Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Дело в -рР Ю 1 Я и 4 Х и Рис. 14.4. Функции Лагерра. том, что функция 1 (1) по форме совпадает с импульсной характеристикой физической цепи, составленной из каскадного соединения простых звеньев (рис. 14.5). Для определения передаточной функции требуемой цепи применим преобразование Лапласа к функции Ла. герра (14,13), предварительно заменив в (14.!2), (14.13) переменную х новой переменной х = Ы: ееи/н ал 1 (Ы)= — — (1" е- ) и~ енл Функции времени е л' 1л соответствует изображение п11(р + а)л+', а и — кратному дифференцированию — умножение изображения на р".
Учитывая также, что умножение на е '" дает сдвиг на р-плоскости на величину — а/2, приходим к следующему изображению для функции Лагерра.' (р — и/2)л ! ( р — и12 1л (р+а/2)л+е (р+и~2) ~ р+а(2 1 * г/ад=ханта/аг/ па Рис. !4.5 Генератор функций Лагарпа. Действительно, непосредственно из мосговой схемы одного звена (рис. 14.5) следуют соотно.пении ()г — г/!.)г — г = (()н — (:с)/()г — г = (Л вЂ” 1//05С)/(Й + !/г(ОС)р уткуда 1)г — г (Р)/()г — г (Р) = (Р— !/НС)/~(Р + 1ИС), При возбуждении цепи (рис.
14.5) дельта-функцией колебание га выходе первого звена будет е "мг = 1о (м/), а на выходах после1ующих звеньев соответственно 1, (а/), !, (Ы) и т. д. Взвешенное суммирование всех этих колебаний дае~ на выхода :умматора колебание и 1 у( /) = ~ С„!. (гг/), г- О. и О 4. Полинами Зрагита определяются формулой он Н„(х)=( — 1У е"* —,(е — '). (14. 18) Первые пять полиномов Эрмита: Нр (х) = 1, Н, (х) = 2х, Н, (х) = 4х' — 2, Н (х) = 8ха — 12х, Н, (х) = 16х" — 48хг + 12, Графики этих полиномов представлены на рис.
14.8. Передаточная функция первого звена 1/(р + а/2) реализуется интегрирующей НС-цепью, отвечающей условию ЯС = 2/а. Передаточная функция (Р— а!2)/(Р + гг/2) соответствует мостовои схеме при /уб = 2/а. Полииомы Эрмита ортогональиы с весом р (х) = е-"* на всей оси — оо ( х < ао, так что '( Н„(х) Н (х)е — "'г(х= О при т~п, 2"3/пт при т=п. -( йр хе чй Таким образом, норма функции Рис. !4.6. Графики похнномов Н„(х)р р (х)= Н„(х)е " равна — х*/2 авиа Эрннта. ((Н„УР ((= 2" УЬпк Для перехода к ортоиормированной системе полиномов Эрмита вводят функцию Н„ (х) $/р (х) Н„ (х) е гра (х)— ((нп)~р (( )г' 2" Ун ы (14. 17) При этом разложение функции Г (х) по нормированным функциям Эрмита записывается а форме Г(х)= У с„р„(х), ~п .Д~ где с„= 1 Г(х) гр„(х) г(х.
(14.18) да йг 4г у г,с бй Рис. 14.7. Графики нормированных функций Эрмита. Графики нормированных функций фв (х) приведены на рис. 14.7. Из сделанного перечисления видно, что ортогоиальные системы функций можно разбить на два класса: 1) системы, определенные на конечном интервале (полиномы Лежандра и Чебышева); 2) системы, определенные на бесконечном интервале, представляющем собой полуось0(хс сс(полиномыЛагерра)иливсюось — сс <х< с (полиномыЭрмита). Для аппроксимации процессов и характеристик, определенных на конечном интервале, естественно применять ортогональные системы первого вида.
Для функций / (х), заданных в бесконечном интервале, целесообразно применять системы второго ви. да. При выборе палиномов важное значение имеет вид весовой функции р (х), соответствующей тому или иному виду полинома. Этот выбор должен быть тесно увязан с характером аппроксимируемой функции /(х): весовая функция р (х) должна достигать максимума на участке, где требуется наилучшая аппроксимация. При этом появляется возможность уменьшения числа членов ряда пря заданной допустимой ошибке аппроксимации.
