Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 101
Текст из файла (страница 101)
синтез ФильтРА нижних чАстот. ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА Амплитудно-частотная характериотика идеального фильтра нижних частот представлена на рис. 15.13. При аппроксимации АЧХ на оси абсцисс обычно откладывается безразмерная (нормиро.* анная) частота х = сп/вс, где ю — частота среза, а по оси ординат — нормированное значение /((ю/ю,) = /((х). Аппроксимирующую функцию для идеальной характеристики фильтра нижних частот, показанной на рис. 15.13, зада>от в виде К (х) = 1/У)1 + +гв (х), (15. 49) > Здесь и в последующих параграфах опущен иааекп хпа в оооаиааеиии полюса рп> причем накладывают условие, чтобы функция Р(х) по модулю была минимальна в полосе 0 ( х ( 1 н максимальна при х ) 1.
Простейшей функцией, отвечающей этому требованию, является функпия Е (х) = х" = (го/го,)". При этом К' () = !К ((х)!' = И)+ Р' ( И = (у (1 + ). (15.И» Графики функции (15А9) при нескольких значениях и показаны на рис. 15.14. Определяемая выражением (15.50) аппроксимирующая функция получила название функции Баттерворта, а фильтры, синтезированные на основе этой функции, называются фильтрами Баттераорта. При частоте среза х = 1 (га = нт,) Функции Баттео- !уаб фд 5У БД lиб -г а г у рп л ббгхбб Рис.
15.13. Амплитудно- Рнс. 15.14. Аппроксимичастслнан характеристика рубогкие функиии Баттеридеального фильтра ниж- еорта, них частот. Рис. 15.15. Затухание е фильтре Баттернорта н аааиснмостн от числа акта е. аорта любого порядка п равны 1/2, что соответствует ослаблению АЧХ до1Лг2 (на 3 дБ). Аппроксимацию по Баттерворту часто называют максимально плоской. При исчислении К(х) в децибелах выражение (15.49) приводится к виду К (х)„н = 20 !и К(х) = — 10!и !1 + Р (х)! = — 10 !я (1 + х'").
Если безразмерную частоту х представить в виде степени числа 2, т, е, х = 2", где р — число октав, то получим К (х),г — 1О 1а (! + ха") — 10 !3 !1 + 2хаб). (15.51) График зависимости К в децибелах от величины у показан на рнс. 15.!5. На частоте среза (х 1, р О) затухание равно 3 дБ независимо от порядка п. Вне полосы прозрачности фильтра, при х'" >> 1 (у) !), выражение (15.51) определяет прямую линию 1/Кбн ж 10 1д 2х"а = 20 пр 1н 2 6 пу. (15.52) Таким образом, ослабление АЧХ равно бала на одну октаву (т.е .
при изменении частоты х вдвое, а р — на одну единицу), 55З Лля удовлетворительной аппроксимации прямоугольной характеристики (рис. !5.13) с помощью функции Баттерворта требуются относительно высокие значения и. Так, например, если необходимо, чтобы при ы = 3 ат, (х 3) ослабление (затухаиие) АЧХ было не менее 40 дБ, то и -40/бу; В данном случае р = 1нх/1д2 = 1,56 и, следовательно, и ) 4,25, т. е. требуется п 5. Следуюцим шагом после определения порядка фильтра и является нахождение полюсов передаточной функции.
Для этоГо выразим (15.50) в форме (15.47), для чего в (15.50) приравняем /х = р, хт — ф и лап ( 1)п рйи. ) К (1х) ! = К (р) )( ( — р) 1... = т 1 ! 1+( — 11 Р~ ~ +и л/ и) Рассматривая теперь поведение функции 1/В ( — р') на р-плоскости, находим полюса как корни уравнения В ( — Р/ - 1 + ( 1). Р" = 0 или (15.53) пж 1/( 1)ю — ( 1)- и - и С помощью соотношений 1 — 1) = е-, ( — 1)"- ' = е-'" и- е е- '"", где й — любое целое число, получаем для й-го корня уравнения (15.53) следующее выражение1 и еж 1'И И + тХ1)2П рй Ф причем число корней равно степени уравнения (15.53). Модули всех полюсов р„равны единице, а аргументы ~рь = и 1п + (2/г — !)!/2п, (15.55) а разность аргументов любых двух соседних корней равна и/и.
Следовательно, все полюса функции 1/В ( — рэ) лежат на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на равные дуги и/п. Аргумент первого полюса ~р, = и (п + 1)/2 и, а последнего 'р2а п(5 и 1)/2 Располо>кение полюсов иа окружности единичного радиуса для фильтра Баттерворта третьего (п 3) и четвертого (и = 4) порядков показано на рис. 15.!6.
В соотв тствии с 4 !5.7 к передаточной функции синтезируемого фильтра отпося1ся только полюса, расположенные в левой полу- плоскости. Этя полю~~ /ха — ! т /2ь — 1)т р„= — мп ~ — и)+ ! соэ — ! и при А=1, 2,..., и. (15.56) ) Следует помнить, что формулы (15.53) — (15.55) определяют значения пормироаиппьп переменных р, т. е. р = (о + !м)/ы,. (15,57) Все полюса образуют комплексно-сопряженные пары, кроме одного полюса на вещественной оси при нечетном п.
