Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Интервал разложения Т, в данном случае целесообразно приравнять величине Т. Переходя к безразмерному времени О //Т, запишем колебание а (/) в форме з,(8) = ейп 2пО. Ограничимся !6-ю функциями, причем сначала выберем упорядочение по Уолшу. Поскольку заданная функция ах(0) иечетна относительно точки 0 = '/„все коэффициенты А (/) при четных функциях Уолша в ряде (14.38), т.
е. при са! (/, 0), равны нулю. Те из оставшихся восьми функций хиа!(1, 0), которые совпадают с функциями Радемахера и имеют периодичность внутри интервала (О, 1) кратную периоду функции ах (8), также приводит к нулевым коэффициентам А (/). К таким функциям относятся эта( (3, 8), еиа1 (7, 9) и «а) (15, 9). Наконец, функция ьеа1 (11, О), нечетная нв только относительно точки 0 '/„ио также отноаительно точек 8 = '/, и О = в/а [внутри интервалов 19, х/е) и (х/в, 1), приводит к нулевому коэффициенту А(11) из-за четности е, (О) в указанных интервалах. Итак, лишь четыре коэффициента из 16 не равны нулю". А (1), А (5), Л (9) и Л (13).
Определим эти коэффициенты по формуле (14.39). Подынтегральные функции, являющиеся произведениями сигнала а, (О) (рис. 14.17, а) и соответствующей функции хна! (!, О), представлены на рис. 14.17, б — д. Кусочное интегрирование этих произведений дает 1/2 А(1) =.2 ) яп 2пО//8 =2/и =0,636; о 2/16 6/!б А(5)=.4 ) ип2п06(Π— 2 ~ 61п2пО//О= — (1 — 2соз — "1— о 2/16 л = — 0,265; 1/16 З/Гб б/16 А(9)=4 ~ 61п2пО/18 — 4 ~ Яп2пО/(О+2 ( Яп2пО//О 1116 3/!6 = — 0,052; !/!6 2/!6 З/16 А(13)=4 ~ 61п2пЫΠ— 4 ~ Яп 2пО/(О+4 ~ Яп2пО//О— о !/16 2/16 6/16 — 2 ) яп 2пО/10= — 0,128.
3/1б Спектр рассматриваемого сигнала 6, (О) в базисе функций Уолша (упорядоченных по Уолшу) представлен на рис. 14.18„а. При упорядочении по Пэли и Адамару спектр того же сигнала принимает вид, показанный на рис. 14.18, б и в. Эти спектры получены из спектра иа рис. 14.18, а перестановкой коэффициентов в соответствии с таблицей (рис. 14.15), показывающей взаимосвязь между способами упо ядочення функций Уоли/а (для А/ = 16). ля уменьшения искажений при представлении колебания ограниченным числом функций Уолша предпочтение следует отдавать упорядочению, которое обеспечивает монотонное убывание спектра. Иными словами, наилучшим является упорядочение, при котором каждый следующий спектральный компонент не больше (по модулю) предыдущего, т.
е. ! А (1 + 1) ( ( 1 А (1) (. В этом смысле наилучшим упорядочением при представлении отрезка синусоиды, как это спедует из рис. 14.18, является упорядочение Пали, а наихудшим— Адамара. Восстановление исходного сигнала ( рис. 14.17, а) с помощью четырех функций Уолша представлено на рис. 14.19. От способа упорядочения функций это построение, разумеется, не зависит. Очевидно, что для более удовлетворительной аппроксимации синусоидального колебания в базисе Уолша требуется существенное увеличение числа спектральных компонентов. Вне интервала [0,1) ряд (14.38), как отмечалось в Э 14А, описывает периодическое продолжение 6!(О), в данном примере гармоническую функцию. 2.
Спектр гармонического колебания 6(/) = соз(го/ -1- О,) (рис. 14.20) в базисе функций Уолша. Как и в предыдущем примере, рассматривается один цикл гармонического колебания с периодом Т = 2 л)ш. Переходя к безразмерному времени 0 = т)Т, записываем колебание з (г) в форме з, (8) = соз (2лО + Ос) = созО, соз2л 9 — з!и Ое з(п 2л О = = А соз 2л Π— В сцп 2лО. Спектр Уолша функции сАп 2 л8 определен в примере 1, Совершенно аналогично определение спектра функции соз 2лО на интер- 44 п,г Ю зс(а)уаЦЯВ) Рас. 14.17 Стробирование отрезка Рис. 14.18.
