Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 105
Текст из файла (страница 105)
4) со мпэ ~ — ) (-:)' /1 ! сос ыти) Лю ~ 2 2 Однако для физически реализуемых сигналов требование хост»точно быстрого убывания э(/) н Я (м) выполняется. Найдем нижний предел произведения Т Я . Известно, что !ыЗ (ю) есть спектральная плотность производной от сигнала з(/), Следовательно, второй интеграл в правой части (1.4) иа основании равенства Парсеваля можно приравнять Р оо — (.) = ~ ~ — — "'(')] после чего (1,4) переходит в следующее выражеииес ! со с» 11/2 То По=~ ) /заз(/) с// ~ [э(/)) б/) (1.
5) ос оо где обозначено э (/) йАИ. Воспользуемся теперь неравенством Шварца [см. (12.11)), которве применительно к выражению (1.5) принимает вид ос со !1/2 с.о. / ! »ссс ! 1/ссссо / / ! с~с'сос /, спсс — оо оо — оо Нужно иметь в аиду, что То и ()о явлшотся средиекзадратяческнми отклоненнями соответственно от / = /о и ы = О. Полну/о Длитепьность сигнала следует приравнять 2 То, э полную ширину спектра (включая и область отрицательныз частот) — 2 0 . Метод моментов применим не к любым сигналам, Иэ выражений (1.3) видно что функция времени з (/) с увеличением / должна убывать быстрее, чем 1//, а функция 8 (сэ) — быстрее, чем 1/ы, так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечвости (расходятся!.
В частности, это относится к спектру строго прямоугольного импульсас Правая часть этого неравенства после ннтегриропания по частям приводится к выражению ! ФО ! юо г в,„), ~ р °,, е 1 Г г((зя(г)) СЮ СЮ 1~ ОР - —,'я~в"„-) е !. сь Оговоренное выше условие интегрнруемости сигнала з (1) с квадратом позволяет опустить первое слагаемое в правой части. Учитывая нормвро. ванне снгизла (Э= 1), получаем аля произведения ТэОэ неравенства Т,О > 1/2 или ТэРэ > 1/4п.
Итак, величина пРоизведениа Тэуа, зависашаа от фопмы сигнала, в любом случае не может быть меньше 174л. Найдем теперь сигнал, обладающий минимально возможной величиной Т,Рэ. Эта задача сводится к отысканию функции з (1), обращающей неравен' ство (1.6) в равенство.
Непосредственно из (1.6) очевидно условие равенства; э (1) см (Г), где с — аошоянный коэффициент. Таким образом, получаем уравнение Лз(0 — ' =-сгз (г) нлн г(з (1) 1 — =- сгкг = — сг( (Р), з(г) 2 которое легко интегрируется )п40 ь/а СГ + Ь. Отсюда искомая функция з(1)=екр(ггас(з+Ь)=Ае'Гтм с~о, (1.7) — гауссов импульс. )Отрицательность с вытекает из условия иитегрируемостя функции з (1).) В частности, для гауссова импульса„рассмотренного в примере 2, э 29 мрфг ктнвяая длительность, вычисленная по формуле (! 3), равна Тз = аГ )I2, а эффективная ширина спектра Яэ = ЬГ)/2 (произведение Т Оэ = ащ2= гуз, Т„рэ = 174п = 0,0795) Соответственно полная длительность импульса 2 Тэ= )72 а и ширина спектра 20 = Ьг2Ь.
Заметим, что аналогичные параметры гауссова вм. пульса, определяемые на уровне е 7 =0,606, составляют 2а и 2 Ь (вмьото 1/3 ')г 2 а и )/2 Ь). Для треугольного импульса, спектральная плотность которого (рис. 1.1, я и б) р э 4К э" 4к ы гэ эа Ю Ю тэ .Е Рнс.
1.1. Импульс треугольной формы (а) и его спектральная плотность (б). частотм неизбежно сопровождается растяжением сягнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (измерения). Невозможность одне временно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коре гком интер- вале времени представляетсобой одно нз проявлений известного в физике принципа неопределенности, Приложение И КОРРЕЛЯПИОННАЯ ФУНКЦИЯ СИГНАЛА НА ПЛОСКОСТИ ВРЕД(Я вЂ” ЧАСТОТА В предыдущих главах корреляционная функция использовалась для оценки степени связи сигнала з (Г) со своей копией э (1 + т), сдвинутой на величину г эо времени.
Аналогичная задача возникает при определении сдвига спектра узко- полосного сигнала на оси часпют. Поэтому целесообразно обобщить понятие корреляционной функции прн одновременном сдвиге сигнала по времени н по частоте. Исходное колебание запишем в форме п(1) = А(1) [в,Г+ Е(Г)), а то же колебание, сдвинутое на время т и смещенное по частоте на П= 2пр, Квх а и (8) = А(1 + и) сов Ивэ + О) (1 + т) + 0 (1 + е)).
параметры Т, и Р равны: 1 3/12 Тэ — тя1 )ээ * Тэ Рэ 0,0873э Оэ Т„= Рг)2ГЗ0=0,55. "р'40 э Кзк видим, величина произведении длительность Х полоса частот у треугольного импульса всего лишь иа 10эА больше, чем у гауссова импульса. Из приведенных выше соотношений следует, что сжатие импульса во времени с целью, например, повышения точности измерения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра импульса, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.
Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения Переходя в аналитическим сигналам, получяем соответственны а[В А(()вю(бваа" А(г)в' ", ет П(Г) А (т+х) в !'+е' вг !еч+Ш Н+м А (г+ч) в!!ма+в! ч ЕГ (мэ+П] ! (П. 1) Тогда корреляцнонная функция аналитического енянала может быть определена выражением (см.