Выбором весовой функции можно также осуществить аппроксимацию процессов конечной длительности полииомами второго вида (определенными на бесконечном отрезке). Для этого необходимо, чтобы эффективная длительность весовой функции была близка к длительности аппроксимируемого сигнала. ЫЛ. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ Рис. 14.В Пслуволновый ксси иусоилальныа импульс. Для упрощения вычислений и для большей наглядности функции, подлежащие аппроксимации, будем задавать в аналитической форме. Следует при этом иметь в виду что в действительных условиях часто приходится аппроксимировать функции, получаемые в результате эксперимента и заданные в виде таблиц, графиков, осциллограмм и т. д. Рассмотрим разложение полуволнового косинусоидального импульса иг (рис.
14.8) по различным ортогональ- ив г ным полиномам. Представленнаи на рис. 14.8 функция Ъ з (/) = соз (и//ти), — т„ /2~ /( т„/2. П4.19) -г,/г д ни х = — , получаем д /тк ти/2 ' и г а(/)=з~ ™ х)=сов( — ", х), — 1<х<1.
(14.20] Так как функция з~ — х) задана в конечном интервале ( — 1, 1), 12 то целесообразно рассмотреть разложение этой функции по полино мам Лежандра и Чебышева. Предварительно, однако, приведем раз. 3 ~ —" х)! = — + а! соз ( — х ) + а, соз ~ 2 — х) + .-. = = — -1- Ч а соз(апх), — 1 ~х ~ 1. (14.21) коэффициенты которого в соответствии с (2.32) ! ао ! Г Г я ! 2 в!пя/2 2 —,' = — 3! соз ! — х~!(х=— 2 хг,) ~ 2 ) хт яl2 и — ! ! а„= — ! соз !1 — х) соз (пах) ох= "г -! ! ! 3 — — (' соэ ~п — — ~ пх +соз ~п + — их~ !(х— 31п ~а — ') и+ — '31п(а+ — ') п~, -.б Прямым вычнсреннем находим 2 2 й я 3 2 2 йэ —— я !3 2 2 2 2 а,= — —, а,= — — ' ж 35 з 63 йа Спектр функции з~ — х) по тригонометрическим базисным функ. циам соз ппх показав на рнс.
14.9, а, а графики отдельных слагаемых ряда (14.21) — на рис. 14.9,б, При использовании полиномов Лежандра коэффициенты ряда (14.8) в соответствии с (14.7) будут ! си= — ~ соэ ( — х) ' э (х) !(х. ! Таким образом, ! с,= — ~ соз ~ — "х)т(х= — ! — ! (14.22) ложение Функции а (О по тригонометрическим функциям с периодом Т, равным длительности импульса т, чему соответствует безразмерный период хг = 2 (рнс. 14.8).
СЦ Так как з~ — х/ четная функции, получаем косинусаидальный ряд 2-»-! (' !' и ог= — ~ соз( — х)хдх=О (интеграл от нечетной функции); — 1 ! оз= ~ соз ~ — х) ~ — (Зха — 1)~с(х= — 0 33. — 1 с, =- 0 (интеграл от нечетной функции); ! с, = ! соз !1 — х ~ — (Збх' — 30х'-»- 3)1г(х= — 0,03.
— ! Итак, /и '! 2 сов ~ — х)= — — 0,68Ра(х) — О,ОЗР,(х) -»-.... — 1(х~1, 2 и 1 е ""1 а) Рис !ч 9. Спсктр полуволнового косинусоидального импульса в базисе тригонометрических Функций (а) и первые четыре слагаемых ряда Фурье (б). С помон(ыо таблиц полиномов Лежандра (1б) можно построить график з( х), показанный на рис. 14.10. Практически достаточно двух-трех членов ряда для удовлетворительной аппроксимации функции з(()=сов~ — х), — — ~( с —, — 1(х(1, /и ти га ~2 ) 2 2 Рассмотрим теперь разложение этой функции пэ полиномам ЧебЫШЕВа.