Спектры синусоиды а базисе синусоиды функпнвми Уолша. функпий Уодша, упорядоченных по Уоашу (а), Папи (б) и Адамару (в). Размер базиса та зе. вале !0,1). Необходимо лищь функции за1 (), О) заменить функциями. са! (), О). Легко проверить, что при упорядочении по Уолшу новые коэффициенты А(1) в ряде (14.38) будут: А(2), А (6), А(10) и А(14) вместо А(1), А(5), А(9) и А(13). При этом значения коэффи- циентов остаются прежними. Таким образом, ряд (14.38) для рассматриваемого колебания можно записать в форме на (8) = соз 8о соз2п8 — и!п0а з!п2п0 = = соз 0о (А (2) уча) (2, О) + А (6) юа! (6„0) + А (10) жа! (10, О) -1- +А (14) сна! (14, 8)) — и!и 6„1А (1) ча! (1, 8) + А (5) уса! (3, 8)-1- + А (9) оса! (9, 8) + А (13) ва! (13, 8)), Итак, при сдвиге гармонического колебания по фазе спектр Уолша содержит четные и нечетные функции са! (1, 8) и за! (1, О).
оа Рнс. 14.!й. Диоронснмаиия синусоиды фуикиняни Уонша. 3. Спектр периодической последовательности. прямоугольных импульсов (рис. 14.21) в базисе функций Уолша. Определим колебание з (г) на интервале [О, Т ) выражением з (1) = 1, 0 ~ г' ( т„, и соответственно 1 при 0(0(тн/То а,(0)= 0 прн О.=ит„/Т,. (14.40) Структура спектра Уолша заданного колебания сильно зависит от соотношения между т„ н Т,. Временная база Т, является дополнительным и произвольно выбираемым параметром функций Уолша. Действительно, прн тн/Те = 1 спектр содержит лишь Рис. !4.20. Одни период гармопикеского колебания на интервале 0(0~!. одну функцию !на! (О, 0) с коэффициентом А(0)=1.
Прн т„/Т, = г/а колебание (14.40) полностью определяется двумя функцг»ямн: !на! (О, О) и на! (1, 0) с коэффициентами А (О) = А (1) = '/,. Далее, при т„/Т„= '/„использование формулы (14.39) ! '8 А (ги)=~э(О) !на! (ш, О) с!О /// о гг4 = ~ ьуа1(гн, О)Ю гт г„т~ у гр; дл гг дает следующие коэффициенты: Рнс.
14.21. Олин цикл периодической импульсной послекова- Найденные спектры представлены тельности пйи т /7 =!/и на рис. 14.22. Этот результат легко обобщается для последовательности прямоугольных импульсов и отношением ти/Те = г/и», где /с— целое положительное число. Очевидно, что спектр Уолша такого колебания состоит из 2» компонентов с одинаковыми амплитудами, равными '/,». Очень важно, что этот спектр содержит конечное число составляющих; разложение того же колебания (14.40) по гармоническим функциям является бесконечным. Рассмотрим теперь случай, когда ти/Т, ~ '/,', например, ти/Та = '/„. Ограничиваясь первыми 16-ю функциями Уолша (в упорядочении Уолша) н опуская промежуточные выкладки, получаем А (О) = А (1) = /сц — А (4) = — А (6) = А (6) = А (7) =- = '/гк! А (8) = Л (9) = — А (10) = — А (11) = — Л (13) = Л (14) = =- А (15) = '/ уа) ~! а г г и а 7 г л а г г л/ 7Р а/ Рнс.
14.22. Спектры последовательности прямоугольных импульсов е базисе 4!ункннй Уолша: и пРи ти77е !' — пр' "и!то=!77! и — пР' ти77п 774! Л !б' Ркс. 14.23. Спектр последовательаостн прямоугольных импульсов в базисе 4!ункцкй Уолша прн ти7Т 1/3! !У= Ш. г/а угу т„а 7к га г г Рнс. !4.26. Рдкн цикл периодической последовательности импульсов на внтервале 0,6~6~1, Рнс. 14.24. Аппроксимации прямо. угольного импульса 16 рушшнямн Уолша прн ти/Тп=!/31 Л'=16. Нау!денный спектр представлен на рис.
