0,322+ !0,777; ~22/ ! 2.2/ р, р~ = — 0,322 — > 0,777. Передаточная функция (по формуле (15.71)) р .,~<~ э р~ч, .~ь.,-~0,нб «~,0в' Приравнивая (как н в предыдущем параграфе) коэффициенты >олинома в знаменателе выражения (15.6!) соответственно Ь, = 0,645 и Ь = 0,708, получаем следующие соотношения для определения параметров активной ЯС-цепи: ( ~'С + с' +! К )=5 =0645' вс ОЭС~ ~ Ч1Сг Сд =5,=0,706.
,Р,Л,С,С, Сохранив соотношения, принятые в 3 15.8 для фильтра Баттерворта (в,Я,С, ж 1, С,/С, = 0,4), получим в,Я,С,= — = — =У2; вь Л~ С2 6д 6э Ао= 1+ — + — — 0,645- 1,46. Из сопоставления полученных результатов с результатами рао. чета фильтра Баттерворта видим, что, изменяя коэффициент усиления К, (операционного усилителя) и несущественно изменяя сопротивления резисторов /!и /(, (или емкостей конденсаторов С„С,), можно перейти от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева. Следует, однако, отметить, что при л = 2 фильтр Баттерворта обеспе. чивает ослабление АЧХ при х =- в/в, = 4 всего лишь на 24 дБ (см. формулу (15.52) при и = 2 и у =- 2!. Для получения ослабления на 30 дБ потребовалось бы и ~ 3 (одно звено второго порядка и одно апериодическое звено). Это преимушество фильтра Чебышева в зоне задерживания (более быстрое убывание АЧХ) достигается ценой некоторого ухудшения равномерности в полосе прозрачности Фильтра. 10ЛО.
СИНТЕЗ РАЗЛИЧНЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ИСХОДНОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ Вернемся к функции (15.60)„аппроксимирующей прямоугольную амплитудно-частотную характеристику идеального фильтра нижних частот, и введем новую переменную т = !/х = в,/в. (15.72) Тогда К'„(х) = П! 1 + (1/У)ЙЧ = тАь([1 + ~ЙЧ= Ка„(~). (15.73) Новая функция К„(ч), получаемая из АЧХ К, (х) фильтра нижних частот заменой аргумента на ч =* 1/х, показана иа рис. 15.18 (для а = 2). Функцию К„можно рассматривать как АЧХ $ильтра Баттерворта верхних частот, обладающего в полосе частот 1 ( т оо такой же степенью неравномерности АЧХ, что и функция К„, (х) в полосе О ( х с 1.
Таким образом, при синтезе фильтра верхних частот можно использовать аппроксимирующую функцию г (х) (см. (15.49)), заменив в ней аргумент на т =* 1/х. В соответствии о такой заменой, част (15.58) следует заменить переменной а = 1~~,~, Р„е"1'Ую Р в при этом принимает вид ункция (! 5.58) 7(вч (а) вч — (1(в)т+-р й (1!а)+! ~+-.ртй + . (15,74) Полюса передаточной функции Квч (з), т.
е. корни уравнения ав + У~ха + 1 = О, остаются теми же, что и в (15.58). Аналогичным образом можно получить передаточную функцию фильтра верхних частот Чебышева. ЛвеГв1-и еаа йд д4 а-РФ;4-4 Р дб гх г,р Квчгм Лавах дэ а=а е др рг др в РУ Рис 18.18 Фильтр верхних частот Рис. 15.19.
Фильтр верхних частот Баттсрвортв Чебиьчева. Соотношение между АЧХ фильтров Чебышева верхних и нижних частот представлено на рис. 15.19 (для п = 4). Соответствующим преобразованием переменной р можно синтезировать и иные фильтры, например полосовые, на основе исходного фильтра нижних частот !7, 8, 121. 18.1!. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ к иза1енениям пАРАметРОВ элементОВ В гл. 5 кратко рассматривалось влияние изменения коэффициента усиления прямой цепи Кт, а также модуля Кс, передаточной функции цепи обратной связ11 на усиление устройства в целом. Вопрос о запасе устойчивости четырехполюсника с обратной связью не рассматривался.
Этот вопрос приобрел особенную актуальность при синтезе активных (сС-цепей (и интегральных систем), в которых приходится считаться о относительно большой нестабильностью параметров активных элементов, зависимостью их от режима работы (изменения напряжений источников питания), температурных изменений и т.