(3.04! н (3.07]! ОЭ О В (т, ю)=' ~ з(0 х' прй дг=-е '! '+ ) А 03 А*(ю+т) е яп нг, (П.2! Полученное выражение„учитывающее как сленг сигнала а (!) по времени (т), так и смещение по частоте (Й 2 пг), называется о боб ще н н ой корреляционной функцией. Модуль выражения (И.2] (П.З! ! А Е А 3«.П / П!.4) ~ Аз(г] у ]Вг(т, Й] В (0,0) В прямоугольной снсгеме ноорлинат т, Й, р функция р (ч, И) изобра- жается ь виде поверхности, пример которой лля рааионмпульса гауссовой формы (с немодулированным высокочастотным заполнением) прнвелен на рнс.
П.1. Непосрецатвенно нз выражения (П.4] вытекает что манснмальное значение функции р(т„й), т. е. р (0,0), равно единице. Оказывается, что и обьем 1ела, ограниченного плоскостью р = 0 н поверхностью ре (т, ()), равен елннице, независимо ош заколов модуляции амплитуды и Фааи сигнала (1„13)! Рис. П.1.
Тело неопрелеленнасти ра- лнонмпульса гауссоеой формы. Если изменением закона молулвции сжать тело под поверхностью ре (ч ()) по осн т, оно расплывается по осн Я; сжатне по оси Я приводит к растяжению по оси т. Э з ет на невозможность одновременного повышения разрешающей способности сигнала оо времена и по чавтоте, а соотношение (П.б) яе получил название д в у и е р н о й корреляционной функции.
большое распространение в теорнн сигналов поиучила еормнрованная йвумерная корреляционная функция ляется математической формулировкой прннпнса неопределенности в разно. локации. В связи с этим двумерную корреляционную функциго сигнала р(т,()) частонввываютфункцией неопределенности, а ~ело, ограниченное плоскостью р = 0 и поверхностью рз (т, ()), — т е л о и н е о п р е д е л е н в о с т и (рис. !1.1). Положив в (11.2) () = О, получим выражение Вг(т, О)=е ' 'т 1 А(г) АВ+т)а.
(0.6) п(г) = А (г) 5(ю,г+ О (!)). С другой стороны, положив в (1!.3) т = О, получим выражение ~в,я, ип-( ! 6 м.— (. которое на основе выражений (2.61) и (2.62) можно преобразовать к форме 1Вя и)~=! ' ) В„мь„о (И.й) где Бд (е! — спектРальнав плотность огибающей А (!). Таким образом, сечение поверхности тела неопределенности плоскостью т = 0 определяет функцию частотной корреляции, т. е. степень связи спгкт. ра йд (ы)со своей копией, сдвинутой по оси частот на величину Я Определяемая выражением (11.4) двумерная корреляционная функ. ция р (С Й) приобретает особое значение при согласованной фильтрации снг нала.
В гл. 12 было показано, что сигнал на выходе согласованного фильтра совпадает с корреляционной функцией входного сигнала. Следовательно, корреляционную функцию ! В» (т, 0) ! можно испольэовать для оценки разрешающей способности сигнала по времени, а функцию ! В, (О, (1) ! — по частоте. Зтн свойства функции неопределенности лежат в основе теории разрешвющей способности радиолоквционяык устройств при определении дальности цели н скорости ее движения. совпадающее с (3.97). Для перехода к корреляционной функции Вв (т) физического колебания а (!) =- А (!) соз (ыа! + 0 (!)) нужно в соответствии с (8.96) выделить вещественную часть В, (т, О).
Интеграл в выражении (11.6) определяет комплексную огибающую функции В, (г, 0), а быстро осциллирующий множитель е гм т — высокочастотное заполнение втой функции. Переходя к модулю и учитывая, что ! е ~" т1 = 1, получаем |в,ь, ~»=/ ! .и'е~-,за/ (И 7) Из этого выражения следует, что сечеаие поверхности тела неопределен. ности плоскостью 1) = 0 определяет огибпюгцрю корреляционаой фрикции В„ (т) кравбания СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К главам 1 — 4 1, Трактман А. М Введение в обобщенную спектральную теорию снгна. лов.
М., «Соз. радио», !972, 2, Зиновьев А Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию внгналов н цепей. 2-е Иэд., М., «Высшая школа», 1975. 3. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов, М., аСов. радио»„1970. 4. Фрепхс Л Теория сигналов. М., аСов. Радио», 1974. 5. Конторович М И Операцнонное исчисление н процессы в электрических цепях. М„ «Сов.
радио», 1975. 6. Гоноровсхнй И С. Радиосигналы н переходные явления в радноцепях. 14.. Сензьиздат, 1954. 7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., аСов. радио», 1966„ 8. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио», !966. 9. Давенпорт В.
Б,, Рут В. Л. Введение в теорню случайных сигналоа н шумов. М., ИЛ, !960. 10. 1'оворевский И. С., Фельдман Л Д., Васильев А. В. О спектрах некоторых неннтегрируемйх функций. — «Радиотехника и»лектроннка» 1970, Щ 4. !1. Град«птейв И. С., Рыжих И. М Таблицы интегралов, сумы, рядов а сроп а а«еий. М., ГИФМЛ, 1971. К главам 5 — 7 1. Степаненко И. П. Основы георни транзисторов в транзисторных схем. М., «Энергия», 1973. 2. Атабеков р. И. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1969. 3. Карня Ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