14.23. При переходе и упорядочению по Пали структура спектра сохраняется (по модулям). Итак, при ти/Тп Ф '/; спектр Уолша периодическои последовательности прямоугольных импульсов содержит бесконечно большое число составля!ощих Суммирование первых !б функций .А дает импульс, показанный на рнс. 14.24. 4. Влияние сдвига импульс- гуа ной периодической последовательи ти на спектр Уолша, /а гг т т Рассмотрим этот вопрос иа а г а а ГГ4, примере импульсной последова- -/грг- /4 тельности прн т„/Т, = т/, (рис, 14.26), смещенной на т„/2 относительноаналогичной последовательности, см. пример 3. Используя функции Уолша (в упорядочении Уолша), определенные на интервале — '/я ~ О '/х (см. Рис.
14,14), впишем выражение для коэффициентов Уолша 77б А(гс:) = ~ !на( (и, 0) сй, — !78 откуда получаются следующие ненулевые коэффициенты: А (0) =А (2)=А(4)=А(6)='/ь. р г ь в и Полученный спектр (рис. 14.26) Рис 142В Б ииа сдвига им- вдвое шиРе спектРа, пРедста енного иа спситр УОЛШа (сраапита ИМПУльсной последовательности на с рис. 14.22, в). время т,/2 привел к изменению спектра.
Зависимость структуры спектра от сдвига колебания з (ь) на оси времени является особенностью анализа в базисе функций Уолша. Эта особенность связана с непериодичностью функций Уолша на единичном интервале их определения. Напомним, что при разложении по гармоническим функциям сдвиг сигнала во времени влняетлншь на фазочастотную характеристику спектра (см.
$ 2.7). 1Я.З. ВЗАИМНЫН СПЕКТР БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ получим с,=- ть„д,„м «=О (14.44) Разложим заданное колебание з (г) по двум ортонормированным системам функций ср» (1) и $„(г) с одинаковыми интервалами определения (а, Ь): « з(Т)= ~с <р (Г)= ~Ь„$„(Г) при а Т СЬ. (14.41) ь О «=О Совокупность коэффициентов с„ образует спектр колебания з (Т) в базисе ср (г), а совокупность коэффициентов Ь„ — спектр того же колебания з (г) в базисе $ (г). Воспользуемся далее выражением (2.9) для коэффициентов с„ обобщенного ряда Фурье и подставим в него вместо 1' (х) заданную функцию з (Т), выраженную через правую часть (14.41): ь ьг ь "=~ (т) "(() =~~ХЬ.Ь.
)1" ) =ХЬ.М.~~)"«) а «=ю (14.42) Ввиду ортонормированности функций ~р» (г) коэффициент перед интегралом в (2.9) приравнен единице. Интеграл под знаком суммы представляет собой и-й коэффициент Разложения функции $„(1) по базисным функциям ~р» (1). Обозначив этот коэффициент символом г(т„а»=~ и„(Т) Ч»(Г) ь(Т, (14.43) а Риц 14.27. Взаимный спектр функций Уолша и тригонометрических функций (четные компоненты). ций $ (/), з(оэтому совокупность коэффициентов /!! можно расима сматривать как в з а и м н ы й с п е к т р базисных функций гра (/) и 5„(/). В качестве примера рассмотрим взаимный спектр функций Уолша и тригонометрических функций. Основываясь на выражении вида (14.43), запишем аналогичные выражения отдельно для нечепзых и четных функций, определенных на интервале ( — х/„х/з)! !/3 В ((, р) = ~ эа! (), 6) Яп (2п)хО) ой, (14.45) !/з А(), р) = ~ са! ц, 6) сои(2прЗ) с!В. ! /и (14.46) Коэффициенты де не зависят от сигнала з (/), Таким образом выражение (14.44) устанавливает взаимосвязь спектров колебания з (/)в двух различных базисах сра (Ф) и $„(/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
