Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Суть этого метода заключается в следующем. Пусть задан физически осуществимый аналоговый фильтр с передаточной функцией К(р), удовлетворяющей предъявляемым к фильтру требованиям, и нужно осуществить эквивалентный ему (в определенном смысле) цифровой фильтр. Полюса и нули функции К (р) предполагаются известными. Поскольку искомая передаточная функция цифрового фильтра 1( (г) однозначно определяется своими полюсами и нулями на гплоскости, а между г и р существует соотношение г = ерт (см.
5 13.7), на первый взгляд представляется логичным воспользоваться выражениями г,„= е~о"~, г = егп г. В действительности же такой подход может при некоторых условиях оказаться ошибочным. В 5 13.10 на примере )тС-цепи было показано, что использование преобразования г = е~г приводит к дискретной импульсной характеристике йг (Г), совпадающей с отсчетами непрерывной характеристики д (г) аналоговой цепи, но при этом совершенно искажается амплитудно-частотная характеристика.
Аналогичный результат получается и для более сложных цепей. В связи с этим метод синтеза, основанный на преобразовании г = егг, получил название метода и н в а р и а н т н о г о по отношению к и ми у л ь с н о й характеристике фильтра. Для осуществления синтеза, инвариантного по отношению к амплиафдно-чаппотаой характеристаике, следует применить преобразование, при котором бы вся мнимая ось (ы р-плоскости отображалась на г-плоскости одним обходом окружности радиуса 1г~ = 1.
Этому требованию отвечает б и л и н е й и о е (дробно-рациональное) преобразование г = (1 + р)l (1 — р), р = (г — 1)l (г + 1), (15.84) где р = (о + (м)М„а й — произвольная постоянная, обеспечивающая безразмерность величины р, выбираемая исходя из соображений нормирования. Действительно, приравнивая р = ш/Ом получаем выражение г . = +'~ДЭ'=еьт мк "т~'=еч'"', (15.85) '1= аоод из которого следует, что перемещению точки р вдоль оси ЙоМ, соответствует перемещение точки г по окружности радиуса ~ г~ = 1, как и при обычном г-преобразовании (г = е'"г). Отличие били- не"ного преобразования заключается в том, что при увеличении а аРгумент ч (ы) возрастает нелинейно: при стремлении в к ~ со гэ(в) стремится к своим предельным значениям ь и.
Таким образом, вся ось йо р-плоскости трансформируется на г-плоскости в один обход окружности ! г ! = Введя обозначение гр (го) = гвнТ, можем записать гее = (1/Т) гр (го) = (2/Т) агс(и го/1)е (15.86) и соответственно гп/ьхе = (К (гонТ/2)- (15.87) В этих выражениях гв имеет смысл частотной переменной аналоговой цепи, а ьн — дискретной (цифровой) цепи. -юа' Ю Ы гехт Рвс. 1з.24. Амплитудно-частотные хврвхтеристини аналогового (а) и соответ- ствующего ему пнфроаого фильтра (6). Если задана амплитудно-частотнаи характеристика аналоговой цепи, то при использовании билинейного г-преобразования АЧХ эквивалентного цифрового фильтра, сохраняя масштаб по оси ординат, сжимается по оси абсцисс в пределах — и -. гвнТ <" и.
Поясним зто на примере синтеза цифрового фильтра нижних частот. Пусть задана частота среза го,н и период дискретизации Т. Требования к равномерности АЧХ в полосе пропускания зададим такие же, что и для аналоговогофильтраЧебышева (при п=2), рассчитанного в 2 15.9. Передаточная функция этого фильтра определяется полюсами р,, = — 0,322 ~ г 0,777, а амплитудно-частотная характеристика, построенная по формуле !К(/х))=1/1'1+Т',(х), представлена на рис. 15.24, а, !1ля построения АЧХ цифрового фильтра и нахождения полюсов передаточной функции К (г), что требуется для определения весовых коэффициентов фильтра, необходимо предварительно найти нормирующую частоту Й,. Это можно сделать, установив соответствие между частотами среза ь, и ь,„аналогового и цифрового фильтров.
Лля этого подставим в правую часть выражения (15.87) м, = м,ч, а в левую часть м = ы,: "( — "'") Теперь выражение (15.86) можно записать в форме в„Т = 2агс1И ( — '"' — "' ) = 2агс1д У1д '" ) х~, (15.89) аппо мс) где х = в/в, — нормированная частота, использованная при аппроксимации АЧХ аналогового фильтра. Пусть, например, частота среза цифрового фильтра должна составлять 1033 от частоты дискретизации 1/Т. Тогда вячТ = = 0,1 ° 2 и и а выражение (15.89) переходит в ы„Т = 2агс1н(0,3249 х). (15.89') Это соотношение между м„Т и х позволяет построить АЧХ синтезируемого цифрового фильтра по заданной характеристике исходного аналогового фильтра (рис. !5.24, б). Видно, что дефор. мацки АЧХ из-за сжатия по оси абсцисс проявляется лишь при значительном удалении ь„Т от нуля.