д. Необходимо также учитывать разброс параметров элементов; резисторов, конденсаторов и особенно активных элементов (транзисторов различного типа и других приборов современной микроэлектронной техники). Передаточная функция линейной цепи однозначно определяется своими полюсами и нулями на р-плоскости. Поэтому различные дестабилизирующие факторы логично оценивать по величине соз даваемого нми сдвига полюсов и нулей. Особенно большое внимание приходится уделять сдвигу полюсов, так как именно положение полюсов определяет такие важные показатели цепи, как запас устойчивости, усиление, резонансная частота. Большое распространение [12) получило математическое определение чувствительности параметра цепи В' к изменению элемента Х в виде уравнения в яхт/1Г Х Л' ох= — = — —.
4Х/Х Яг ИХ (15.75) Символ В' может иметь смысл коэффициента усиления К„, добротности Я, корня р„= о, + /гз„и. т. д., а Х вЂ” сопротивления резистора, емкости конденсатора, какого-либо из параметров активного элемента (крутизны характеристики, внутренней проводимости и т. д.). Применительно к оценке полюсной щаспы гпехапостпи выражение (15.75) часто записывается в следующей форме: баххх= ~ ~ +1 " "= — — — "+1 — —" (15.76) ЛХ/Х ИХ/Х сх ДХ мх 4Х При К, ( 0,4 корни вещественные, а при Кз -» 0,4 — комплексные. В последнем случае Первое слагаемое в правой части характеризует сдвиг полюса параллельно вещественной оси плоскости р = о + йз, а второе— параллельно оси (ы.
'Таким образом, первое слагаемое может служить оценкой запаса устойчивости цепи (поскольку приближение ( о„( к нулю означает потерю устойчивости), а второе слагаемое характеризует изменение частоты, соответствующей пику амплитудно-частотной характеристики цепи. Проиллюстрнруем применение формулы (15.76) на примере передаточной функции К (р) фильтра Батгерворта, рассмотренного в $ 15.8.
Найдем чувствительность полюсов функции (15.61) к изменению величины К„ рассматриваемой как параметр Х в (15.76). Подставив в (15.61) гз,Я,Сз = в„.Я,С, = 1, Сгй,/Сзй, = 1 и Сг/С, = 0,4 (см. конец 2 15.8), получим д'+(2,4 — Ка) я+1 Полюса функции 1( (р) Как и в (15.61), имеется в виду нормированная переменная р = (о + !в)/воМодУль Рьа Равен единице (пРи К,) 0,4), а вещественные и мнимые части соответственно ома 1(е (р ) 2о4 — Ка 4 (15.78) вс 2 юьа )ш(р ) — + 1/1 ( ° — Ко ) гос о' 'ч 2 При увеличении К„начиная с К„= 0,4, полюса ро а перемещаются по окружности единичного радиуса (рис. 15.20) (р, -- по часовой стрелке, а р, — против).
При К„= 2,4 козффициент при р в знаменателе (15.77) обращается в нуль, что означает потерю устойчивости цепи. Дифференцируя выражения (15.78) и подставляя производные л' оКо 2,4-Ко о!Ко Рпс. 15.20. Перемещение полюсов по окружности единичного радиуса прн изменении К а также оз)ва и вз7во в формулу (15.76) для А = 1, т. е. для корня р, получаем оо1 Ко 1 ! Ко(2*4 — Ко) Ко-2.4 4-(2.4 — Ко)' При исходном (расчетном) значении К = 1 Я~ = — — -1- 1 ' — 0 707+10707 1,4! 4 — 1,41о Однако при ббльших значениях Ко, например прн Ко 2, Зк'„= +! ' ж — 5+!0,2, 2 2(2,4 — 2) 2-2,4 4 — (2,4 — 2)о чувствительность абсциссы полюса достигает — 5, а ординаты умень.
шается до 0,2. По мере приближения Ка к критическому значению, соответствующему возникновению генерации, чувствительность абсциссаа полюса резко возрастает, а ординаты уменьшается. Перераспределением емкостей Сг и С, (умеиьшением С, и увеличением Св), что потребует увеличения К, можно добиться тре. буемой формы амплитудно-частотной характеристики при одно. временном увеличении усиления в фильтре (поскольку в (1Б.61) коэффициент Ко является числителем).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