Этому единственному полюсу соответствует /г = (и + !)/2. Подставив рь по формуле (15.54) в общее выражение (!5.2), получим передаточную функцию фильтра Баттерворта. Приведем эти выражения для а = 2, 3 и 4. /е / я г г! — х .. Р г с / и=-4 Рис. 1зпб. Расположение полюсов передаточной функции фильтра Баттервор- та третьего и четвертого поридков, При л = 2 полюса: рт,а = — 1/2 ~ г/)/2, и по формул.м (15,13) и (15.22) находим К ( ) — 1 — ! — ! (15.58) (Р— Рт) 0 — Ра) Рт+ (/с о+1 и'+ь,Р+ье При л = 3 полюса рг = — 0,5+ ! 0,5, р = — 1; р„= = — 0,5 — г 0,5 = о",.
Передаточная функция ! 1 (Р— Рп (Р -Рв) (Р— Рь! (Р— Рв) (Р— Рд (Р— Р)) (15.59) (Р+11 (Рг+Р+0 Ра+ь, и +ь, Р+ьа ' При и = 4 передаточная функции приводится к виду К (Р) 1 1 1 (Р'+О,т((ар+1) (Р'+(,авар+0 Р'+Ь Р +Ь,Рв+Ь Р+Ь (15.50) Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции Баттеоворта приводятся во л!ногих пособиях по расчету фильтров 18, 12). Последним этапом синтеза фильтра нижних частот является подбор элементов для типовых звеньев второго порядка, а при неч~тных и — дополнительно для одвого звена первого порядка. Приведем пример синтеза фильтра Баттерворта второго порядка (и = 2), представляющего собой одно звено с передаточной функ- цией К(р)=, Ь,=У2, Ь,=1. О" +Т т р+1 Переходя в вь1рвжеини (15.28) к нормированной частотной переменной р = (о + пз)/в, (как и в (!5.58)), приводим его к виду Кв и //~ с с : °, /Ряс~ Сх 1 Ко в1 к' г с,с~ (15.61) ///с, с,, „1 Приравнивая знаменатели в выражениях (15.68) и (15.61), получаем следующие условия для определения параметров схемьп — + — +1 /нс с сочйзс~ 8~ст С~ 1 =Ь =1.
е'= йг/1тСт Се (15.62) Постоянную времени пепи Я,С, обычно приравнивают величине, близкой к 1/ы, !10, 11!. Тогда и а„/1 С ж 1 (из второго увловия (15.62)), "при этом первое условие (15.62) сводится к равен- ству Ка — — 1+ — ' — '-1- х — Ьг 1-)-1+ — ~ — Т/2 ж 0,59+ — з. 8 с С с, С1 С, = Ст/0,4 = 0,25 мкФ; Р, *= 1/е,С, ж 640 Ом; )1з= 1ЙОчСз ~ 1600 Ом.
Задавая С /С = 0,4, и, следовательно, й,/)тт 2,5, получаем /(, ж 1. В данном примере операционный усилйтель по существу сводится к эмиттерному повторителю. Лля количественной оценки параметров фильтра нижних частот зададим частоту среза /, = 1000 Гц, а емкость конденсатора С, = 0,1 мкФ. Тогда Приведенный выше пРимеР Реализации фильтра второро порядка является лишь иллюстРацией. Юля выбора оптимальной охем ч проведения инженерного Расчета читатель должен обратитьая к опецнальной литературе, например к работам ПО, 111. Твж филь|Р чеБышеВА «нижних ЧАстогу Для улучшения аппроксимации идеальной прямоугольной характеристики фильтра нижних чает«тг(рие.
И.13) чисто применяется аппроксимация ао Чебьаила(«, при которой в качестве функции г (х) в формуле (15.49) иепольвуетоя квадрат полинома Чебышева Т„(х) еоответатиующего порядки и. При этом формула (16.50) иапасывается и виде 1 К «!х«)е = !«11 йк е"7» «х)1, где х = гойе . Коэффициент е ( 1 вводится для ограничения амплитуды пуль° ации АЧХ в полосе пропускания, т. е. и интервале ! х «е, !.
Ч. и меньше а, тем лучше аппроксимируетея АЧХ в укаэанной полосе, но одновременно снижаетея крутинка ската характеристики в попове задерживаиия (при х ~ 1). Варьируя величину коэффициента а и кгенеиь полинома а, можно осуществить приемлемый компромисе между противоречивыми гребованиями к аппроксимации характеристики ь полове пропускания н ане этой полосы. Рис. 1В.1т. Амилитуляо-частотная теракта. риетика фильтра Чевывеаа аагаертого оорядна, АК = 1 — 1(У1 +де (15.64) при малых аначениях е можно приравнять величине (рис. 15.17).
Вне полосы пропускания, прн больших эначеннях х, е'Т' (х) Р 1, передаточная функция монотонно убывает кону когда по за- (15.65) ) К(гх) ! ж !7е (Т (х)!. В л!4.2 укаяывалонль что виачение Т„(х) колеблетая в пределах ь! в интервале ! х ! 1 и растет па вакону Т (х) яэ 2"- ' х" при «х«)> 1 График функции (К(!х)! при ея = гг'„ии = 4построен на рис.
15.17, Амплитуду пульсации АЧХ в полове пропуакания, равную Далее, 1К (/3) ~ =. )/5/574 4-10 "1 1/1К(/3)! = 250: (1/1К(/3) !)ьь = 2018250 = 20 2,39- 48 аБ, Как видим, при одной и той же степени сложности фильтра (при одинаковых значениях л = 4) ослабление АЧХ у Чебышевского фильтра иа 8 дБ ".льше,, чем у фильтра Баттернорта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