ВЫЧИСЛЕИИЕ КпэффнцнвитОВ Ги дЛя фуНКцнн СОЗ (2 Х) Об- легчается наличием формулы (см. И 61, формула (7.355.2)) ! Твв (х) соз ах = ( — 1)ь — 1еь (а), (14 .23) (г ! — х! 2 о в которой 1св (а) — функция Бесселя. При этом формулы (14.11) принимают вид ! се= — ~ сон ~ — х) Т,(х) =- — — 1е(п/2) =1е(гс/2); — ! ! с,= — ~ сов~ — х) Т, (х) = — 21ь(п/2); и 1 ~ 2 / Тгà — ле — ! !!х / па с,= — ~ соз~ — х) Т, (х) — =21!!1 — ) и т. д. -.) ~ 1' Т/ Рис. !4.10. Анпроксвмапня полуволнового носннусоидального импульса первыми тремя полиномами Лежандра (сплошная линия) в Чеоьпыева (штриховая), Функции 1, (нг) и 1, (гп) табулированы И 51, а при более высоких порядках п = 2, 3, 4, ...
можно использовать соотношения 2л 1„+, (т) = — 1„(т) — 1я ь(т). (14.24) При аргументе гп = а = и/2 по таблицам находим 1 (и/2) = 0,473 и 1, (и/2) = 0,566. Тогда 1е (и/2) — 1, (и/2) — 1е (и/2) = — 0,666 — 0,473=0,25. 2 2 и/2 и/2 Далее, 1а ~ — )= — 1, ( — ) — 1г( — )* 0,071, 1,() 1,( ) 1,~ ) 002. Таким образом, сч =- 0,473: с, = — О,б; а, = 0.04 и т.д. Окончательно соз 1 — х1 0,473 — О,БТ, 1х) +0,04Т„(х) — ...
1» „ 12 / я (14.25) Сумма трех первых членов ряда представлена на рис, 14.!О (штриховая линия). Видно, что для удовлетворительной аппроксимации функции соз ~ — х) достаточно трех членов ряда. Из сопоставления трех аппроксимаций функции соз — х) видно, ~2 чю тригонометрический ряд Фурье требует суммирования боль. щего числа членов разложения, нежели полипом Лежандра яли Чебышева. Из двух последних разложений несколько меньшую ошибку в точке х = 0 (при суммировании всего лишь двух членов ряда) дает разлохкеиие по полиномам Лежандра.
Однако в точке х = 1 приближение к точному значению (нулю) лучше по Чебышеву, чем по Лежандру. Это объясняется тем, что весовая функция р (х) = *= 1/~/Т вЂ” х' возрастает с приближением х к единице. Из приведенного сопоставления не следует делать вывод, что представление функций в форме тригонометрических рядов во всех случаях менее предпочтительно, чем разложение в ряд по полиномам. 14.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ УОЛША Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были надолго преданы забвению.
Интерес к =тим функциям и широкое их распространение связаны с развитием вычислительной техники. Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша сфункциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получшотся из синусоидальных функций с помощью соотношения ;(Е) = з(д (з(п(2 О)), О~ О-С1, (14.20) где аргумент О = йТ, есть безразмерное время, т.е. время, норми- рованное к произвольному интервалу Т„а целое положительное число й — порядок функции. Символом з(дп (сигнум-функция) обо- значается функция 1 при к)0, з|ппх= — 1 при хСО.
(14.27) В соответствии с (14.26) и (14.27) функции Радемахера, принима1ощие одно нз двух значений ~ 1, имеют вид меандра. Первые четыре функции Радемахера представлены на рис. 14 11. ву ( р Функции Радемахера ортонор-. мнрованы (см. у 2.2) с единичной весовой функцией на интервале 0 ~ О ~ 1. Действительно, для любых двух функций г 10), «в (О) имеют место соотношения 1 аа у р 5 ~ в !О при тчьп.
Все функции Радемахера явРпс. 14.11. первые четыре фувкпвв ляк1тся нечетными относительно Рааемахера. середины интервала определения и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации сигналовв (О), четных относительно момента О = 1/2. Иными словами, системз функций Радемахера— неполная (см. 5 2.2). Функции Уолша, образукпцие полную ортонормированную систему, можно сформировать, образуя произведения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша представлены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