В полосе пропускания обе характеристики практическй совпадают. Определим параметры схемы цифрового фильтра. Сначала найдем полюса г„, и г„, по заданным полюсам р, и р,. Переменную р в выражении (15.84) следует представить в форме по о>с Йа где р„= (о + !в)/м, совпадаег с переменной р в выражении !!5.71). Таким образом, для рассматриваемого фильтра выражение ,'! 5.84) можно записать в виде г = (1 + 0,3249 р„.) l(1 — 0,3249 р„). Подставив р„= р, = — 0,322 + 1 ° 0,777, получим !+0,3249( — 0,322+со,777) 0 821 мз га 1 — 0,3249 ( — 0,322+ !0,777) =0821 О 878+ РО 821 О 479= 072+10393. Соответственно авг=айс= 0,821е — ггв вв 0 72 (.О 393 Искомую передаточную функцию К(г) можно получить подстановкой р=(г — 1)/(а+1) в функцию К (Р)с в/(Р— Рс)(Р Р]) где р„р*, = — 0,322~ / 0,777.
Таким образом, К (г)— !(г — 1)/(г+))-Рг] 1(г-()/(г+() — Р!1 Ав(г+()в Ав (1+гг-с+ г-г) (г — ггс) (г — гпс) 1 — Ьс г-с — Ьг г-' Итак, применение билинейного а-преобразования привело к появлению в передаточной функции двухкратного нуля (в точке г = — 1). Схема фильтра совпадает со схемой, представленной на рис. 13.24. В данном случае коэффициенты в обратных связях (см.' 4 !3.!]„п. 3) Ьг = 2ссе (г„,) = 2 0,72 = ! „44, Ь, = — ! г„, ]г = — (0,821)' = — 0,674, а в прямых связях: а,=1, ас=2 и аз=1. Постоянный коэффициент А, введен для нормирования, При сз„=О г=1 и функция ]К(а) ! по условию должна равняться единйце, как и функция К (р) при со = О.
При указанных выше коэффициентах ас и Ь, получается Ав=0,0585. При синтезе цифрового фильтра существенное значение имеет выбор числа разрядов в преобразователе А/Ц, а также в арифметическом устройстве, исходя из допустимого уровня шумов квантования и округления (см. ~ 13.12 и 13.14). Иваче обстоит дело с весовыми коэффициентами Ь, н Ь . Для точного представления этих коэффициентов в двоичной системе счисления может потребоваться значительное число разрядов (1,011! 01 для Ь, и 0,10101101 для Ь,). Однако ценой несущественного отклонения амплитудно-частотной характеристики от заданной обычно можно значительно сократить число разрядов.
Так, например, при загрубленин весовых коэффициентов до Ь, == = 1,0111 (1,4375) и Ьг = 0,1011 (0,887) получается АЧХ, практически совпадаюц(ая с заданной, Приложение 1 СИГНАЛ С МИНИМАЛЬНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДЛИТЕЛЬНОСТИ НА ПОЛОСУ ЧАСТОТ В з 2.10 отмечалось, что произведение длитедьиости сигнала иа его полосу частот не мажет быть меньше некоторой определенной зеличииы. Найдем эту величину, а также оптимальный сигнал, обладающий минимально возможным произведением ллительность Х полоса частот. Необходимо сначала условиться аб определении понятий длнтельиосгь сигнала и ширина спектра сигнала. В практике применяютси различные определения, выбор которых зависит аг назначения сигнала, а также от формы сигнала и его спектра. В некоторых случаях выбор являетая произвольным. Так, длительность сигнала прямоугольной формы естественно определять как основание прямоугольника, однако ширина спектра определяется либо как основание главного лепестка (например, в 5 2,9.1), либо иа уровне 1Г$/2 от максимального значения.
Длительность гауссова импульса 6 2.9.2) н ширина его спектра определяютсн на уровне 0,606 от максимального значения Ииогдз пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю от полной энергии сигнала. Дль выявления предельных соотношений, связывающих длительность и частотную полосу, в современной теории сигналов большое распространение получил метод мамеитаз. По аналогии а понятием момента инерции а механике мофективную длительность сигнале з (1) можно определить выражением (1 1) где середина импульса (з определяется из условия ге те а ( 1 ге) в Имеется в виду, что функпия з (1) интегрнруема а квадратом (сигнал с ко.
неч пай энергией). Аналогично эквивалентная ширина спектра й = 2пгэ определяется аыражениемт ьг О 1 0 /1 1)е — ~ мз 5з (со) лм — аз (ю) агл' (1.2) в 2 ) ( 2п .) ".О Так уль апехтра ч (ю) не зависит от смещения з (Г) во Р можно положить 1з = О. Наконец, аигнвл з (1) можно ноРмиРовать таким образом, чтобы его энергия 3 равнялась елииипе, и, следовательно, СО Ю 1 з (О бг= — У(м) ам 2 Имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения. При этих условиях вырэжеаня для Т, и 1) принимают эид т;= ~ ~.з(1)ж/, и;= ' 1" 'З'( )б ().З) йк,) и, следовательно, произведение длительности сигнала на ширину спектра равно 1 со оо '( 1/2 те ()э 1 /з эз (/) с/1 1 есо бз (ю) о/эс 1 о с» (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
